基于SMT方法的測試性驗證試驗方案設(shè)計

(海軍航空大學(xué)，山東 煙臺 264001)

測試性是需要在裝備設(shè)計中予以考慮并實現(xiàn)的一種設(shè)計特性，旨在及時準(zhǔn)確地確定裝備的運行狀態(tài)，同時實現(xiàn)對裝備故障進(jìn)行有效隔離的目的[1]。隨著測試性技術(shù)的快速發(fā)展，對測試性水平進(jìn)行評估的測試性驗證試驗成為了當(dāng)前測試性工程領(lǐng)域中亟需解決的問題。測試性驗證的實施旨在通過試驗的方式檢驗和衡量裝備是否滿足規(guī)定的測試性指標(biāo)要求，以此來指導(dǎo)裝備測試性水平的提升[2]。

現(xiàn)階段，國內(nèi)外指導(dǎo)測試性驗證試驗方案多采用故障注入的方式[3-4]，即在裝備中注入確定的故障樣本量，然后用規(guī)定的方法對故障進(jìn)行檢測/隔離判定，用以得到滿足指標(biāo)要求值所允許的合格判定數(shù)?？梢姡收献⑷氲氖滓h(huán)節(jié)就是故障樣本量的確定，而故障注入試驗的危害性使得所有故障樣本的注入無法進(jìn)行[5]，所以如何科學(xué)合理有效地確定故障樣本量，以及使確定的故障樣本量盡可能小是研究的重難點。而方案設(shè)計的方法多為國軍標(biāo)準(zhǔn)[6-7]，同時相關(guān)研究者也針對如何有效降低故障樣本量的方法進(jìn)行了一些研究[8-10]。針對經(jīng)典測試性驗證方案，文獻(xiàn)[11]以故障檢測率(FDR)為驗證指標(biāo)，基于研制階段試驗數(shù)據(jù)和專家經(jīng)驗數(shù)據(jù)運用Bayes方法確定測試性驗證試驗的樣本量，較之經(jīng)典驗證方案而言，樣本量得到了一定程度的降低。文獻(xiàn)[12]利用信息熵度量驗前信息，將驗前信息等效為成敗型數(shù)據(jù)，并以某型雷達(dá)發(fā)射分機(jī)為例驗證了該方案能有效降低試驗所需樣本量。文獻(xiàn)[13]運用證據(jù)理論的方法，建立了基于融合不同種類研制信息的測試性驗證試驗方案，結(jié)果表明測試性驗證所需樣本量較之經(jīng)典驗證方案降低，隨著研制信息量的增加，所確定的故障樣本量保持減少的趨勢。但上述文獻(xiàn)對于驗前信息的依賴較大，當(dāng)驗前信息不充足時所確定的故障樣本量仍然較大，不利于導(dǎo)彈等高精度武器裝備的測試性驗證試驗的實施。針對SPRT測試性驗證方案，文獻(xiàn)[14]以某型導(dǎo)彈飛行控制系統(tǒng)為研究對象，提出一種基于SPRT方法的測試性驗證試驗方案，所確定的故障樣本量較之經(jīng)典驗證方法有明顯降低。文獻(xiàn)[15]以二項分布模型為基礎(chǔ)，基于Bayes方法和SPRT方法設(shè)計并制定了測試性驗證試驗方案，結(jié)果表明新方案所確定的平均樣本量優(yōu)于SPRT方法。但上述文獻(xiàn)在試驗確定前無法控制抽樣樣本量，雖然采取了一定的截尾措施，但是所確定的樣本量仍存在較大的問題，不利于導(dǎo)彈等武器裝備的實際驗證試驗。

為此，結(jié)合SPRT方法的優(yōu)點，以承制方和使用方指標(biāo)值構(gòu)建檢驗問題，在此基礎(chǔ)上確定檢驗點個數(shù)以及檢驗點取值和最大樣本量的優(yōu)化約束問題，同時考慮最大樣本量仍較大情況下的優(yōu)化截尾問題，實現(xiàn)基于SMT方法的測試性驗證方案的設(shè)計。

1 問題描述

1.1 經(jīng)典測試性驗證方案

經(jīng)典測試性驗證方法以二項分布模型為基礎(chǔ)，采用單次抽樣方法，通?？梢圆捎贸闃犹匦院瘮?shù)進(jìn)行描述[16]：

(1)

式中,p為測試性指標(biāo);(N,C)為需要確定的故障樣本量以及合格判定數(shù);F為驗證試驗時未能成功檢測/隔離故障的次數(shù)。

當(dāng)給定承制方風(fēng)險值α和使用方風(fēng)險值β時，(N,C)的求解需滿足以下不等式約束條件：

(2)

式中,p0為承制方指標(biāo)要求;p1為使用方指標(biāo)要求。

研究表明，給定指標(biāo)參數(shù)(p0,p1,α,β)后，通過式(2)的約束能在驗證試驗開展前確定試驗所需樣本量，但所確定的樣本量過大，不利于導(dǎo)彈武器裝備的測試性驗證試驗。

1.2 SPRT測試性驗證方案

考慮假設(shè)檢驗問題：

H0:p=p0,H1:p=p1

(3)

每次故障注入試驗后，以n表示當(dāng)前試驗的總次數(shù)，以c表示n次驗證試驗中累積驗證失敗的次數(shù)，則可以得到兩種假設(shè)似然函數(shù)比為

(4)

根據(jù)雙方風(fēng)險α和β，即可確定似然函數(shù)比的上下閾值，通過判定λn和閾值的關(guān)系，即可對導(dǎo)彈裝備做出相應(yīng)的接受/拒收判決。

SPRT測試性驗證方案在驗證試驗開展前不能給出試驗所需的樣本量，只能通過驗證試驗動態(tài)決定，通常采用平均樣本量作為其度量指標(biāo)。Wald[17]給出了SPRT方法的近似平均抽樣次數(shù)，并證明了相同的指標(biāo)約束條件下，SPRT方法所需的平均抽樣次數(shù)要小于經(jīng)典測試性驗證方案所確定的固定樣本量。

研究表明，SPRT方法下樣本量是一個隨機(jī)變量，由于樣本量的隨機(jī)性，會導(dǎo)致試驗開展過程中存在最大樣本量無法控制的情況，進(jìn)而導(dǎo)致驗證試驗無法繼續(xù)開展。

2 SMT測試性驗證試驗方案

針對經(jīng)典測試性驗證方案所確定的故障樣本量過大以及SPRT方法無法預(yù)先控制試驗樣本量的問題，同時結(jié)合SPRT平均抽樣次數(shù)優(yōu)于經(jīng)典測試性驗證方法的優(yōu)點，設(shè)計一種基于SMT方法的測試性驗證試驗方案，旨在保證平均樣本量較小的基礎(chǔ)上，試驗最大樣本量可控且能達(dá)到最小值。

2.1 插入點數(shù)量確定

SMT測試性驗證試驗方案是在SPRT方法的基礎(chǔ)上，通過插入m-1個檢驗點對假設(shè)檢驗問題進(jìn)行拆分，轉(zhuǎn)化為m個假設(shè)檢驗問題：

(5)

每個假設(shè)問題均可以看成是一個SPRT驗證方案，故均能得到一組平行線作為判決邊界，由于各假設(shè)檢驗問題判決邊界的斜率與檢驗點相關(guān)，所以通過m組平行線的交互即可確定試驗最大樣本量，同時能得到判決邊界。在式(5)基礎(chǔ)上首先考慮插入2個檢驗點的情形，則有：

(6)

顯然對于檢驗問題(5)，由第1組假設(shè)檢驗對H01及H11可以確定拒絕p=p0的判決邊界，并且判決邊界由檢驗點p0、p2以及雙方風(fēng)險值α、β共同確定；由第m組假設(shè)檢驗對H0m及H1m可以確定接受p=p1的判決邊界，并且判決邊界由檢驗點pm、p1以及雙方風(fēng)險值α、β共同確定。而通過假設(shè)檢驗問題能得到同樣的接受/拒收判決邊界，可見插入m-1個檢驗點和插入2個檢驗點具備相同的判決邊界。

假設(shè)檢驗問題(5)和問題(6)不同之處在于其余的m-2個插入點會對SMT方法所確定的最大樣本量的值產(chǎn)生影響，但同時增加插入點會增加計算的復(fù)雜度。由于在確定最大樣本量后仍會對截尾策略進(jìn)行研究，本文考慮假設(shè)檢驗問題(6)中p2=pm的情形，即實施SMT測試性驗證方案的實際插入點為1個。

2.2 最大樣本量確定

基于2.1節(jié)插入點數(shù)量確定原則，假設(shè)檢驗問題可以表示為

(7)

對假設(shè)檢驗問題進(jìn)行如式(4)所示的序貫概率比檢驗，則可以得到如下所示的4條直線：

(8)

式中,s1、s2為接收/拒收線的斜率;h1、h2為截距，具體可通過式(9)求解。

(9)

式中，參數(shù)A和B由承制方風(fēng)險和生產(chǎn)方風(fēng)險決定，具體如下：

(10)

基于此，可以確定如圖1所示的序貫網(wǎng)圖。

圖1 序貫網(wǎng)圖檢驗

(11)

式中，c0為最大樣本量n0對應(yīng)的合格判定數(shù)。

此外，圖1根據(jù)2.1節(jié)描述的由式(8)中的4條直線對檢驗空間進(jìn)行了劃分。

① 判決邊界：針對假設(shè)檢驗問題(7)，直線l1′為拒絕假設(shè)p=p0的判決邊界，直線l2為拒絕假設(shè)p=p1(接受假設(shè)p=p0)的判決邊界；

② 拒絕p=p0區(qū)、繼續(xù)驗證區(qū)以及接受p=p0區(qū)具體如圖1所示。

由于平均樣本量和最大樣本量均為設(shè)計SMT測試性驗證試驗方案時需考慮的因素，在平均樣本量小的情況下，仍需保證最大樣本量較小，式(11)間接建立了檢驗點p2和最大樣本量n0之間的關(guān)系，故考慮如下優(yōu)化問題：

(12)

通過優(yōu)化問題(12)即可確定最大樣本量n0的最小值，以及此時檢驗點p2的取值。

3 截尾策略

(nt,ct)的確定原則是在滿足承制方和使用方風(fēng)險的前提下使得nt和ct最小，可通過兩組優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

① 確定截尾樣本量nt。截尾樣本量nt可由以下優(yōu)化問題進(jìn)行確定：

圖2 截尾序貫網(wǎng)圖檢驗

(13)

式中，αr和βr為實際的雙方風(fēng)險，可通過式(14)確定。

(14)

式中，Nr/Na為確定序貫網(wǎng)圖后所有拒收/接收點的數(shù)量；ri/rj為到達(dá)當(dāng)前拒收/接受點的驗證失敗數(shù)；ni、nj為到達(dá)當(dāng)前拒收點以及接受點的總驗證次數(shù)；Si、Sj為到達(dá)當(dāng)前拒收/接受點的所有序貫試驗序列的可能情況。

② 確定合格判定數(shù)ct。ct的確定在截尾樣本量nt確定的基礎(chǔ)上，通過以下優(yōu)化問題決定：

(15)

根據(jù)上述確定的nt和ct，即可最終設(shè)計出形如圖2所示的截尾SMT測試性驗證試驗方案。

4 案例驗證

4.1 基于SMT方法的驗證方案設(shè)計

某裝備測試性設(shè)計指標(biāo)約束參數(shù)為

(p0,p1,α,β)=(0.96,0.88,0.1,0.1)

(16)

① 依據(jù)優(yōu)化問題可以得到插入點p2以及對應(yīng)的最大樣本量n0的變化關(guān)系曲線，如圖3所示。優(yōu)化問題的解即為圖中標(biāo)記的極小值點，可以得到p2=0.9266，對應(yīng)的最大樣本量的最小值為n0=?187.1941」=187(符號?」表示向下取整)。

② 在確定p2后，可以依據(jù)式(9)求得序貫網(wǎng)圖4條直線的相關(guān)參數(shù)，s1=0.0551，s2=0.0950，h1=3.4209，h2=4.0440。

圖3 n0和p2變化關(guān)系曲線

③ 由于所確定的最大樣本量仍然較大，對優(yōu)化問題采用搜索的方法進(jìn)行求解，得到截尾樣本量nt=85，在此基礎(chǔ)上對優(yōu)化問題(15)進(jìn)行搜索求解，得到滿足條件的合格判定數(shù)為ct=6，則可以繪制圖4所示的某型裝備測試性驗證截尾序貫網(wǎng)圖。

圖4 某型裝備測試性驗證截尾序貫網(wǎng)圖檢驗

4.2 對比分析

① 經(jīng)典測試性驗證方案。按照式(2)的不等式約束，可以求得經(jīng)典驗證方案為(76,5)。

② SPRT測試性驗證方案。采用Monte Carlo仿真方法，將測試性指標(biāo)值在(0,1]分為1000個離散值進(jìn)行仿真，同時設(shè)置仿真次數(shù)為1000次，得到當(dāng)指標(biāo)值為0.937時，平均樣本量的最大值為62.2024。

③ SMT測試性驗證方案。根據(jù)4.1節(jié)得到的一系列設(shè)計參數(shù)，同樣通過Monte Carlo方法(仿真參數(shù)保持一致)進(jìn)行仿真，可以得到當(dāng)指標(biāo)值為0.957時，平均樣本量的最大值為54.3162。

3種驗證方案的平均樣本量對比曲線如圖5所示。

從圖5可以看出，根據(jù)不同的指標(biāo)值p可以確定驗證試驗的平均樣本量，如本文提出的SMT測試性驗證方案中，當(dāng)p=p0時，ASN|p0=53.5244，當(dāng)p=p1時，ASN|p1=39.0582。此外，從圖中可以直觀地反映出在指標(biāo)p0和p1之間，所提方法平均樣本量優(yōu)于經(jīng)典驗證方案以及SPRT驗證方案。

圖5 平均樣本量曲線對比

由此可見，該方案能保證驗證試驗開展前對試驗最大樣本量有一個直觀的認(rèn)知，同時能有效降低驗證試驗所需平均樣本量，證明了該方案的有效性。

5 結(jié)束語

針對SPRT測試性驗證方案最大樣本量無法控制的問題，通過插入檢驗點的方式使得在測試性驗證試驗開展前能確定最大樣本量，進(jìn)而對試驗的開展有比較客觀的認(rèn)知。在此基礎(chǔ)上，考慮了所確定的最大樣本量較大時的截尾策略，并通過實例分析證明本文設(shè)計的基于SMT方法的測試性驗證試驗方案較經(jīng)典驗證方案和SPRT驗證方案在最大樣本量以及平均樣本量方面均有有效改進(jìn)，對導(dǎo)彈類高精度武器裝備的測試性驗證試驗的開展具實際指導(dǎo)意義。