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      圓錐曲線離心率問題的解題策略探析

      2019-12-02 03:37:24吉樹華
      關(guān)鍵詞:離心率參數(shù)方程圓錐曲線

      吉樹華

      [摘 ?要] 圓錐曲線離心率問題的解題策略是需要學(xué)生掌握的重要知識(shí),考慮到離心率問題的考題一般與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合,以綜合題的形式出現(xiàn),因此其解題策略也較為靈活,可以從基本定義入手、結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo),也可以采用數(shù)形結(jié)合、引入?yún)?shù)方程. 文章結(jié)合實(shí)例對其解題策略加以探析.

      [關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;離心率;定義;點(diǎn)坐標(biāo);數(shù)形結(jié)合;參數(shù)方程

      離心率是圓錐曲線重要的研究內(nèi)容,也是刻畫曲線外觀形狀的重要參量,而以求解離心率為基礎(chǔ)命制的考題在高考中屢次出現(xiàn),并且常與其他知識(shí)相聯(lián)合,如不能掌握相應(yīng)的求解策略極有可能喪失解題方向,陷入誤區(qū),下面將探究四種較為常見的解題策略.

      策略一:基于離心率定義,分列等量關(guān)系

      圓錐曲線的知識(shí)學(xué)習(xí)均是從定義來開展的,因此利用離心率的定義是求解離心率問題最為基本的策略方法,離心率e表示動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)與其到準(zhǔn)線距離的比值,而在實(shí)際解題時(shí)可以將第一、第二定義綜合起來求解分析.

      例1:已知雙曲線 - =1的左右焦點(diǎn)分別為F1和F2,若在雙曲線的左支上存在一點(diǎn)P,使得PF1是PF2與點(diǎn)P到雙曲線左準(zhǔn)線距離d的等比中項(xiàng),若設(shè)雙曲線的離心率為e,試求e的取值范圍.

      解析:題干給出了相關(guān)條件求雙曲線離心率e的取值范圍,題中條件主要有兩個(gè):一是點(diǎn)P位于雙曲線的左支上,二是PF1為相關(guān)距離值的等比中項(xiàng). 其中涉及曲線上的動(dòng)點(diǎn)、準(zhǔn)線等內(nèi)容,因此可以從離心率的基本定義入手,分列等量關(guān)系. 具體如下:

      根據(jù)等比中項(xiàng)的相關(guān)知識(shí)可知 = ,進(jìn)一步結(jié)合離心率的第二定義可得 = =e①,而根據(jù)離心率的第一定義可得PF2-PF1=2a②.

      變形關(guān)系式①,則有PF1=ed,PF2=e2d,代入關(guān)系式②則有e2d-ed=2a,所以d= ,考慮到雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為a- ,所以 ≥a- ,即e2-2e-1≤0,解得1

      評注:上述在求解雙曲線的離心率時(shí)巧妙地將第一和第二定義結(jié)合起來,從中推導(dǎo)出相關(guān)的等量關(guān)系,通過構(gòu)造離心率e的不等式來求解其范圍,從而達(dá)到解題的目的. 因此在平時(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)需要充分理解圓錐曲線的定義,掌握其應(yīng)用方法.而根據(jù)定義開展離心率求解的具體思路為:基于離心率的定義分列等量關(guān)系,并構(gòu)造出含有離心率e的關(guān)系式,然后通過關(guān)系式的變形轉(zhuǎn)化、方程求解等方式來求解.

      策略二:基于定點(diǎn)坐標(biāo),構(gòu)建代數(shù)方程

      標(biāo)準(zhǔn)方程是圓錐曲線量化的重要方式,也是研究圓錐曲線的重要內(nèi)容,根據(jù)點(diǎn)與曲線方程的關(guān)系可知曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)必然滿足對應(yīng)曲線的方程,因此求解時(shí)除了可以利用離心率的定義外,還可以利用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo),構(gòu)建關(guān)于參數(shù)a,b,c的代數(shù)方程.

      例2:如圖1所示,橢圓 + =1(a>b>0)位于平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A1,A2,B1,B2,點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn),連接A1B2,B1F,設(shè)其交點(diǎn)為點(diǎn)T,再連接OT,交橢圓于點(diǎn)M,若點(diǎn)M恰好為線段OT的中點(diǎn),試求該橢圓的離心率.

      解析:本題目的特點(diǎn)主要為在平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)建橢圓圖形,以及相關(guān)幾何關(guān)系,因此離心率的求解需要依托點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合離心率的表達(dá)式逐步轉(zhuǎn)化推導(dǎo). 具體如下:

      根據(jù)題干可設(shè)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),F(xiàn)(c,0),因此直線A1B2的方程可表示為bx-ay+ab=0,而直線B1F的方程可表示為bx-cy-bc=0,點(diǎn)T為兩線的交點(diǎn),故聯(lián)立兩直線方程可解得點(diǎn)T的坐標(biāo)為 , ,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 , . 考慮到點(diǎn)M位于橢圓上,則滿足橢圓的方程,代入可得 + =1,整理得e2+10e-3=0,解得e=2 -5,即該橢圓的離心率為2 -5.

      評注:上述在求解橢圓的離心率時(shí),以點(diǎn)坐標(biāo)作為切入點(diǎn),聯(lián)系直線方程、幾何中點(diǎn)特性,完成關(guān)于離心率方程的構(gòu)建,雖然計(jì)算過程較為復(fù)雜,但整個(gè)求解思路較為清晰,就是以橢圓上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)作為整個(gè)思路的核心,逐步開展探究.因此基于曲線上定點(diǎn)坐標(biāo)求解離心率的具體思路為:結(jié)合圖像,聯(lián)系幾何性質(zhì)完成曲線上定點(diǎn)坐標(biāo)的表示,然后利用定點(diǎn)在曲線上的方程特性變形出關(guān)于離心率方程,從而實(shí)現(xiàn)離心率的求解.

      策略三:基于數(shù)形結(jié)合,探尋對應(yīng)關(guān)系

      離心率問題有時(shí)涉及曲線圖像,并以曲線圖像為基礎(chǔ)構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形,對于該類問題可以采用數(shù)形結(jié)合的方法策略,即將圖像中的幾何性質(zhì)與圓錐曲線知識(shí)相結(jié)合,從中提煉出代數(shù)式,然后完成離心率的變形提取.

      例3:已知F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)為橢圓 + =1(a>b>0)的左右焦點(diǎn),若點(diǎn)P為橢圓右準(zhǔn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),現(xiàn)連接PF1,PF2,再作PF1的垂直平分線,恰好垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)F2,試求橢圓離心率e的取值范圍.

      解析:本題在橢圓中構(gòu)建了幾何線段的垂直平分線,因此求解時(shí)可以充分利用數(shù)形結(jié)合的方法,首先根據(jù)題干描述繪制相應(yīng)的圖像,如圖2,設(shè)右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)Q,根據(jù)平分線的性質(zhì)可得PF2=F1F2=2c,而點(diǎn)P存在的條件為PF2≥F2Q= -c,即2c≥ -c,則3c2≥a2,解得e≥ . 又知橢圓離心率e<1,所以 ≤e<1,即橢圓離心率e的取值范圍為 ,1.

      評注:上述離心率求解問題存在鮮明的特點(diǎn),即在橢圓中構(gòu)建了垂直平分線,因此采用數(shù)形結(jié)合,利用幾何性質(zhì)構(gòu)建代數(shù)關(guān)系是最為有效的策略. 采用數(shù)形結(jié)合法求解離心率范圍的具體策略為:先分析其中的幾何特性,然后采用數(shù)形結(jié)合的策略將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于曲線參數(shù)a,b,c的不等關(guān)系,最后結(jié)合不等式的性質(zhì)確定離心率的取值范圍.

      策略四:利用參數(shù)方程,轉(zhuǎn)化離心率

      參數(shù)方程是求解圓錐曲線問題較為常用的知識(shí),在求解圓錐曲線的離心率問題時(shí)同樣可以利用對應(yīng)曲線的參數(shù)方程,即將曲線的方程、點(diǎn)坐標(biāo)用對應(yīng)參數(shù)表示,然后基于題干條件從中提煉出關(guān)于曲線離心率的參數(shù)式.

      例4:已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1(a>b>0),若橢圓與x軸的正方向交于點(diǎn)A,橢圓上存在一點(diǎn)P使得OP⊥PA(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)),試求該橢圓離心率的取值范圍.

      解析:上述離心率問題中給出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及相關(guān)的垂直關(guān)系,因此求解時(shí)需要利用其斜率乘積的關(guān)系.如果采用常規(guī)的設(shè)點(diǎn)P的一般坐標(biāo),求兩直線的斜率也可以構(gòu)建相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系,但相對而言較為復(fù)雜,最為簡潔的方式是引入橢圓的參數(shù)方程,將點(diǎn)P的坐標(biāo)參數(shù)化,構(gòu)建相應(yīng)的參數(shù)關(guān)系式,從中變形出離心率. 具體如下:

      設(shè)上述橢圓的參數(shù)方程為x=acosθ,y=bsinθ, θ為參數(shù),則動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)可表示為(acosθ,bsinθ),其中θ≠ ,k∈Z,則直線OP的斜率可以表示為 . 由橢圓方程可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),則直線PA的斜率可以表示為 . 由于OP⊥PA,則兩線段所在直線的斜率之積應(yīng)為-1,即 · =-1,化簡變形后可得 = ,而離心率e2=1- = ,其中cosθ的取值范圍為(0,1),所以 的取值范圍為 ,1,則e∈ ,1,即橢圓離心率的取值范圍為 ,1.

      評注:上述求解涉及兩線垂直的離心率問題時(shí)引入了橢圓的參數(shù)方程和點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo),然后基于題干條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程,從而逐步完成離心率取值求解. 需要注意的是在分析時(shí)需要考慮參數(shù)的取值范圍,確保離心率范圍的合理性. 另外利用參數(shù)方程求解離心率取值的基礎(chǔ)是掌握相關(guān)曲線參數(shù)方程的表示形式,包括圓、橢圓、雙曲線等,同時(shí)注意總結(jié)歸納直線與曲線相結(jié)合問題的參數(shù)方程構(gòu)建形式.

      綜上可知,求解圓錐曲線離心率問題的關(guān)鍵是充分利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)以及幾何圖形的關(guān)聯(lián)知識(shí),從中挖掘隱含條件,構(gòu)建關(guān)于離心率或者曲線參數(shù)的代數(shù)關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化出離心率的取值. 雖然離心率問題的解題策略較為眾多,但始終離不開基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用,因此學(xué)習(xí)時(shí)需要重視教材內(nèi)容,善于總結(jié)歸納,構(gòu)建不等式、函數(shù)、代數(shù)、幾何等知識(shí)體系,強(qiáng)化自我對圓錐曲線內(nèi)容的理解,促進(jìn)解題能力的提升.

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