基于改進GM(1,N)模型的對空情報雷達費用預測

張長聰,方其慶,劉慶華,夏 亮,施端陽

(1.空軍預警學院, 武漢 430019；2.73127部隊，福州 350500)

隨著雷達裝備的日趨復雜、裝備造價逐步增加，加強裝備費用管理工作的科學性、研制計劃的綜合性以及經(jīng)濟效益的全面性，進一步做好裝備費用計劃管理工作，合理使用軍費和增強裝備作戰(zhàn)效能顯得尤為必要?；疑A測作為灰色系統(tǒng)理論的主要應用之一，因其原理簡單、計算簡便以及所需數(shù)據(jù)信息量少等優(yōu)點，適用于具有小樣本、貧信息等特點的對空情報雷達裝備費用預測。文獻[1]雖然將灰色GM(1,1)模型運用到武器系統(tǒng)費用預測中，并對預測模型進行了改進，提高了預測精度，但該模型只能反映武器裝備費用自身的變化規(guī)律，無法綜合反映外部因素對裝備費用的影響，顯然其預測結果無法令人信服。文獻[2-3]基于灰色關聯(lián)度分析，分別提出多因素灰色模型和多變量灰色模型，雖綜合考慮了多種因素的影響，但未涉及數(shù)據(jù)的光滑性處理和背景值的優(yōu)化，其預測精度難以滿足要求。因此有必要綜合考慮費用的影響因素，建立多因素灰色預測模型。

本文重點針對GM(1,N)模型存在誤差較大的問題，以對空情報雷達購置費為研究對象，提出了一種基于改進GM(1,N)模型的費用預測方法。首先利用灰色關聯(lián)度分析法選擇影響裝備費用的顯著因素并對原始數(shù)據(jù)進行光滑性處理；其次在研究GM(1,N)模型的背景值的基礎上對其進行優(yōu)化，建立GM(1,N)的改進模型；最后對部分現(xiàn)役對空情報雷達裝備購置費進行預測分析和模型對比。

1 GM(1,N)模型

灰色理論最早是由鄧聚龍教授于1982年提出，隨后在各個領域得到了廣泛的應用?；疑獹M(1,N)模型是灰色系統(tǒng)理論的主要內容之一，是由多變量構成的一階微分方程，主要是在“小子樣、貧信息”情況下，對某些復雜系統(tǒng)中主導因素與多個相關變量的擬合與預測，揭示主導因素存在的變化規(guī)律，從而預測未來的發(fā)展變化態(tài)勢[4-5]。

GM(1,N)模型預測步驟如下：

步驟1進行累加生成運算。

對原始數(shù)列進行一次累加生成n個數(shù)列，即：

步驟2生成緊鄰均值序列。

其中：

(1)

則GM(1,N)模型為：

(2)

對應白化方程為：

(3)

步驟3建立近似時間響應。

(4)

(5)

式(4)、式(5)中：

可得其GM(1,N)模型的近似時間響應為：

(6)

步驟4進行累減還原運算和誤差分析。

(7)

設ε(0)={ε(0)(1),ε(0)(2),…,ε(0)(m)}為殘差序列，則有：

殘差：

(8)

相對誤差：

e(k)=|ε(0)(k)|/x(0)(k)×100%

(9)

平均相對誤差：

(10)

2 GM(1,N)模型的改進

2.1 灰色關聯(lián)度分析

采用GM(1,N)模型進行費用預測時，需明確費用與各個因素之間的相互關系。模型顯著因素的選擇將直接影響到最后的預測精度。預測模型顯著因素選擇過少，無法有效地反映外部因素對裝備費用的影響；顯著因素選擇過多，則會造成預測結果灰度過大[6-7]。因此對原始數(shù)據(jù)進行灰色關聯(lián)度分析，能夠有效提高模型的預測精度。

設收集的原始數(shù)據(jù)矩陣為S(0),則有：

母序列：

子序列：

將原始數(shù)據(jù)進行無量綱化處理，則有：

式中：k=1,2,…,m。

(11)

(12)

如果γj≥0.5，則可認為母序列與相應子序列有關聯(lián)。

2.2 數(shù)據(jù)光滑性處理

考慮到雷達裝備采購費用受國民經(jīng)濟、科技發(fā)展水平、采購制度等因素影響，采集的原始數(shù)據(jù)必然存在一定的波動性，而GM(1,N)模型在處理具有波動性的數(shù)據(jù)序列時存在一定的局限性，原因在于原始數(shù)據(jù)不能滿足預測模型對光滑性的要求。因此為了更準確地預測對空情報雷達裝備費用，首先對篩選后的原始數(shù)據(jù)進行預處理，使處理后的數(shù)據(jù)滿足預測模型對光滑性的要求[9]。

設Q(0)為S(0)經(jīng)過灰色關聯(lián)度分析篩選后的原始數(shù)據(jù)矩陣，X(0)為Q(0)經(jīng)過對數(shù)處理后的建模數(shù)據(jù)矩陣，記為

其中，

式中,j=1,2,…,n。

為提高原始數(shù)據(jù)的光滑性，下面對初始數(shù)據(jù)參數(shù)作對數(shù)處理，即：

(13)

式(13)中，j=1,2,…,n，k=1,2,…,m。

將處理得到的數(shù)據(jù)作為模型預測的原始建模數(shù)據(jù)，預測完成后再對預測結果進行指數(shù)還原，即：

(14)

2.3 模型背景值優(yōu)化

背景值的構造形式是影響模型預測精度的主要因素之一，對背景值的改進能夠有效降低模型預測誤差，增強模型適用性[10]。文獻[11-12]在研究模型背景值與實際背景值關系的基礎上，分別給出了背景值優(yōu)化公式，有效降低了模型背景值產(chǎn)生的誤差，提高預測精度。本文在研究背景值構造的基礎上，提出GM(1,N)模型背景值的優(yōu)化方法，從而提高模型預測精度。

引入加權因子λ對式(1)進行重構，即：

z(1)(k)=λx(1)(k)+(1-λ)x(1)(k-1)，

k=2,3,…,n

(15)

λ稱為加權系數(shù)(0<λ<1)，式(1)為λ=0.5時的特殊情況。

當原始值與模型預測值之差的平均相對誤差達到最小，即：

(16)

此時滿足上述條件的λ值計算出來的預測結果誤差最小，即為最優(yōu)解。

2.4 模型改進后的計算步驟

基于上述預測模型改進對策，將改進后的模型應用到費用預測中，計算步驟如下：

步驟1收集雷達裝備性能參數(shù)指標，計算出費用綜合因子；選取與費用相關性較大的n個數(shù)據(jù)建立初始數(shù)據(jù)S(0)，并進行灰色關聯(lián)度分析(ρ取0.3)，通過分析結果選取與費用關聯(lián)度較大的數(shù)據(jù)序列作為原始數(shù)據(jù)序列Q(0)。

步驟2將原始數(shù)據(jù)Q(0)取對數(shù)進行光滑性處理，將處理后的數(shù)據(jù)作為原始建模數(shù)據(jù)序列X(0)。

3 實例驗證

購置費是對空情報雷達裝備全壽命周期費用的重要組成部分，在總費用中占據(jù)很大的比重。做好對空情報雷達裝備購置費的預測，對加強裝備費用管理、科學制定裝備采購計劃和提高軍事經(jīng)濟效益具有重要的實際意義。本文采集了自1986年以來軍用對空情報雷達購置費及其相關戰(zhàn)技術性能指標，并對數(shù)據(jù)進行了預處理，提出費用綜合因子，采用德爾菲法對與對空情報雷達購置費相關的影響因素進行 4 輪專家意見征詢，從中選取了相關性較大的10個參數(shù)序列：搜索發(fā)現(xiàn)能力、定位能力、抗雜波能力、抗導彈打擊能力、抗隱身能力、抗低空突防能力、生存能力、系統(tǒng)可用度、抗有源干擾能力和信息處理能力等[13-14]，記為：Xi(i=2,3,…,11)。

首先，對原始數(shù)據(jù)進行灰色關聯(lián)度分析(分辨系數(shù)ρ取0.3)，可得到費用與各影響因素之間的關聯(lián)度γi=(0.83,0.86,0.84,0.75,0.78,0.75,0.75,0.73,0.80,0.82),i=2,3,…,11。預測模型顯著因素選取不宜過多也不宜過少，選擇過少，無法有效地反映外部因素對費用的影響；選擇過多，則會造成預測結果灰度過大。結合本文關聯(lián)度分析結果，選取關聯(lián)度大小等于0.8的影響因素：X2、X3、X4、X10和X11，即為搜索發(fā)現(xiàn)能力、定位能力、抗雜波能力、抗有源干擾能力和信息處理能力等因素。因此，選取以上5個因素數(shù)列作為原始建模數(shù)據(jù)，建立改進GM(1,6)模型進行費用預測。然后，基于本文提出的改進GM(1,N)模型的計算步驟，通過數(shù)據(jù)處理和背景值優(yōu)化，結合Matlab仿真，對我某軍在役的6個型號的對空情報雷達裝備進行購置費預測，得到了預測結果并進行對比分析。如表1所示，利用本文改進模型對6個型號的對空情報雷達裝備在2017—2019年度的購置費用進行了預測，平均相對誤差分別為：1.96%、1.94%和1.95%，表明本文方法適用于未來費用預測且精度較高。

表1 本文模型不同年份預測結果

表2 不同模型預測結果

為了突出本文改進的GM(1,6)模型進行費用預測的優(yōu)越性，以2019年購置費為例，將預測結果分別與多元線性回歸模型、傳統(tǒng)GM(1,6)模型進行對比分析，預測結果和相對誤差如表2所示。3種模型的平均相對誤差分別為7.53%，15.91%，1.95%。從表2的預測結果可以看出，雖然以上3種方法都能夠對雷達費用進行預測，但從平均相對誤差的大小來看，通過結果分析和比較，在原始數(shù)據(jù)信息均滿足模型預測要求的情況下，本文提出的改進GM(1,6)模型誤差最小，傳統(tǒng)GM(1,6)模型誤差最大。結合表2的預測結果，本文進一步給出了3種方法的實際值與預測值曲線和相對誤差曲線，如圖1、圖2所示。

由圖1可以明顯看出，對空情報雷達裝備購置費波動性較大，呈不穩(wěn)定性。多元線性回歸模型和GM(1,6)模型與實際數(shù)據(jù)曲線擬合效果較差，相比之下預測精度較低，在預測精度要求較高的情況下并不能很好地滿足實際需求。而本文提出的改進模型預測數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)擬合效果更好，更為接近實際購置費曲線，結果更加符合實際情況，表明了本文方法預測精度更高。

圖1 實際值與預測值曲線

從圖2對比分析可以得出，以上3種方法中線性回歸模型和GM(1,6)模型預測誤差較大，其中GM(1,6)模型的誤差最大，而相比之下本文提出的預測方法誤差最小，說明在小樣本、貧信息的情況下，進行費用預測時，本文的改進模型要優(yōu)于線性回歸模型，線性回歸模型要優(yōu)于傳統(tǒng)GM(1,N)模型。

圖2 相對誤差對比曲線

4 結論

本文提出的改進GM(1,N)模型通過灰色關聯(lián)度分析、數(shù)據(jù)光滑性理和背景值優(yōu)化，提高了模型與實際數(shù)據(jù)的擬合效果，預測結果更加符合實際情況，充分發(fā)揮灰色系統(tǒng)預測所需數(shù)據(jù)少、預測精度高的優(yōu)勢，且對原始數(shù)據(jù)的要求不高，無須具有典型的分布規(guī)律，相比之下更具有實用性。因此，從對空情報雷達裝備費用預測的精度來看，本文提出的改進GM(1,N)模型要明顯優(yōu)于線性回歸模型和GM(1,N)模型，在對空情報雷達裝備費用預測中具有較強的實用性。