妙用棄數(shù)法求余數(shù)

黃旭軍

今天的數(shù)學(xué)課上到最后，老師出了這樣一道思考題：

現(xiàn)共有紅珠子、白珠子、黑珠子2004顆，按1紅、2白、2黑的順序排列。第1176顆珠子是什么顏色？

班里的“小調(diào)皮”馬上舉手：“老師，這是個周期問題。每5顆珠子為一個周期，所以只要用2004除以5，再求余數(shù)，就可以知道了。”

老師說：“說得好，現(xiàn)在大家來比比誰做得快！”同學(xué)們一聽要比速度，紛紛拿出草稿紙列起了除法豎式，才寫到一半，數(shù)學(xué)課代表就舉手了?！安粫?？”同學(xué)們都驚呆了。

老師示意數(shù)學(xué)課代表講方法。課代表得意地說：“我們只要求余數(shù)，不必大動干戈列豎式！我有更好的方法，這里求1176除以5的余數(shù)，因為1175除以5沒有余數(shù)，所以1176-1175=1，1就是余數(shù)！”同學(xué)們一算，果真如此！

老師帶頭鼓掌，邊表揚邊總結(jié)道：“只求余數(shù)時，可以棄掉一些能夠整除的數(shù)，無論棄掉多少，都不會改變余數(shù)的大小。接下來，我們再來進一步體會一下這個“棄數(shù)法”的奇妙之處。

例1 下面圖形按◇△☆的順序排列，第691823個是什么圖形？

◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆……

已知要求的是第691823個圖形，三個圖形構(gòu)成的周期是◇△☆，只要用691823除以3，再求余數(shù)就可以了。

我們可以用列豎式的方法來解決問題。

求得余數(shù)是2，所以第691823個圖形，也就是◇△☆中的第二個圖形△。

用691823除以3求余數(shù)，可以棄掉3的倍數(shù)，因為一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)都是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

我們先棄掉高位上的6和9

再棄掉1和8

因為一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)，所以這里1+8=9也必能被3整除。例如21與12，207與702等都是3的倍數(shù)。

再棄掉3

無論23還是32，各個數(shù)位上的數(shù)字和都是2+3=5。而去掉3之后，只剩下十位上的“2”，所以余數(shù)是2，對應(yīng)的圖形是△。

答：第691823個圖形是△。

例2 有一個數(shù)列，小華觀察后發(fā)現(xiàn)，每兩個3之間有5、6、7、8各兩個，那么數(shù)列中第9458016987個數(shù)是幾？

按要求寫出這個數(shù)列：

3556677883556677883556677883……

我們發(fā)現(xiàn)“355667788”九個數(shù)為一個周期，所以只要求9458016987÷9的余數(shù)就可以了。

這次我們棄掉9的倍數(shù)，因為各個數(shù)位上的數(shù)是9的倍數(shù)，這個數(shù)就是9的倍數(shù)。

先棄掉9

再繼續(xù)按上面的方法進行

先去掉9，然后去掉4和5、8和1，最后只剩0、6、8、7，6+8+7+0=21。2+1=3，21除以9余數(shù)也是3，對應(yīng)的是數(shù)列中的第三個數(shù)“5”。

答：數(shù)列中第9458016987個數(shù)是5。

729584425除以9余數(shù)是多少？（答案見下期）