半球諧振陀螺全角模式控制技術(shù)研究

趙萬良，楊 浩，王 偉，李紹良，成宇翔，宋麗君

(1.南京理工大學(xué)，南京 210094；2上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；3.上海慣性工程技術(shù)研究中心，上海 201109；4.西安建筑科技大學(xué)，西安 710055)

0 引言

半球諧振陀螺(Hemispherical Resonator Gyroscope， HRG)是一種高精度、高可靠性、長(zhǎng)壽命的慣導(dǎo)級(jí)固體陀螺儀，通常由熔融石英諧振子、檢測(cè)基座和激勵(lì)罩三部分組成。它是利用半球諧振子的振動(dòng)駐波(振動(dòng)頻率通常為4000～8000Hz)進(jìn)動(dòng)效應(yīng)來感測(cè)陀螺載體旋轉(zhuǎn)的一種振動(dòng)陀螺，目前已在航天、航海、戰(zhàn)術(shù)等領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用[1-4]。根據(jù)測(cè)量角速度或者角度，半球諧振陀螺可分為力平衡和全角兩種工作模式。全角模式是一種新型半球諧振陀螺工作模式，在該工作模式下，諧振子上的振動(dòng)駐波像傅科擺一樣自由進(jìn)動(dòng)，駐波的進(jìn)動(dòng)角θ與陀螺載體的轉(zhuǎn)動(dòng)角φ呈嚴(yán)格的比例關(guān)系

θ=kφ

其中,k表示進(jìn)動(dòng)因子。

工作在全角模式下的半球諧振陀螺有以下技術(shù)特點(diǎn)：首先能夠直接對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度進(jìn)行測(cè)量，可有效減小由角速度隨機(jī)游走帶來的測(cè)量誤差積累；其次由于無需力平衡作用抵消角速度引起的進(jìn)動(dòng)，理論上具有無限的檢測(cè)帶寬和動(dòng)態(tài)范圍；另外由于進(jìn)動(dòng)因子僅取決于諧振子結(jié)構(gòu)，因此具有極高的標(biāo)度因子穩(wěn)定度和線性度。

但為了使諧振子的振動(dòng)駐波自由進(jìn)動(dòng)，要求諧振子的激勵(lì)方式不能綁定駐波方位，這使得全角模式下半球諧振陀螺的控制更加復(fù)雜。本文針對(duì)全角模式下半球諧振陀螺的控制理論、控制系統(tǒng)以及測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了介紹。

1 半球諧振陀螺全角模式控制理論

1.1 參數(shù)激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)方程

為實(shí)現(xiàn)全角模式半球諧振陀螺的速率積分功能，使諧振子駐波能夠自由進(jìn)動(dòng)，由于傳統(tǒng)力平衡模式的位置激勵(lì)會(huì)使駐波綁定，不再適用于全角模式，因而須對(duì)諧振子采用參數(shù)激勵(lì)方式。為便于計(jì)算，采用環(huán)形模型進(jìn)行介紹。設(shè)參數(shù)激勵(lì)電壓為V=V0cosωt，則參數(shù)激勵(lì)條件下，環(huán)形模型諧振子的二階動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

w(φ,t)=x(t)cos2φ+y(t)sin2φ

(2)

將式(2)代入方程式(1)中，并使用布勃諾夫-加廖爾金法，得到方程組為

(3)

其中，Ω為載體平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)速度，k為諧振子進(jìn)動(dòng)因子，對(duì)于環(huán)形模型k=0.4，ω0為陀螺諧振子固有振動(dòng)頻率，x和y為2個(gè)相互正交的信號(hào)軸向上的振動(dòng)信號(hào)。在半球諧振陀螺中，x和y的幾何放置位置相差45°。方程式(3)的解可以寫為[5-8]

(4)

得出慢變量P、A、Q、B的演化方程為

(5)

1.2 參數(shù)激勵(lì)下的穩(wěn)定邊界條件

為使諧振子能夠存在有限的穩(wěn)定振動(dòng)，要求

(6)

即

(7)

式(7)即確定了參數(shù)激勵(lì)下諧振子的穩(wěn)定邊界條件。

如圖1所示，在雙曲線內(nèi)的區(qū)域Ⅰ上，諧振子振動(dòng)理想條件下將無限增長(zhǎng)；在雙曲線外的區(qū)域Ⅱ上，諧振子振動(dòng)將逐漸衰減；當(dāng)且僅當(dāng)激勵(lì)參數(shù)在穩(wěn)定邊界上時(shí)，諧振子的振動(dòng)能夠穩(wěn)定。為使激勵(lì)電壓達(dá)到最小值，此時(shí)激勵(lì)參數(shù)應(yīng)滿足以下條件

(8)

即對(duì)應(yīng)的激勵(lì)頻率和激勵(lì)電壓分別為

(9)

圖1 參數(shù)激勵(lì)的諧振子振動(dòng)穩(wěn)定邊界Fig.1 Parameter excited harmonic oscillator vibration stability boundary

2 控制理論分析與仿真

2.1 駐波進(jìn)動(dòng)分析

在式(9)的激勵(lì)條件下，方程式(5)化為

(10)

諧振子的振動(dòng)可以寫成如下形式

w(φ,t)=x(t)cos2φ+y(t)sin2φ=(Acosωt+Psinωt)cos2φ+(Bcosωt+Qsinωt)sin2φ

若?表示駐波方位，則駐波方位角的變化為

利用方程式(10)，得到

(11)

或?qū)κ?11)進(jìn)行積分后，有

(12)

可以看出，當(dāng)有角速度輸入時(shí)，駐波方位的轉(zhuǎn)角與陀螺殼體的轉(zhuǎn)角成比例，此時(shí)半球諧振陀螺將工作在全角模式下，諧振子駐波自由進(jìn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)殼體轉(zhuǎn)角的直接敏感。

若存在阻尼不均勻性時(shí)，進(jìn)動(dòng)方程式(9)變?yōu)閇9]

(13)

式中，ξ4為阻尼不均勻性的幅值，φ4為阻尼不均勻的方位。

2.2 控制效果分析

對(duì)上述理論進(jìn)行仿真分析，當(dāng)未進(jìn)行參數(shù)激勵(lì)與正交控制時(shí)，半球陀螺儀的x路與y路的信號(hào)輸出仿真結(jié)果如圖2(a)所示，此時(shí)諧振子的總能量在衰減，且正交分量隨著時(shí)間出現(xiàn)振蕩，此時(shí)陀螺儀將引入較大的零位漂移和測(cè)量誤差。在按照式(9)進(jìn)行參數(shù)激勵(lì)后，進(jìn)行正交控制，仿真結(jié)果如圖2(b)所示，可以看出，諧振子總能量逐漸趨于穩(wěn)定，正交分量的增長(zhǎng)被抑制。

圖2(c)所示為轉(zhuǎn)速為300(°)/s時(shí)，振型方位角的進(jìn)動(dòng)仿真結(jié)果，表明參數(shù)激勵(lì)條件下，有角速度輸入時(shí)，諧振子的振型方位角處于自由進(jìn)動(dòng)狀態(tài)，且振型方位角與外界輸入角速度為嚴(yán)格線性關(guān)系，因而陀螺儀工作在全角模式。圖2(d)所示為存在有Q值不均勻性時(shí)，陀螺儀的角度解算誤差仿真結(jié)果?？梢钥闯觯馑阏`差隨著振型方位呈周期性變化，變化周期為90°。

(a) 無能量補(bǔ)償及正交控制時(shí)，X路與Y路信號(hào)幅值輸出

(b) 有能量補(bǔ)償及正交控制時(shí)，X路與Y路信號(hào)幅值輸出

(c) 300(°)/s轉(zhuǎn)速下振型進(jìn)動(dòng)

(d) 300(°)/s轉(zhuǎn)速下Q值不均勻引入的解算誤差

3 半球諧振陀螺全角模式控制方案

為生成所需要的控制信號(hào)，利用參考信號(hào)對(duì)檢測(cè)信號(hào)X、Y通過乘法相干解調(diào)后，分別得到振型參數(shù)Cx、Cy、Sx、Sy，利用Cx、Cy、Sx、Sy進(jìn)行組合運(yùn)算，得到所需要的控制判斷量，分別為[10]

(14)

則E表征當(dāng)前諧振子振動(dòng)的總能量，該值與設(shè)定幅值E0的差值形成能量控制誤差信號(hào)，用于對(duì)幅度的控制；Q表征陀螺振動(dòng)模態(tài)正交誤差量的大小，用于對(duì)正交誤差的控制；L用于實(shí)現(xiàn)對(duì)諧振子頻率的跟蹤；S、R表征振型方位，且振型方位角為

(15)

形成控制量以后，將控制量與判斷量進(jìn)行比較，并按照式(9)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)合成和調(diào)制，進(jìn)而生成控制電壓，作用到半球諧振陀螺的控制電極上，實(shí)現(xiàn)對(duì)半球諧振陀螺的參數(shù)激勵(lì)控制，如圖3所示。

圖3 基于參數(shù)激勵(lì)的全角模式控制方案[11]Fig.3 Whole-angle mode control scheme based on parameter excitation

4 實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)裝置

利用第3節(jié)所述算法設(shè)計(jì)硬件系統(tǒng)并加以實(shí)現(xiàn)。全角模式半球諧振陀螺系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)由信號(hào)檢測(cè)硬件接口、驅(qū)動(dòng)輸出硬件接口、基于FPGA的數(shù)字硬件系統(tǒng)以及輔助外圍電路組成。其中信號(hào)檢測(cè)硬件接口和驅(qū)動(dòng)輸出硬件接口兩部分屬于模擬電路系統(tǒng)，用于實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)與陀螺表頭之間的信號(hào)交互；基于FPGA的數(shù)字硬件系統(tǒng)為數(shù)字電路系統(tǒng)，用于實(shí)現(xiàn)陀螺工作流程的控制、數(shù)字信號(hào)處理與控制算法實(shí)現(xiàn)以及外設(shè)通信接口功能；輔助配套電路包括電源模塊、通信芯片、保護(hù)隔離器件等。硬件系統(tǒng)的實(shí)物圖如圖4所示。

圖4 全角模式半球諧振陀螺硬件電路系統(tǒng)Fig.4 Whole-angle mode hemispherical resonator gyro hardware circuit system

FPGA是全角模式半球諧振陀螺信號(hào)處理與控制算法的載體與核心。本課題選用Xilinx公司ARTIX系列第7代FPGA產(chǎn)品xc7a35t，在該器件的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了陀螺系統(tǒng)的信號(hào)運(yùn)算、控制與信號(hào)交互。FPGA數(shù)字系統(tǒng)的功能組成結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

圖6所示為全角模式半球諧振陀螺實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖6(a)表明能量逐漸收斂到3.2×105bit，表明在參數(shù)激勵(lì)作用下，控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了對(duì)諧振子振動(dòng)能量的控制。在能量達(dá)到穩(wěn)定后，使轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速為300(°)/s，陀螺儀的振型方位變化如圖6(b)所示，由于三角函數(shù)求解時(shí)，角度輸出隨時(shí)間呈鋸齒變化。對(duì)測(cè)量的振型方位角進(jìn)行線性化，并對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，得到圖6(c)，表明在大動(dòng)態(tài)角速度輸入下，陀螺儀在0°～360°范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)了對(duì)旋轉(zhuǎn)角度的實(shí)時(shí)敏感，擬合后的結(jié)果為

θ=-0.275φ+182.1

(16)

擬合線性相關(guān)系數(shù)大于0.9999。因此該陀螺的進(jìn)動(dòng)因子為0.275，與基于環(huán)形模型的理論進(jìn)動(dòng)因子0.4相比誤差較大，與基于半球殼模型的理論進(jìn)動(dòng)因子0.277基本一致[12-13]，線性度優(yōu)于10-4。圖6(d)所示為不同振型方位下的轉(zhuǎn)動(dòng)角度解算誤差量，解算誤差量隨著方位角做周期性變化，變化周期為90°，由仿真結(jié)果可知，該誤差是由阻尼不均勻引起的。

(a) 能量收斂過程

(b) 轉(zhuǎn)速300(°)/s振型方位變化情況

(c) 實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)角度與振型方位角的關(guān)系

(d) 不同振型方位角下的解算誤差

5 結(jié)論

本文研究了全角模式半球諧振陀螺，介紹了全角模式半球諧振陀螺的基本理論，并利用參數(shù)激勵(lì)的方法實(shí)現(xiàn)了半球諧振陀螺全角模式的測(cè)量功能。測(cè)試結(jié)果表明，測(cè)量角速度可達(dá)300(°)/s，線性度優(yōu)于10-4，后續(xù)將需著力于漂移抑制以及控制系統(tǒng)性能的提升。