“數(shù)形結(jié)合”巧定二次函數(shù)表達(dá)式

文孫德萍

（作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)勵(lì)志學(xué)校）

蘇科版《數(shù)學(xué)》教材九年級(jí)下冊(cè)第21、22頁有三個(gè)例題：

已知二次函數(shù)y=ax2的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-2，8），求a的值。

已知二次函數(shù)y=ax2+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-2，8）和（-1，5），求a、c的值。

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-3，6）、（-2，-1）和（0，-3），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式。

【解析】上面三題把函數(shù)與方程相結(jié)合，通過把點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式，建立方程或方程組，從而求出二次函數(shù)的表達(dá)式。這三個(gè)例題的解法類似，在課本中都有，這里就不再列解。表達(dá)式是函數(shù)的根本所在，所以很多函數(shù)問題都是從求表達(dá)式開始的。那么如何快速準(zhǔn)確地求出二次函數(shù)的表達(dá)式呢？下面通過這樣幾類情況進(jìn)行簡(jiǎn)述。

一、觀察題目特征，巧設(shè)函數(shù)表達(dá)式

例1已知一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-3，0）、（1，0）和（0，-3），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式。

【解析】解法一：可設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c，由圖像經(jīng)過點(diǎn)（-3，0）、（1，0）和（0，-3）列方程組求解。顯然此方法較復(fù)雜，計(jì)算繁瑣。解法二：根據(jù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（-3，0）、（1，0）可以看出二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=-1，所以可設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=a（x+1）2+k，再把點(diǎn)（1，0）和（0，-3）代入計(jì)算。解法三：根據(jù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（-3，0）、（1，0）不難看出，這兩個(gè)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)，所以可設(shè)表達(dá)式為y=a（x+3）（x-1），再把點(diǎn)（0，-3）代入可得a=1，所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=（x+3）（x-1）=x2+2x-3。

【總結(jié)】二次函數(shù)的表達(dá)式通常有一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式三種。已知圖像上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或三組對(duì)應(yīng)值時(shí)，通常選擇一般式；已知圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸和最值時(shí)，通常選擇頂點(diǎn)式；已知圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，通常選擇交點(diǎn)式。三種表達(dá)式并沒有哪個(gè)特別重要，但是在不同的條件下，如果能合理選擇，便可使問題的解決變得更為方便。

二、利用幾何變換，巧定函數(shù)表達(dá)式

例2（2019·徐州）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（2，2），頂點(diǎn)為O（0，0），將該圖像向右平移，當(dāng)它再次經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為_____。

【解析】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移。由圖像的頂點(diǎn)為O（0，0），可設(shè)表達(dá)式為y=ax2，把點(diǎn)（2，2）代入，得2=4a，所以，得原二次函數(shù)的表達(dá)式為。設(shè)將該圖像向右平移m個(gè)單位，則表達(dá)式為，代入（2，2），解得m1=0（舍去），m2=4，所以所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

例3已知二次函數(shù)的圖像在x軸上截得的線段AB長為4，函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（3，-2）。

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）一個(gè)新的二次函數(shù)的圖像與（1）中拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，求新的二次函數(shù)表達(dá)式；

（3）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與（1）中拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求a，b，c的值。

【解析】（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，利用拋物線的對(duì)稱性可得A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，0），（5，0），則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）（x-5），然后把P點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a=，從而得到拋物線解析式為

（2）圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，也就是圖像上的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，并且開口方向和大小都一樣，所以a相同，利用關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出點(diǎn)P（3，-2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-2），利用頂點(diǎn)式確定新的二次函數(shù)表達(dá)式為

（3）利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)特征，求出點(diǎn)P（3，-2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，2），然后利用頂點(diǎn)式寫出新拋物線解析式為，再化為一般式y(tǒng)，則可得到

三、給定關(guān)系式，再求函數(shù)表達(dá)式

例4（2019·安徽）一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），另一個(gè)交點(diǎn)是該二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)。

（1）求k，a，c的值；

（2）過點(diǎn)A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像相交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記W=OA2+BC2，求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求W的最小值。

【解析】（1）由交點(diǎn)為（1，2），代入y=kx+4，可求得k，由y=ax2+c可知，二次函數(shù)的頂點(diǎn)在y軸上，即x=0，則可求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求c值，最后可求a的值。

（2）由（1）得二次函數(shù)解析式為y=-2x2+4，由直線BC經(jīng)過點(diǎn)A（0，m）且垂直于y軸，所以B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為m，令y=m，得2x2+m-4=0，可求x的值，即可得BC的長，從而列出W關(guān)于m的關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出W的最小值。

解：（1）由題意得，k+4=2，解得k=-2，

又∵二次函數(shù)y=ax2+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=4，

∴二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），

∴c=4，把（1，2）代入二次函數(shù)表達(dá)式得a+c=2，解得a=-2。

（2）由（1）得二次函數(shù)解析式為y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0，解得

∴當(dāng)m=1時(shí)，W取得最小值7。

我們?nèi)绻_定二次函數(shù)的表達(dá)式，應(yīng)先根據(jù)題目所給條件，靈活選用二次函數(shù)表達(dá)式的不同形式，再抓住表達(dá)式與圖像之間的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合，最終運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題。