陳建國

[摘 ?要] 學生的數(shù)學現(xiàn)實是學習新知識的基礎(chǔ)，數(shù)學例題則是思考和拓展的源頭. 用“再創(chuàng)造”理念挖掘例題的教育價值，對例題進行拓展，有利于加深知識的鞏固，能引導學生對例題進行解題方法的策略引導，揭示數(shù)學本質(zhì)，激活學生的思維，逐步培養(yǎng)學生主動探求數(shù)學問題的鉆研精神.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學例題;再創(chuàng)造;課堂教學

在實際教學中，對于例題的教學處理，不少教師只關(guān)注解題思路與解題結(jié)果，觀察和思考問題的角度單一、方法單調(diào)，缺乏對例題進行開發(fā)與挖掘，對例題反映出來的思想方法不注重提煉與延伸，對例題隱藏的教育功能沒有領(lǐng)會，最后就是學生學習例題后能夠?qū)χR點進行模仿和操作，而沒有對例題從本質(zhì)與解決策略上加以領(lǐng)悟.

“再創(chuàng)造”理論的奠基者荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾指出：數(shù)學教學不是“單純讓學生鸚鵡學舌地復述所學的現(xiàn)成數(shù)學”，而是“將數(shù)學作為一種活動來進行解釋和分析”. 數(shù)學教師的任務是指導和幫助學生進行這種“再創(chuàng)造”活動.

回溯知識原點，教材資源將是進行再創(chuàng)造學習的生長點. 在日常的教學中，對于教材例題和復習例題，要有針對性地進行改編與選擇，要注重對例題反映出來的思想方法進行提煉，做到低起點、高落點，倡導對學習方式進行變革，對例題知識點進行遷移，創(chuàng)新解決方法，以透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì). 挖掘數(shù)學例題的內(nèi)在邏輯力量，抓住知識本質(zhì)，沿著思維主線，讓問題自然而然地解決，使數(shù)學教學成為一個“準發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造”的過程，是我們需要進一步思考的問題. 下面是筆者結(jié)合多年的教學實踐，對初中數(shù)學例題“再創(chuàng)造”教學實施策略的一些探索與思考.

回溯知識尋原點，創(chuàng)造生成續(xù)

美篇

簡單地說，回溯就是回歸，回歸到最初的原始狀態(tài). 原始狀態(tài)，一方面指數(shù)學例題本身的“基本素材”狀態(tài)，它是知識延伸的出發(fā)點，比如一個基本圖形或基本的知識點;第二個方面是指學生該有的生活經(jīng)驗和認知經(jīng)驗狀態(tài). 正如波利亞所說的“學生原本已經(jīng)形成的條件”. 要做到這一點，就要先“帶過去”，即把學生帶到例題本身的基本素材;再“帶回來”，即在基本素材的基礎(chǔ)上進行簡要開發(fā)，重新回到例題本身，從而把學生的思緒帶回來.

案例1 ?如圖1，在六邊形ABCDEF中，EF∥BC，AF∥CD，DE∥AB，求∠FAB+∠BCD+∠DEF的度數(shù).

解析 ?如圖1，連接AD，因為AB∥DE，CD∥AF，所以∠EDA=∠BAD，∠FAD=∠CDA. 所以∠EDA +∠CDA=∠BAD +∠FAD，即∠FAB=∠CDE. 同理，∠ABC=∠DEF，∠BCD=∠EFA. 因為∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=（6-2）×180°= 720°，所以∠FAB+∠BCD+∠DEF=720°÷2=360°.

思考1：有沒有其他的解法？

回溯：（1）帶過去. 如圖2，已知AB∥DE，求∠FAB+∠EFA+∠DEF的度數(shù).

（2）帶回來. 首先用添平行線的方法求得結(jié)果，再添線（DC∥FA，BC∥EF）構(gòu)造成圖3的樣子，要求∠FAB+∠BCD+∠DEF的度數(shù)，由此只要證明∠EFA=∠DCB.

圖2就是一個原始素材，解決策略一般是添加平行線，于是就有了圖3的兩條平行線. 由于圖3所作平行線太靠近，教師可以略作處理成圖4.

如圖4，容易證得∠ABC=∠FMC=∠FNC=∠DEF（要證的是∠DCB=∠EFA，卻得到∠ABC=∠DEF ），同理可得∠BCD=∠EFA，∠FAB=∠CDE，問題得證.

正是眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處.

這是再創(chuàng)造的美，當然也是這堂課的最亮點.

思考2：還有沒有其他的解法？

如圖1，在六邊形ABCDEF中，EF∥BC，AF∥CD，DE∥AB，求∠FAB+∠BCD+∠DEF的度數(shù). 此題還可以回溯到哪里？

回溯：（1）帶過去. 如圖5，已知MB∥NE，BN∥EM，求證：∠MBN=∠MEN.

（2）帶回來. 如圖6，已知MB∥NE，BN∥EM，點A，C，D，F(xiàn)分別在MB，BN，EN，ME上，且CD∥AF，求∠FAB+∠BCD+∠DEF的度數(shù). （這正是例題，解決過程略）

思考3：還有沒有其他的解法？

還可以這樣回溯：如圖7，在△PQR中，取AF∥PR，BC∥PQ，DE∥QR，去掉圖中的虛線，求∠FAB+∠BCD+∠DEF的度數(shù). （這也是例題，解決過程略）

教學啟示 ?教師的作用是把學生帶回去，“再”從頭開始. 帶回去能“理所當然”地找準例題的最近發(fā)展區(qū)，這是再創(chuàng)造的最初出發(fā)點，學生顯然可以得到收獲. “再”把學生的思維帶回來，“創(chuàng)造”新的思考——再非常自然地連接這些新思考的關(guān)鍵點，讓學生主動生成“解決策略”. 案例1中的思考1、思考2、思考3就是一種范式做法. 回溯知識尋原點，創(chuàng)造生成續(xù)美篇，不是“帽子里突然跳出一只兔子”的感覺.

嚴格示范重本質(zhì)，養(yǎng)好習慣提能力

例題具有把知識與技能、思想和方法聯(lián)系起來的“紐帶”作用. 而它的分析與解決過程是知識深化、能力提高、創(chuàng)造力發(fā)展的重要途徑，能為學生解決數(shù)學問題提供示范作用. 再創(chuàng)造方法下的例題教學能讓學生養(yǎng)成良好的學習習慣，提高思維水平. 這就要求教師對例題教學要有正確而嚴格的示范性.

案例2 浙教版七下“6.1 ?因式分解”一課的例題如下.

檢驗下列因式分解是否正確：

（1）x2y-xy2=xy（x-y）;

（2）2x2-1=（2x+1）（2x-1）;

（3）x2+3x+2=（x+1）（x+2）.

本節(jié)課是因式分解的起始課，所以在概念教學之后配置了以上例題，目的是鞏固概念，讓學生更好地體會因式分解的意義. 雖然試題的難度不大，大部分學生能判斷因式分解正確與否，但例題蘊含的知識內(nèi)涵卻很深，需要教師在教學中給予學生清楚的示范和引領(lǐng). 下面是甲、乙兩位教師教學時的師生互動過程.

【甲教師】 ?教師呈現(xiàn)題目以后，自己先把題目讀了一遍，就說道：你們應該知道是正確還是不正確，但要注意解題書寫的格式，看黑板. 于是，教師在黑板上板演了第（1）小題——

解：（1）因為xy（x-y）=x2y-xy2，所以因式分解x2y-xy2=xy（x-y）正確.

寫完后又不放心地強調(diào)說：你們看好，我們只要把等號右邊的式子乘出來，看是否等于左邊就可以進行判斷了，懂了嗎？

（學生一齊答“懂了”，然后模仿教師的板書完成了后面兩道題的檢驗）

【乙教師】 ?教師在呈現(xiàn)題目以后，一言不發(fā)，讓學生讀題、審題. 然后問：誰有辦法檢驗它們是否正確呢？

生1：可以把等號右邊的式子乘出來.

師：好，你說老師寫.

（師板書：（1）因為xy（x-y）=x2y-xy2，）

師：然后呢？

生1：因為乘出來的結(jié)果和左邊相等，所以因式分解是正確的.

（師繼續(xù)板書：所以因式分解x2y-xy2=xy（x-y）正確）

師（追問）：那如果不相等呢？

生1：那就說明因式分解是不正確的.

師：（故作疑惑）那么在檢驗因式分解是否正確的過程中實際上運用了什么方法？

生（齊）：（思考片刻）整式的乘法……

（接著，學生完成后面兩道題的檢驗，從中體會因式分解和整式乘法本質(zhì)上是一種互逆的關(guān)系，所以因式分解的結(jié)果是否正確，可以用整式乘法來檢驗）

教學啟示 ?案例2的教學過程體現(xiàn)了教師對例題的兩種不同解讀和兩種不同的處理方法. 甲教師使用的是傳統(tǒng)方式，沒有充分暴露解題思路，只重視例題的解題板演過程，完成了例題的顯性示范作用，目的只是讓學生能模仿解題，這只停留在了表面，沒有深入到知識內(nèi)部，對后期的學習沒有延續(xù)作用. 乙教師加強了師生的互動過程，不僅完成了例題的顯性示范性，而且進一步深化了例題的隱性知識，讓學生明白為什么可以這樣做，在后續(xù)的學習中也能運用這個方法檢驗自己的學習結(jié)果. 我們知道，讓學生通過例題的學習能夠遵循或模仿最基本的解題格式是必要的示范，我們稱之為顯性示范. 但引導學生正確理解題意，揭示問題本質(zhì)，在理解知識概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上去分析、推導，最后解決問題，這是本質(zhì)的示范，我們稱之為隱性示范.

嚴格示范重本質(zhì)，養(yǎng)好習慣提能力. 對于類似的例題處理方法，教師可以在課前進行預設(shè)，這就要求教師在實施教學之前要認真解讀教材例題，優(yōu)化例題的教學方法，從更深層次正確規(guī)范例題的示范性. 如果每一位教師都能長此以往地堅持下去，相信學生對例題的價值會有更深的體會，從而例題的輻射作用會更大，學生良好的學習習慣便會得以養(yǎng)成，解題能力也會得以提升.

引導學生多探析，倡導傳道也

解惑

例題教學要倡導帶著學生圍繞基本問題一起深入探究，讓學生體會基本問題的本質(zhì)解題方法——如何在適當增加問題枝的情況下思考解決問題的方法，教師要重視這個探析過程，這是培育學生探索精神的有效途徑.

再創(chuàng)造教學在于教師引導學生像數(shù)學家那樣“走彎路”，珍惜學生的思考過程，逐步帶領(lǐng)學生走向“思維的叢林”. 因此，教師可以從原始例題出發(fā)，抓住例題解決的核心問題，引導學生層層深入地探索、分析問題，逐步解開思維的“枷鎖”，達到豁然開朗. 例題教學不僅是“傳道”，而且是“解惑”.

案例3 ?浙教版九年級上冊“圓的基本性質(zhì)”復習題：已知△ABC內(nèi)接于半徑為2 cm的⊙O內(nèi)，且AB=2 ?cm，求∠ACB的度數(shù). （可借助圖8進行解答）

1. 初步探析

探析1：已知△ABC內(nèi)接于半徑為2 cm的⊙O內(nèi)，且AB=2 cm，則當AB邊上的高為（ ? ? ?）時，△ABC為等腰三角形. （可借助圖9進行解答）

A. 1 cm

B. 3 cm

C. 1 cm或3 cm

D. 1 cm或2 cm或3 cm

探析2：已知△ABC內(nèi)接于半徑為2 cm的⊙O內(nèi)，△ABC三邊上的高交于點G，通過幾何畫板觀察動態(tài)，如圖10，當△ABC為等邊三角形時，CG的長為______.

2. 深入探析

探析3：已知△ABC內(nèi)接于半徑為2 cm的⊙O內(nèi)，點C在弦AB所對的優(yōu)弧上，且AB=2 cm，如果△ABC三邊的高所在的直線交于點G，如圖11，請觀察動態(tài)，猜想CG的長，說出你的解題思路.

探析4：已知△ABC內(nèi)接于半徑為2 cm的⊙O內(nèi)，且AB=2 cm，點C在弦AB所對的劣弧上，再猜想CG的長，并說出你的解題思路，如圖12.

教學啟示 ?圓的基本性質(zhì)的復習需要結(jié)合特殊三角形，教師以“120°圓心角”這一基本圖形為例題，充分展現(xiàn)圓的問題解決策略——“轉(zhuǎn)化到直角三角形，量與量間互化”. 而且不斷地創(chuàng)造性地對問題進行探析，在實現(xiàn)問題解決的同時，讓學生體會解決問題的轉(zhuǎn)化、分類討論等重要數(shù)學思想.

引導學生多探析，倡導傳道也解惑，能讓學生經(jīng)歷再創(chuàng)造過程，提升學生解決問題的能力，同時發(fā)展學生的創(chuàng)新意識與探究精神. 我們要培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng)，就應該關(guān)注教學過程，引導學生不斷地創(chuàng)造性地探索、分析，要傳“回歸原點、探析本源”的道，更要讓學生體會此“道”何來，以及為何可以這樣來.

例題創(chuàng)變現(xiàn)靈活，變式訓練育

能力

一題一解是一般例題的基本情況，目標指向明確，且解法是倡導的通性通法，基礎(chǔ)性強，適合大多數(shù)學生的認知需求. 所以學生在學習例題的同時也掌握了解題的模式，并會機械地應用這個模式去完成相似的習題，這容易造成思維定式. 再創(chuàng)造學習在于讓學生不斷地追求求異思維和創(chuàng)新，所以教師要善于“留白”，要引導學生不斷生成，在生成中達到知識的融會貫通，從而提升解題能力.

因此，進行例題的靈活變式訓練，可以進一步掌握問題的內(nèi)涵與外延，可以挖掘思維的深度與廣度，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力. 特別是對于學有余力的學生，應不斷開發(fā)例題，一題多變、一題多解或一題多用（包括靜止到動態(tài)，特殊到一般的開放性拓展），這是培養(yǎng)學生再創(chuàng)造能力的有效途徑，能提升學生的創(chuàng)新意識.

案例4 ?浙教版八年級下冊“一次函數(shù)的圖像”復習例題：已知一次函數(shù)y=（1-2m）x+m-1，函數(shù)值y隨x的增大而增大，求m的取值范圍.

變式1：已知一次函數(shù)y=（1-2m）x+m-1，函數(shù)圖像與y軸的負半軸相交，求m的取值范圍.

變式2：已知一次函數(shù)y=（1-2m）x+m-1，函數(shù)圖像經(jīng)過第二、三、四象限，求m的取值范圍.

變式3：已知一次函數(shù)y=（1-2m）x+m-1，函數(shù)圖像不經(jīng)過第一象限，求m的取值范圍.

變式4：已知一次函數(shù)y=（1-2m）x+m-1，函數(shù)圖像一定經(jīng)過一個定點，求這個定點.

變式5：已知一次函數(shù)y=（1-2m）x+m-1，函數(shù)圖像與坐標軸形成的三角形為等腰直角三角形，求m的值.

教學啟示 ?例題本身可以直接運用一次函數(shù)的性質(zhì)加以解決. 變式1與變式2要求學生利用一次函數(shù)的性質(zhì)解題，解題時需數(shù)形結(jié)合，并應用不等式求m的取值范圍. 變式2雖然也考查一次函數(shù)的性質(zhì)，但在不能準確作圖的情況下，開始抽象地應用性質(zhì)來解題. 同時，還要求學生理解一次函數(shù)y=kx+b中，k≠0，要求略高. 變式3不僅僅是前面問題的思考延續(xù)，更多的是對一次函數(shù)包括正比例函數(shù)這一重要內(nèi)容的涵蓋，思維力度加大. 變式4與變式5是對例題的創(chuàng)新，體現(xiàn)了數(shù)學的靈活性，能使枯燥乏味的數(shù)學課堂充滿活力，能讓學生體會思維的發(fā)散性. 從某種意義上來說，變式能力就是創(chuàng)新能力.

例題創(chuàng)變現(xiàn)靈活，變式訓練育能力. 例題潛在功能的發(fā)揮需要充分地創(chuàng)變，再從訓練中完成知識的整理與解題策略的總結(jié)，從而在有限的課堂時間內(nèi)創(chuàng)造更大的教學效益.

解后反思應開展，學習品質(zhì)該

培育

教師除了要引導例題的解題方法外，還應引導學生多方位、多角度地回想、思考、反思問題的本質(zhì)特征是什么，是否理解問題的解決方法，要培養(yǎng)學生的反思意識和反思品質(zhì)，養(yǎng)成反思習慣，發(fā)揮反思作用，提升再創(chuàng)造學習數(shù)學的能力.

案例5 ?浙教版七年級上冊“一元一次方程的應用”復習例題：某家具裝配廠40名工人裝配桌子和椅子，每人每天平均裝配桌子60張或椅子30把，1張桌子要配2把椅子. 為了使每天的桌子和椅子剛好配套，應該分配幾名工人裝配桌子、幾名工人裝配椅子？

（例題出示后，學生積極思考）

生1：（板演）

解：設(shè)x名工人裝配桌子，根據(jù)題意，得60x=2×30（40-x），解得x=20. 所以20名工人裝配桌子，20名工人裝配椅子.

（做完后生1心情復雜地摸著頭，感覺哪里有問題，但又不知道問題出在哪里，充滿疑慮地回到了座位）

師：有多少同學像生1這樣列方程？請舉手！

（近一半的同學舉了手，情況出乎筆者預料）

師：同學們代入檢驗一下，告訴我結(jié)果.

生2：裝配桌子1200張，椅子600把，這與1張桌子要配2把椅子相矛盾.

（同學們議論紛紛，反思從此開始）

生3：我認為方程應該是2×60x=30×（40-x），椅子的數(shù)量多，桌子的數(shù)量少.

師：對！椅子的數(shù)量多，桌子的數(shù)量少.

（教師在黑板上舉例說明： 桌子1、椅子2;桌子2、椅子4;桌子3、椅子6……）

師：從桌子數(shù)量與椅子數(shù)量的比例關(guān)系我們知道，椅子的數(shù)量是桌子數(shù)量的2倍，所以方程應該為2×60x=30（40-x）.

反思：同學們?yōu)槭裁磿谐龇匠?0x=2×30（40-x）呢？一是學生沒有理解“1張桌子要配2把椅子成一套”的真正含義. 二是沒有理解列方程的本質(zhì)，事實上，列方程就是同一數(shù)量用兩種不同的形式來表示，如方程右邊表示椅子的數(shù)量，方程左邊用另一種形式表示椅子的數(shù)量——用桌子的數(shù)量來表示椅子的數(shù)量，也就是把“1張桌子要配2把椅子成一套”轉(zhuǎn)化為椅子的數(shù)量是桌子數(shù)量的2倍.

變式：某家具裝配廠40名工人裝配桌子和椅子，每人每天平均裝配桌子60張或椅子30把，2張桌子要配3把椅子，為了使每天的桌子和椅子剛好配套，應該分配幾名工人裝配桌子、幾名工人裝配椅子？

生4：設(shè)x名工人裝配桌子，根據(jù)題意，得 = .

師：你是怎么思考的？

生4：每份，也就是套數(shù).

多么精彩的回答，生4從套數(shù)尋找等量關(guān)系從而列出方程.

生5：3×60x=2×30（40-x），我是通過比例關(guān)系得到的.

生6： ×60x=30（4-x），我是這樣想的——2張桌子要配3把椅子，也就是椅子的數(shù)量是桌子數(shù)量的 倍.

教學啟示 ?從方程的本質(zhì)入手，3位學生從三個不同的角度尋找等量關(guān)系列出方程，一是從生產(chǎn)套數(shù)列方程;二是從椅子、桌子的數(shù)量相等關(guān)系列方程;三是從椅子的數(shù)量關(guān)系列方程. 反思促成思考，反思促成思維再創(chuàng)造.

解后反思應開展，學習品質(zhì)該培育. 在例題教學中，應重點引導學生進行三點反思. 第一，反思解題過程. 引導學生思考在解題的過程中是否領(lǐng)會了題意，用到了哪些基礎(chǔ)知識，解決本題的突破口在哪里，能否把條件轉(zhuǎn)化為解題的思路和方法. 第二，反思解題的方法和規(guī)律，啟發(fā)學生思考解題過程中所使用的方法有沒有更好，技能是否更好，幫助學生養(yǎng)成對方法、技能的歸類和對隱含數(shù)學規(guī)律的歸納等習慣. 第三，反思自己的思路及過程. 思考錯誤點在哪兒，當時自己為什么出錯，為什么這樣想，老師和其他同學是怎么想的，哪一種方法最優(yōu)化，此類問題今后該如何思考……堅持反思，長此以往，良好的思維品質(zhì)便會形成.

筆者認為，上述五個方面開展例題教學的策略不僅是務“虛”的，也是務“實”的. 務“虛”的可以當作例題教學的基本指導思想，務“實”的可以當作例題教學的具體操作方法. 開展例題教學應該在再創(chuàng)造教學方法的思想下，遵循主動性、活動性、層次性和系統(tǒng)性的基本原則靈活進行. 一般來說，一道例題教學要經(jīng)歷五個方面之一或者更多，但也要根據(jù)例題內(nèi)容，使彰顯的價值有主次.

筆者僅從例題的“再創(chuàng)造”教學提出了五個方面的開展策略并例析，期待更多的數(shù)學教學有識人士進一步探索.