善于辨析歸類 問題迎刃而解
——解決等可能條件下概率問題的策略與方法

文蔣麗亞

同學(xué)們通過本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，知道等可能條件下概率的兩個(gè)基本特征是試驗(yàn)結(jié)果的等可能性和有限性。解決等可能條件下的概率問題是中考的高頻考點(diǎn)。這類問題類型繁多，解決問題的方法多種多樣。大部分同學(xué)對于如何快速確定解題策略感到非常困難。其實(shí)，只要對這些問題的類型和方法進(jìn)行歸類，再對癥下藥，相信問題一定能迎刃而解。下面就以具體的例題對這類問題的解題策略進(jìn)行歸類分析，希望對同學(xué)們有所幫助。

一、求只有一步試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)事件的概率

當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果只有一步，出現(xiàn)的結(jié)果是等可能的，而且是有限個(gè)時(shí)，可以用枚舉法或直接利用公式求概率。

1.用枚舉法求隨機(jī)事件的概率。

例1 某中學(xué)現(xiàn)要從甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生中，選派兩位同學(xué)分別作為1號選手和2號選手代表學(xué)校參加全市漢字聽寫大賽，求男生甲被選為1號選手的概率。

解：因?yàn)檫x1號選手的結(jié)果有4種，男生甲，男生乙，女生丙，女生丁，它們都是等可能的，其中選到男生甲有1種。

2.直接利用公式求隨機(jī)事件的概率。

例2 一只不透明的袋子中裝有3個(gè)白球和4個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球。

（1）求摸到紅球的概率；

（2）若往口袋中再放入x個(gè)紅球，且從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)白球的概率是求x的值。

解：（1）從中隨機(jī)取出一個(gè)紅球的概率是

經(jīng)檢驗(yàn)x=5為原方程的解，

所以x的值為5。

【評析】本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率，m表示事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。解決第（2）問的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想根據(jù)概率公式列出方程并求出方程的解。

二、求兩步試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)事件的概率

當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果分為兩步時(shí)，根據(jù)具體情況，同學(xué)們可以適當(dāng)選擇列表法或畫樹狀圖法，計(jì)算一些等可能條件下隨機(jī)事件的概率。我們需注意取出放回和取出不放回這個(gè)條件對事件的概率是有影響的。

1.取出放回的情況下用列表法或畫樹狀圖法求隨機(jī)事件的概率。

例3 一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、搖勻，再從中任意摸出1個(gè)球。求兩次都摸到紅球的概率。

解：把2個(gè)紅球編號為紅1、紅2，用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

或列表如下：

第二次第一次結(jié)果白白紅1紅2（白，白）（紅1，白）（紅2，白）紅1（白，紅1）（紅1，紅1）（紅2，紅1）紅2（白，紅2）（紅1，紅2）（紅2，紅2）

因?yàn)楣灿?種可能的結(jié)果，它們都是等可能的，“兩次都摸到紅球”記為事件A，它的發(fā)生只有4種可能，所以事件A

【評析】在用“樹狀圖”或“表格”列出所有等可能出現(xiàn)結(jié)果的過程中，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果分為兩步，并且所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較少時(shí)，運(yùn)用這兩種方法求解都比較有效。

例4 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，朝上一面的點(diǎn)數(shù)之和為8的概率是多少？

解：用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

第二次結(jié)果第一次1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 1 0 5 6 7 8 9 1 0 6 7 8 9 1 0 11 11 12

因?yàn)楣灿?6種可能的結(jié)果，它們都是等可能的，“朝上一面的點(diǎn)數(shù)和為8”記為事件A，它的發(fā)生只有5種可能，所以事件A發(fā)生的概率，即朝上一面點(diǎn)數(shù)和為8的概率是

【評析】如果遇到所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較大時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，運(yùn)用“表格”會顯得較為清晰、便捷。

2.取出不放回的情況下用列表法或畫樹狀圖法求隨機(jī)事件的概率。

例5 一只不透明的袋子中裝有2個(gè)白球、1個(gè)紅球和1個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后不放回，再從中任意摸出1個(gè)球。求兩次都摸到白球的概率。

解：記兩個(gè)白球分別為白1，白2。

畫樹狀圖如下：

或列表格如下：

白1紅黑白1白2白2（白1，白2）（白1，紅）（白2，紅）紅 黑（白2，白1）（紅，白1）（黑，白1）（紅，白2）（黑，白2）（白1，黑）（白2，黑）（紅，黑）（黑，紅）

由圖或表可得，兩次摸球共有12種等可能結(jié)果，其中兩次摸到的球都是白球的情況有2種，

【評析】取出放回和取出不放回這個(gè)條件對事件的概率是有影響的，直觀上我們可以通過表格中的對角線體現(xiàn)這一變化。不放回的情況在第二次是不存在的，所以在表格中要有對角線。

三、求三步試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)事件的概率

例6 一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和1個(gè)紅球，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、搖勻，連續(xù)摸3次，求至少有一次摸到紅球的概率。

解：用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

因?yàn)楣灿?種可能的結(jié)果，它們都是等可能的，“至少有一次摸到紅球”記為事件A，它的發(fā)生有7種可能，所以事件A發(fā)生的概率，即連續(xù)摸3次，至少有一次摸到紅球的概率是

【評析】當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果涉及三步或更多步時(shí)，若用“表格”求解，就會得到一個(gè)三維或多維的立體表格，而這在平面上表示出來是比較困難的。為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，則一般運(yùn)用“樹狀圖”列出所有等可能的結(jié)果。

四、求與幾何圖形相關(guān)的等可能條件下的概率

如果區(qū)域P上有一個(gè)區(qū)域A，假設(shè)每次試驗(yàn)?zāi)軌蚵湓趨^(qū)域P上的任意一點(diǎn)處，并且落在任一點(diǎn)的可能性總是相同的，記區(qū)域P的面積為S總，區(qū)域A的面積為SA，那么一次試驗(yàn)落在區(qū)域A上的概率P（A）=特別地，如果區(qū)域A被劃分成m等份，用其中的一等份作為基本面積單位來劃分，區(qū)域P被分成n等份（n＞m），那么一次試驗(yàn)落在區(qū)域A上的概率P（A）=

例7 如圖是一塊飛鏢游戲板，板中每一塊小正方形除顏色外全部相同。小明向飛鏢板中投擲飛鏢一次，假設(shè)飛鏢都落在游戲板上，求飛鏢落在陰影部分的概率。

解：∵總面積為4×4=16，其中陰影部分面積為

【評析】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將面積用代數(shù)關(guān)系表示出來，陰影區(qū)域面積表示所求事件A；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件A發(fā)生的概率。

例8 如圖，A轉(zhuǎn)盤的4個(gè)扇形面積相等，B轉(zhuǎn)盤的3個(gè)扇形的面積相等。任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A、B各1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時(shí)，將指針?biāo)渖刃沃械?個(gè)數(shù)字相乘，求所得的積是奇數(shù)的概率。（若指針恰好停在分界線上，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，直到指針指向某一個(gè)數(shù)為止。）

解：用表格或樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果：

結(jié)果 B A 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 1 2

因?yàn)楣灿?2種等可能的結(jié)果，其中乘積為奇數(shù)的有4種，所以P（乘積為奇

【評析】解決這類問題不能用幾何概型的公式計(jì)算。轉(zhuǎn)盤上每個(gè)數(shù)字所占的扇形面積相等，所以指針指向每個(gè)扇形都是等可能的。這類問題可以轉(zhuǎn)化為等可能條件下的概率類問題，用列表法或畫樹狀圖法求解。