一族新的微分方程的守恒律和Darboux變換

何國亮， 鄭真真

(鄭州輕工業(yè)大學 數(shù)學與信息科學學院 河南 鄭州 450002)

0 引言

在理論物理和數(shù)學物理中，用帶譜參數(shù)λ的Lax對去發(fā)現(xiàn)新的可積系統(tǒng)是一個有意義的研究領域.可積系統(tǒng)的另一個關鍵特征是它們具有無窮多守恒律[1-2].具有Lax表示的可積系統(tǒng)可以用反散射變換方法[3-4]、代數(shù)幾何方法[5-7]、Darboux 方法[8-9]及其他方法[10-13]求解，尤其是起源于1882年Darboux對Sturm-Liouville方程進行研究時所提出的Darboux變換方法，它是一種獲得演化方程精確解[14-16]的非常有效的方法.

文中我們給出了一個與3×3矩陣譜問題相關的新的非線性演化方程族，并且通過考慮兩個相關的線性譜問題，得到了這個方程族中前兩個非線性演化方程的無窮多守恒律

(1)

(2)

最后，通過引入3×3矩陣譜問題的規(guī)范變換，得到了方程(1)的Darboux變換，并由此給出一些精確解.

1 非線性演化方程族和無窮多守恒律

本節(jié)，我們首先引入一個以u，v為位勢,λ為常譜參數(shù)的3×3矩陣譜問題

(3)

然后借助于零曲率方程得到與之相聯(lián)系的非線性演化方程族.為了推導相對應的非線性演化方程，我們定義兩組Lenard遞推方程

(4)

(5)

(6)

接下來，我們考慮靜態(tài)零曲率方程

(7)

它等價于

(8)

(9)

把式(9)代入式(8)，可以得到

KSj=JSj+1，j≥0；JS0=0.

(10)

令ψ滿足譜問題(3)和輔譜問題

(11)

(utn，vtn)T=KSn=JSn+1，n≥0.

(12)

該方程族的前兩個方程為

(13)

225uxuxx+180u2ux+72uux+4ux+9vxxx+135vvx+54uxv+54uvx+3vx)；

36uuxxx-72uxuxx+36vvx+96u2ux+8uux).

(14)

φxx+3φφx-φx+φ3-φ2-2uφ=ux+v+λ.

(15)

(16)

另外，由輔譜問題可以得到

(17)

把φ的展開式和上式代入到式(17)中，可得

(18)

我們把φ和θ的展開式中的系數(shù)φj和θj叫作守恒密度及連帶流.方程(13)的第一個守恒律為

(19)

對于方程(14)，當n=1時，

(20)

此時

(21)

方程(14)的第一個守恒律為

(22)

2 方程(1)的Darboux變換和精確解

本節(jié)，我們將通過Darboux變換給出方程(1)的精確解.該方程所滿足的Lax方程為矩陣譜問題(3)和如下輔譜問題

(23)

從圖6可以看出，試驗數(shù)據(jù)與數(shù)值模擬數(shù)據(jù)在各測點的壓力值基本上是一致的，經(jīng)計算風門全開時爐排表面的橫向配風不均勻系數(shù)ηQ試驗數(shù)據(jù)為51%，數(shù)值模擬數(shù)據(jù)為57%，該數(shù)值模擬方法有一定的準確性，可以選用該數(shù)值模型進行數(shù)值模擬研究。

其中：

(24)

(25)

(26)

(27)

其中：

(28)

(29)

(30)

新舊位勢之間的變換公式為

(31)

下面通過變換式(31)，我們構造方程(1)的精確解.易見方程(27)可以改寫為

(32)

b=Δ1/Δ；c=Δ2/Δ；d=Δ3/Δ，

(33)

其中：

(34)

1) 取u=0，v=-λ時，式(3)和式(23)有基解矩陣

(35)

(36)

(37)

4) 取u=0，v=0時，式(3)和式(23)有基解矩陣

(38)

3 結論

本文我們引入了一個具有兩個位勢的3×3矩陣譜問題，通過該問題及其輔助譜問題得到了一個新的微分方程族. 基于特征函數(shù)的Riccati方程，我們推導出該方程族前兩個方程的無窮多守恒律，并借助于Darboux變換得到了第一個非平凡方程的一些顯式解. 關于這個非線性演化方程族的孤子解、B?cklund變換、代數(shù)幾何解和其他的一些性質，我們將在以后的文章中進行討論.