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      新廣義V-I致型多目標(biāo)半無限規(guī)劃ε-有效解的充分性

      2019-12-31 06:06:44蘇紫洋王榮波
      關(guān)鍵詞:最優(yōu)性凸性廣義

      蘇紫洋,王榮波

      (延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

      對(duì)于非光滑多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件的研究一直是近幾年來的熱點(diǎn)問題,并且取得了很大的成果,如文獻(xiàn)[1-7]。在多目標(biāo)規(guī)劃問題中各種凸性及其推廣也被廣泛應(yīng)用。例如,文獻(xiàn)[2]將文獻(xiàn)[1]引入的不變凸性理論推廣為I型和II型不變凸性;文獻(xiàn)[3]對(duì)文獻(xiàn)[2]進(jìn)行了進(jìn)一步推廣和應(yīng)用;后來文獻(xiàn)[4]推廣了各種I型不變凸性,并提出了向量型不變凸性等相關(guān)概念,引入了V-I型、偽V-I型、擬V-I型等廣義不變凸函數(shù),并在這些廣義I型的不變凸性條件下討論了關(guān)于多目標(biāo)規(guī)劃的一些對(duì)偶性定理和最優(yōu)性條件;文獻(xiàn)[5]在對(duì)稱可微的非光滑情況下把各種V-I型函數(shù)進(jìn)行了推廣,并給出了V-Is型等一些不變凸函數(shù)的定義;文獻(xiàn)[6]在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上定義了廣義一致V-Is型等多個(gè)廣義不變凸函數(shù),且在廣義一致V-Is型不變凸性條件下,討論并得到了關(guān)于非光滑多目標(biāo)半無限規(guī)劃的一些最優(yōu)條件。

      本文借助文獻(xiàn)[7]引入了新廣義一致V-Is,ε型不變凸函數(shù)的概念。我們假設(shè)在新廣義一致不變凸性的情況下,對(duì)一類非光滑多目標(biāo)半無限規(guī)劃問題進(jìn)行了討論和研究,并得出了若干個(gè)最優(yōu)性結(jié)果。

      1 基本概念

      相關(guān)符號(hào):

      x∈Rn,y∈Rn,x≤y?xiyi?i=1,…,n,x≠y。

      x∈Rn,y∈Rn,xy?xiyi?i=1,…,n,≥和≧分別與≤和≦的意義類似。

      hi:R→R,hj:R→R,Ti:X0×X0→R+/{0},Uj:X0×X0→R+/{0},Z:X0×X0→Rn,

      考慮下列多目標(biāo)規(guī)劃問題(SIVP):

      minf(x)=(f1(x),f2(x),…,fi(x))T,

      s.t.g(x,u)0,x∈X0?Rn,u∈U。

      其中f:X0→Rp是對(duì)稱可微函數(shù),g:X0×U→Rm對(duì)于?u∈U關(guān)于x是對(duì)稱可微的,X0是一個(gè)開集,U∈Rm是一個(gè)無限參數(shù)集。

      記:X={x∈X0|g(x,u)0,X0?Rn,u∈U},

      I(x*)={i|g(x*,uj)=0,x*∈X0,uj∈U},

      設(shè)U*={uj∈U|g(x,uj)0,j∈△,△是的任意可數(shù)子集}是U的任意可數(shù)子集,Λ={λj|λj0,j∈△,且僅有有限個(gè)λj≠0}。

      定義1 設(shè)x*∈X,對(duì)ε>0,如果不存在x∈X,使得f(x)≤f(x*)-ε,則說x*是(SIVP)的ε-有效解。

      定義2[6]設(shè)x∈X0如果存在一個(gè)Rn→Rn的線性算子fs(x),使得對(duì)充分小的h∈Rn有

      f(x+h)-f(x-h)=2hT·f(x)+α(x,h)‖h‖,

      其中α(x,h)∈R1,且當(dāng)‖h‖→0時(shí),α(x,h)→0,則稱f在x處對(duì)稱可微,記為S-可微,稱fs(x)為f在x處的對(duì)稱梯度(當(dāng)f為一元函數(shù)時(shí),fs(x)稱為對(duì)稱導(dǎo)數(shù)),如果f在每個(gè)x∈X0處對(duì)稱可微,則稱f在X0上對(duì)稱可微。

      定義3 對(duì)于問題(SIVP),如果存在定義中的bi,bj,Ti,Uj,hi,hj使得

      bi(x,x0)hi[fi(x)-fi(x0)]

      ?x∈X0,i=1,…,p。

      (1)

      -bj(x,x0)hj(g(x0,uj))

      Uj(x,x0)ZT(x,x0)gs(x0,uj)-ε,

      ?x∈X0,j=1,…,m。

      (2)

      則稱(SIVP)在x0∈X處是廣義一致V-Is,ε型的。如果(SIVP)在每一點(diǎn)x∈X0處是廣義一致偽V-Is,ε型的,則稱(SIVP)在X0上是廣義一致V-Is,ε型的;如果當(dāng)x≠x0時(shí)不等式(1)為嚴(yán)格的,則稱(SIVP)在x0處或X0上是廣義一致半嚴(yán)格V-Is,ε型的。

      定義4[6]對(duì)于問題(SIVP),如果存在定義中的bi,bj,Ti,Uj,hi,hj,對(duì)一些τ∈Rp,τi0,λi∈Λ,使得

      ?x∈X0,i=1,…,P。

      (3)

      ?x∈X0,j=1,…,m。

      (4)

      則稱(SIVP)在x0∈X處是廣義一致偽V-Is型的。如果(SIVP)在每一點(diǎn)x∈X0處是廣義一致偽V-Is型的,則稱(SIVP)在X0上是廣義一致偽V-Is型的;如果當(dāng)不等式(3)(不等式(4))中的第二個(gè)不等式為嚴(yán)格的,則稱(SIVP)在x0處或X0上是廣義一致半嚴(yán)格偽V-Is型的;如果當(dāng)不等式(3)和不等式(4)中的第二個(gè)不等式都為嚴(yán)格的,則稱(SIVP)在x0處或X0上是廣義一致嚴(yán)格偽V-Is型的。

      定義5[6]對(duì)于問題(SIVP),如果存在定義中的bi,bj,Ti,Uj,hi,hj,對(duì)一些τ∈Rp,τi0,λj∈Λ,使得

      ?x∈X0,i=1,…,p。

      (5)

      ?x∈X0,j=1,…,m。

      (6)

      則稱(SIVP)在x0∈X處是廣義一致擬偽型V-Is的。如果(SIVP)在每一點(diǎn)x∈X0處是廣義一致V-Is型的,則稱(SIVP)在X0上是廣義一致擬偽V-Is型的;如果式(6)中的第2個(gè)不等式為嚴(yán)格的,則稱(SIVP)在X0處或X0上是廣義一致擬嚴(yán)格偽V-Is型。

      2 充分性條件

      定理1 假設(shè)x0∈X。如果:

      (Ⅱ)(SIVP)關(guān)于bi>0,Ti>0,Uj>0,(j∈△)對(duì)于?uj∈U*且在x0處是V-Is,ε型的。

      (Ⅲ)當(dāng)a<0時(shí),hi(a)<-ε;當(dāng)a0時(shí),

      hi(a)-ε;當(dāng)a=0時(shí),hi(a)=0。則x0是(SIVP)的ε-有效解。

      證明由假設(shè)(Ⅱ)

      bi(x,x0)hi[fi(x)-fi(x0)]

      ?x∈X0,i=1,…,p。

      -bj(x,x0)hj(g(x0,uj))

      Uj(x,x0)ZT(x,x0)gs(x0,uj)-ε,

      ?x∈X0,j=1,…,m。

      上述兩式相加得:

      由(Ⅰ)得

      (7)

      通過(11)式可得:

      (8)

      由于bi>0,Ti>0,Uj>0,(j∈△),(8)式也可表示為

      (9)

      定理2 假設(shè)x0∈X。如果

      (Ⅱ)(SIVP)關(guān)于bi>0,Ti>0,Uj>0,(j∈△)對(duì)于?uj∈U*且在x0處是廣義一致擬嚴(yán)格偽V-Is型的。

      (Ⅲ)當(dāng)a<0時(shí),hi(a)<-ε;當(dāng)a0時(shí),hi(a)-ε;當(dāng)a=0時(shí),hj(a)=0。則x0是(SIVP)的ε-有效解。

      (10)

      由假設(shè)條件(Ⅱ)得

      上面兩式相加得:

      (11)

      再有假設(shè)(Ⅰ)中的(a)得,

      這與(11)式矛盾,故x0是(SIVP)的ε-有效解。

      定理3 假設(shè)x0∈X。如果

      (Ⅱ)(SIVP)關(guān)于bi>0,Ti>0,Uj>0,(j∈△)對(duì)于?uj∈U*且在x0處是廣義一致嚴(yán)格偽V-Is型的。

      (Ⅲ)當(dāng)a<0時(shí),hj(a)<-ε;當(dāng)a0時(shí),hi(a)-ε;當(dāng)a=0時(shí),hj(a)=0。則x0是(SIVP)的ε—有效解。

      由假設(shè)條件(Ⅱ)得:

      由假設(shè)(Ⅰ)中的(a)得:

      由假設(shè)(Ⅱ)得:

      ?x∈X。

      (12)

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