戴洪德，陳強(qiáng)強(qiáng)，戴邵武，朱 敏

(1.海軍航空大學(xué) 航空基礎(chǔ)學(xué)院,煙臺(tái) 264000; 2.海軍航空大學(xué) 岸防兵學(xué)院,煙臺(tái) 264000)

隨著科技的發(fā)展，航空發(fā)動(dòng)機(jī)等機(jī)械設(shè)備在民用及軍用中占據(jù)著較大的比重并發(fā)揮著重要的作用。滾動(dòng)軸承是各類機(jī)械設(shè)備的“基石”，其運(yùn)行狀態(tài)對(duì)整個(gè)設(shè)備的性能而言至關(guān)重要。因此，為了提高機(jī)械設(shè)備的穩(wěn)定性與可靠性，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械設(shè)備的故障診斷具有重要的理論意義和實(shí)際意義。

隨著非線性理論的深入發(fā)展，許多非線性方法被應(yīng)用于機(jī)械設(shè)備的故障診斷。Logan通過對(duì)關(guān)聯(lián)維數(shù)進(jìn)行展開研究，并成功將其運(yùn)用于滾動(dòng)軸承故障分析[1]。文獻(xiàn)[2]結(jié)合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，利用分形維數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)故障診斷進(jìn)行了研究分析。文獻(xiàn)[3]結(jié)合非線性理論，將混沌和Lyapunov指數(shù)等理論進(jìn)行結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了汽輪發(fā)動(dòng)機(jī)的故障診斷。文獻(xiàn)[4]提出了近似熵概念，并將其應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)的健康狀態(tài)管理。然而，在這些非線性理論中，如分形維數(shù)、近似熵等研究方法存在著計(jì)算量過大，運(yùn)行速度較慢等缺點(diǎn)，而Lyapunov等理論存在著精度不高等缺點(diǎn)，這在一定程度上制約了其發(fā)展。

排列熵(Permutation Entropy，PE)由Bandt和Prompe提出[5]，最早應(yīng)用于檢測(cè)時(shí)間序列的隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)突變行為[6]。文獻(xiàn)[7]通過對(duì)信號(hào)進(jìn)行排列熵分析，證明了通過排列熵可有效放大各信號(hào)的動(dòng)態(tài)變化，從而實(shí)現(xiàn)不同狀態(tài)下滾動(dòng)軸承的狀態(tài)分析。文獻(xiàn)[8]將排列熵應(yīng)用于轉(zhuǎn)子碰摩數(shù)據(jù)，并成功實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子碰摩數(shù)據(jù)的故障診斷。文獻(xiàn)[9]將排列熵概念引入至肌電信號(hào)的分析中并取得了很好的效果。但排列熵理論只是用于檢測(cè)時(shí)間序列在單一尺度上的隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)突變，在精密的機(jī)械系統(tǒng)中，故障數(shù)據(jù)可能較為復(fù)雜，此時(shí)單一的排列熵?zé)o法保證信息的完整性，無(wú)法實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的特征提取。

為提升排列熵的性能，在排列熵的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[10]提出了多尺度排列熵(Multiscale Permutation Entropy，MPE)的概念，衡量了時(shí)間序列在不同尺度下的復(fù)雜性與隨機(jī)性。文獻(xiàn)[11]提出了復(fù)合多尺度熵(Composite Multiscale Entropy，CMSE)，通過對(duì)同一尺度下的不同時(shí)間序列的樣本熵值進(jìn)行均值處理以得到特征信息。然而，多尺度化的不足之處在于基于粗?；绞蕉x的多尺度計(jì)算方法依賴于時(shí)間序列的長(zhǎng)度。隨著粗粒化序列長(zhǎng)度的改變，熵值也會(huì)發(fā)生變化。第二點(diǎn)不足之處在于，無(wú)論是PE、MPE以及CMSE，在計(jì)算過程中都需要確定嵌入維數(shù)、時(shí)間延遲等參數(shù)。這些參數(shù)的選擇對(duì)于熵值的計(jì)算影響較大且一般均通過經(jīng)驗(yàn)選取，這在一定程度上影響著算法的自適應(yīng)性，不利于后續(xù)故障維護(hù)工作的進(jìn)行。

基于上述原因，本文提出了一種新的衡量時(shí)間序列復(fù)雜程度的方法—樣本分位數(shù)排列熵，并將其運(yùn)用于滾動(dòng)軸承非線性故障特征提取。通過引入樣本分位數(shù)概念于排列熵計(jì)算中，克服了排列熵及其他熵值計(jì)算中的參數(shù)選擇問題，有效提高了故障特征提取的自適應(yīng)性；同時(shí)利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，在相同實(shí)驗(yàn)條件下，樣本分位數(shù)排列熵方法能夠有效提取出不同故障數(shù)據(jù)的特征，實(shí)現(xiàn)了滾動(dòng)軸承故障類型的區(qū)分，是一種新型有效的故障診斷特征提取方法。

1 排列熵算法及分析

1.1 排列熵算法

針對(duì)長(zhǎng)度為N的時(shí)間序列{x(i),i=1,2,…,N}，對(duì)x(i)進(jìn)行相空間重構(gòu)[12]：

(1)

式中:m為嵌入維數(shù)，τ為延遲時(shí)間，k=N-(m-1)τ為重構(gòu)向量的個(gè)數(shù)。

將Xj中的元素按升序排列得：

x[i+(j1-1)τ]≤…≤x[i+(jm-1)τ]

(2)

式中:j1,j2,…,jm為各元素在排序之前位于相空間所在列的索引。

若Xj中有兩元素相等，則按原始順序排列。通過對(duì)相空間重構(gòu)后的時(shí)間序列分析，對(duì)于任意一個(gè)Xj，均能得到相應(yīng)的符號(hào)序列Sl={j1,j2,…,jm}，其中，l=1,2,…,k，且k≤m!?？啥x排列熵為[13]：

(3)

(4)

此時(shí)，Hp的取值為[0,1]，可反映出時(shí)間序列的復(fù)雜度。Hp越大，則序列復(fù)雜程度越高。

1.2 參數(shù)選擇分析

在排列熵計(jì)算過程中，嵌入維數(shù)m和時(shí)間延遲τ的取值是計(jì)算中的主要參數(shù)。一般情況下均根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取得：若m取值過小，則重構(gòu)向量所包含的狀態(tài)信息過少，導(dǎo)致不能完全反映系統(tǒng)特征，從而失去算法意義；若m取值過大，則時(shí)間序列被均勻化，此時(shí)不僅擴(kuò)大了計(jì)算量，時(shí)間序列的微小變化也會(huì)被忽略[14]。排列熵算法參數(shù)的選擇，在一定程度上制約了其算法的有效性。

目前文獻(xiàn)對(duì)于排列熵算法中參數(shù)的選擇，一般通過經(jīng)驗(yàn)獲得。通過以往學(xué)者的多次仿真實(shí)驗(yàn)，認(rèn)為時(shí)間序列長(zhǎng)度N越小，m取值越小[15]；對(duì)于長(zhǎng)度大于1 024的數(shù)據(jù)，通常選取嵌入維數(shù)m=6。而τ對(duì)計(jì)算的影響較小，一般取τ=1。這種經(jīng)驗(yàn)選取方式不具有普適性，不利于故障特征提取。

文獻(xiàn)[16]對(duì)排列熵算法的參數(shù)優(yōu)化進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，提出了利用重構(gòu)時(shí)間序列最佳相空間的方法來(lái)確定模型參數(shù)，并介紹了m和τ獨(dú)立確定和聯(lián)合確定的方法。但其局限之處在于一是增加了計(jì)算量及復(fù)雜程度，二是在于未能本質(zhì)上改變排列熵對(duì)于復(fù)雜信號(hào)的特征提取能力。排列熵的擴(kuò)展形式如多尺度排列熵、復(fù)合多尺度熵在確定參數(shù)m和τ之外還需考慮粗?；蜃拥拇笮?，為確定輸入?yún)?shù)增加了難度。為了提高排列熵對(duì)于復(fù)雜信號(hào)的特征提取能力，同時(shí)避免參數(shù)選擇的困難，本文提出了一種新的方法-樣本分位數(shù)排列熵。

2 樣本分位數(shù)排列熵算法

分位數(shù)將一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布范圍分為等份的數(shù)值點(diǎn)，不考慮時(shí)間序列x(i)的時(shí)間維度特征，直接有效的刻畫信號(hào)時(shí)間序列數(shù)據(jù)波動(dòng)的特征[17]。排列熵信號(hào)數(shù)據(jù)沒有明顯的周期性及變化規(guī)律，因此，可采用分位數(shù)特征提取對(duì)排列熵值的內(nèi)部特征進(jìn)行深度挖掘。

設(shè)X1,X2,…,Xn為來(lái)自某總體的一個(gè)樣本，定義次序統(tǒng)計(jì)量為X(1)≤X(2)≤…≤X(n)。該樣本的p分位數(shù)可定義為[18]：

(5)

式中:[·]表示取整運(yùn)算符號(hào)。p∈(0,1)，常用的有0.25分位數(shù)及0.75分位數(shù)[18]，本文選擇0.75分位數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

通過公式的分析可知，樣本分位數(shù)具有計(jì)算簡(jiǎn)單、運(yùn)算量小等優(yōu)勢(shì)。且樣本分位數(shù)是一個(gè)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)量，可以在缺乏總體分布先驗(yàn)信息的情況下，準(zhǔn)確反映出數(shù)據(jù)在某一分位數(shù)點(diǎn)的聚集特征。

結(jié)合樣本分位數(shù)具有對(duì)極值點(diǎn)不敏感的特征，可在一定程度上緩解由于嵌入維數(shù)m選擇過大或過小而對(duì)排列熵值造成的影響。同時(shí)，樣本分位數(shù)克服了排列熵計(jì)算過程中所出現(xiàn)的離群點(diǎn)，提高了利用樣本分位數(shù)進(jìn)行排列熵值提取的能力。

結(jié)合樣本分位數(shù)原理與排列熵定義準(zhǔn)則，定義樣本分位數(shù)排列熵SQPE為：

(1) 針對(duì)時(shí)間序列x(i)，結(jié)合排列熵定義，計(jì)算其在不同嵌入維數(shù)m下的PE值，構(gòu)建由原始時(shí)間序列的不同嵌入維數(shù)下的排列熵值所組成的向量，記為：

T=[PE1,PE2,…,PEn]

(6)

式中:結(jié)合故障診斷背景，不同的故障狀態(tài)對(duì)應(yīng)不同的時(shí)間序列，因此可將不同故障狀態(tài)下的向量T進(jìn)行細(xì)致劃分，如Tnorm、Tfault。

(2) 針對(duì)向量T，對(duì)其進(jìn)行樣本分位數(shù)求解，得到向量T對(duì)應(yīng)的樣本分位數(shù)：

SQT=quantile(T)

(7)

式中:quantile表示公式(5)中的樣本分位數(shù)計(jì)算過程，為樣本分位數(shù)求解的Matlab函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

(3) 利用不同狀態(tài)下的樣本分位數(shù)排列熵SQT*(i)，構(gòu)建故障診斷特征向量集，采用分類算法實(shí)現(xiàn)故障診斷。其中，*和i分別代表不同狀態(tài)下不同序列的樣本分位數(shù)排列熵值。

通過樣本分位數(shù)排列熵算法，可以提高對(duì)復(fù)雜故障信號(hào)的特征值提取能力，通過對(duì)樣本分位數(shù)排列熵所構(gòu)建的特征向量進(jìn)行訓(xùn)練，即可實(shí)現(xiàn)故障診斷?；跇颖痉治粩?shù)排列熵的故障診斷方法流程圖如圖1所示。

圖1 基于樣本分位數(shù)排列熵的故障診斷算法流程圖

由圖1可知，基于樣本分位數(shù)排列熵算法的故障診斷過程簡(jiǎn)單，無(wú)須參數(shù)調(diào)整，只需要通過計(jì)算不同嵌入維數(shù)下，由時(shí)間序列的排列熵值所構(gòu)建的特征量的樣本分位數(shù)值，即可確定新的特征量，從而構(gòu)建不同故障狀態(tài)下的特征信息，在參數(shù)選擇上具有更好的自適應(yīng)性，解決了排列熵在應(yīng)用過程中的復(fù)雜性問題，證明了樣本分位數(shù)排列熵的優(yōu)越性。下面，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以驗(yàn)證樣本分位數(shù)排列熵對(duì)于復(fù)雜故障信號(hào)的特征提取能力。

3 實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證樣本分位數(shù)排列熵在故障診斷方面的可行性，采用滾動(dòng)軸承試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行算法驗(yàn)證。數(shù)據(jù)來(lái)源為美國(guó)Case Western Reserve University的電氣工程實(shí)驗(yàn)室滾動(dòng)軸承公開數(shù)據(jù)集[19]。軸承型號(hào)為6205-2RS JEM SKF深溝球軸承，電機(jī)負(fù)載為735.5 W，軸承轉(zhuǎn)速為1 772 r/min；除正常狀態(tài)(記為norm)外，三種故障狀態(tài)分別記為滾動(dòng)體故障(rolling)、內(nèi)圈故障(inner)和外圈故障(outer)；故障通過電火花技術(shù)布置，直徑為0.355 6 mm，深度為0.279 4 mm，4種狀態(tài)的振動(dòng)信號(hào)采樣頻率為12 kHz；取正常狀態(tài)、滾動(dòng)體故障、內(nèi)圈故障及外圈故障4中狀態(tài)的樣本各30組，數(shù)據(jù)樣本長(zhǎng)度為2 048，共計(jì)120組數(shù)據(jù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]中訓(xùn)練集及測(cè)試集選取準(zhǔn)則，選擇4種狀態(tài)下30組數(shù)據(jù)中的20組作為訓(xùn)練集，余下10組作為測(cè)試集，以驗(yàn)證算法的可行性。4種狀態(tài)下軸承的振動(dòng)加速度信號(hào),如圖2所示。

正常狀態(tài)

內(nèi)圈故障

滾動(dòng)體故障

外圈故障

圖2 正常和具有故障軸承的振動(dòng)信號(hào)

首先對(duì)圖2中的4×30組數(shù)據(jù)進(jìn)行排列熵計(jì)算，按照文獻(xiàn)[12]中的參數(shù)選取方法，選擇嵌入維數(shù)m=6，得到4種狀態(tài)下分別對(duì)應(yīng)的30個(gè)排列熵，分別作為對(duì)應(yīng)樣本的特征量，如圖3所示。

圖3 正常和具有故障軸承的振動(dòng)信號(hào)排列熵

如圖3所示，針對(duì)本文所選擇的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，正常狀態(tài)下滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號(hào)排列熵值較小，與其他3種故障狀態(tài)具有較為明顯的區(qū)別。結(jié)合排列熵度量時(shí)間序列復(fù)雜程度的特性[12]，這是因?yàn)楫?dāng)滾動(dòng)軸承發(fā)生故障時(shí)，信號(hào)的隨機(jī)性發(fā)生改變，振動(dòng)信號(hào)的動(dòng)力學(xué)行為也發(fā)生了較大突變，從而導(dǎo)致熵值變大。但如果選擇排列熵作為特征量，正常狀態(tài)和滾動(dòng)體故障狀態(tài)具有明顯特征，而內(nèi)圈故障和外圈故障則不易區(qū)分。為了對(duì)比說(shuō)明樣本分位數(shù)排列熵的優(yōu)越性，下面統(tǒng)一選擇同一種分類方法即支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)分類器對(duì)訓(xùn)練集進(jìn)行訓(xùn)練(其中標(biāo)簽1，標(biāo)簽2，標(biāo)簽3，標(biāo)簽4分別對(duì)應(yīng)正常狀態(tài)、內(nèi)圈故障、滾動(dòng)體故障及外圈故障)；其中，訓(xùn)練集的輸入為訓(xùn)練樣本的排列熵值，輸出為訓(xùn)練樣本對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽值，將待識(shí)別的測(cè)試集放入SVM分類器中進(jìn)行識(shí)別驗(yàn)證，識(shí)別輸出結(jié)果如圖4所示。

圖4 故障分類結(jié)果(PE)

如圖4所示，結(jié)合圖3結(jié)果進(jìn)行分析，測(cè)試集的分類精度為85%(34/40)，其中，被錯(cuò)分的6個(gè)樣本分別為標(biāo)簽2和標(biāo)簽4，即對(duì)應(yīng)內(nèi)圈故障和外圈故障，這與圖3中的分析一致，反映出排列熵算法在復(fù)雜信號(hào)特征提取方面的不足。

為驗(yàn)證樣本分位數(shù)排列熵的有效性，選擇相同的樣本作為訓(xùn)練集和測(cè)試集，分類器選擇SVM進(jìn)行故障診斷。

針對(duì)選擇的120個(gè)數(shù)據(jù)集，在樣本分位數(shù)排列熵計(jì)算過程中，無(wú)需確定嵌入維數(shù)大小，直接計(jì)算其在不同嵌入維數(shù)下的排列熵大小(本文選擇m=2,3,…,8)，則每一個(gè)數(shù)據(jù)序列得到其對(duì)應(yīng)的不同嵌入維數(shù)下的排列熵向量T=[PE1,PE2,…,PE7]。

對(duì)得到的樣本分位數(shù)排列熵向量T，計(jì)算其樣本分位數(shù)值，得到SQT=quantile(T)。用得到的樣本分位數(shù)排列熵SQT代替排列熵，作為新的特征量并組成特征向量，用于后續(xù)的測(cè)試集分類，以驗(yàn)證樣本分位數(shù)排列熵在故障信號(hào)特征提取方面的優(yōu)勢(shì)。其中，訓(xùn)練集的輸入為訓(xùn)練樣本的樣本分位數(shù)排列熵值，輸出為訓(xùn)練樣本對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽值，將待識(shí)別的測(cè)試集放入SVM分類器中進(jìn)行識(shí)別驗(yàn)證。采用樣本分位數(shù)排列熵對(duì)4×30組數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提取的結(jié)果,如圖5所示。

圖5 正常和具有故障軸承的振動(dòng)信號(hào)樣本分位數(shù)排列熵

Fig.5 The sample quantile permutation entropy of vibration signals from the normal and fault bearing

如圖5所示，樣本分位數(shù)排列熵仍保留著如圖3所示的信號(hào)基本信息，即正常狀態(tài)下滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號(hào)熵值較小，遵循了信號(hào)的基本內(nèi)部信息。所不同的是樣本分位數(shù)排列熵更加明顯的刻畫了時(shí)間序列內(nèi)部波動(dòng)的特征，準(zhǔn)確的反映出由不同嵌入維數(shù)下的排列熵所組成的樣本的聚集特征，將不同故障下的狀態(tài)信息更加明顯的區(qū)分出來(lái)。選擇SVM分類器對(duì)訓(xùn)練集進(jìn)行訓(xùn)練，最后將測(cè)試集放入SVM分類器中進(jìn)行識(shí)別驗(yàn)證，識(shí)別輸出結(jié)果如圖6所示。

如圖6所示，結(jié)合圖5結(jié)果進(jìn)行分析，測(cè)試集的分類精度為100%(40/40)，其中，選取排列熵作為特征量時(shí)被錯(cuò)分的6個(gè)樣本均完全識(shí)別，這與圖5中的分析一致，反映出樣本分位數(shù)排列熵算法在復(fù)雜信號(hào)特征提取方面的優(yōu)勢(shì)，論證了樣本分位數(shù)排列熵的有效性及可行性。

圖6 故障分類結(jié)果(SQPE)

4 結(jié) 論

本文結(jié)合樣本分位數(shù)與排列熵原理，提出了樣本分位數(shù)排列熵概念，并將其應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障數(shù)據(jù)診斷。排列熵可用于信號(hào)的隨機(jī)性及動(dòng)力學(xué)突變性的檢測(cè)，在多個(gè)領(lǐng)域均有應(yīng)用，但受限于振動(dòng)信號(hào)的不同尺度下動(dòng)力學(xué)突變，在滾動(dòng)軸承故障診斷方面表現(xiàn)較差。本文采用樣本分位數(shù)原理提取滾動(dòng)軸承故障數(shù)據(jù)排列熵的特征，構(gòu)建基于樣本分位數(shù)的排列熵信息作為故障特征。并將其作為特征量輸入SVM分類器，實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承的故障診斷。在同等條件下，采用SVM分類器進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

(1) 相比排列熵算法而言，樣本分位數(shù)排列熵方法無(wú)需確定參數(shù)，只需提取不同嵌入維數(shù)下排列熵值的樣本分位數(shù)，即可提取出故障診斷所需的特征量，算法具有較好的自適應(yīng)性，有效提高了排列熵算法的應(yīng)用范圍。

(2) 在同等條件下，采用樣本分位數(shù)排列熵方法可以有效提取出不同狀態(tài)下的特征信息，識(shí)別率由85%提高至100%，有效實(shí)現(xiàn)了對(duì)滾動(dòng)軸承故障數(shù)據(jù)的診斷。

(3) 樣本分位數(shù)排列熵方法計(jì)算簡(jiǎn)單，理論清晰，具有一定的工程實(shí)踐意義。