用數(shù)據(jù)探尋“可能”，借思維助推生長(zhǎng)
——《可能性及可能性的大小》教學(xué)片段與思考

《可能性及可能性的大小》是蘇教版四年級(jí)上冊(cè)的一個(gè)單元，屬于“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域，該課旨在讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)以及對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)、比較分析中理解可能性的大小。

教學(xué)思考

第一，教與學(xué)的意義在哪里？教學(xué)前學(xué)生對(duì)確定、不確定事件的感受有困難嗎？教師問(wèn)學(xué)生：“在裝有1個(gè)紅球1 個(gè)黃球的袋里摸球，結(jié)果會(huì)怎樣？”大部分學(xué)生都知道摸出的球可能是紅、可能是黃，是不確定的。接著，教師問(wèn)學(xué)生：“在都是紅球的袋里摸球，結(jié)果會(huì)怎樣？”學(xué)生知道摸出的一定是紅球，是確定的。

那么，教與學(xué)的意義在哪里？學(xué)生學(xué)習(xí)概率的重要目標(biāo)是體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，逐步糾正原有的錯(cuò)誤想法，建立正確的概率直覺(jué)。本課的教學(xué)意義一是讓學(xué)生在對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)、分析中發(fā)展隨機(jī)意識(shí)，能列舉出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件中可能發(fā)生的所有結(jié)果；二是在統(tǒng)計(jì)、收集、分析數(shù)據(jù)的過(guò)程中了解可能性有大小，并能判斷可能性的大小，知道可能性的大小不僅與個(gè)體的數(shù)量有關(guān)，還與個(gè)體在群體中所占比例的多少有關(guān)；三是利用對(duì)可能性的理解進(jìn)行科學(xué)的決策，建立正確的概率直覺(jué)。

第二，學(xué)生的起點(diǎn)在哪里？對(duì)于簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象，學(xué)生都有一定的生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)事件的發(fā)生與否能進(jìn)行簡(jiǎn)單的判斷，但僅僅停留在生活層面的感知，并未上升到數(shù)學(xué)層面，尤其是對(duì)可能性大小的感知比較模糊。因此，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)入手，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、比較分析，逐步加深對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)現(xiàn)象的教學(xué)，逐步建構(gòu)學(xué)生統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)體系的整體結(jié)構(gòu)。

創(chuàng)設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，引出數(shù)據(jù)分析

受認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和年齡的限制，學(xué)生常根據(jù)自己的直覺(jué)判斷事情發(fā)生與否，常以為“很有可能發(fā)生就是一定發(fā)生，不太可能發(fā)生就是不可能發(fā)生”。教師可以在創(chuàng)設(shè)的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，讓學(xué)生猜測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，激發(fā)學(xué)生對(duì)收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的興趣。

片段一：感受確定事件、不確定事件。

第1 次，出示裝有1 個(gè)紅球、1 個(gè)黃球的口袋。

師：口袋里，放入2 個(gè)除顏色外，其他都相同的球。任意摸一個(gè)，結(jié)果會(huì)怎樣？（生：可能摸到紅球，也可能摸到黃球，不確定摸到哪一個(gè)。）

師：如果摸10 次，猜一猜紅球摸到幾次？黃球呢？（學(xué)生猜測(cè)。）我們來(lái)動(dòng)手驗(yàn)證吧。每組都有這樣一個(gè)口袋，以小組為單位摸一摸。摸的時(shí)候有什么要注意的？（生：晃一晃口袋，不能偷看。）對(duì)，就是要確保隨機(jī)，這樣才公平。（出示規(guī)則，開始小組活動(dòng)。）

師：這是每組的統(tǒng)計(jì)結(jié)果（見圖1）。我先來(lái)采訪一位同學(xué)，再摸一次你能知道摸出什么顏色嗎？（生：不能，不確定。）豎著來(lái)觀察，每組第1次的結(jié)果是怎樣的？（生：黃的多。）那每組第5 次呢？（生：紅的多。）

師：再橫著來(lái)觀察，每組摸出兩種球的次數(shù)一樣嗎？（生：有些一樣，有些不一樣。）看來(lái)每組摸到幾次紅球、幾次黃球的數(shù)量也是不確定的。如果每組再多摸10 次，你們摸出的結(jié)果和上面統(tǒng)計(jì)出的結(jié)果會(huì)一樣嗎？（生：可能一樣，可能不一樣，不確定。）

圖1 每組摸球統(tǒng)計(jì)結(jié)果

第2 次，出示裝有2 個(gè)紅球的口袋。

師：從這個(gè)口袋里摸球，情況會(huì)怎樣？（生：摸到的一定是紅球，是確定的。）可能像剛才一樣摸到黃球嗎？（生：不可能，也是確定的。）

師：有什么是不確定的嗎？看，把這些球標(biāo)上序號(hào)1 和2。（生：可能摸到1 號(hào)紅球，也可能摸到2 號(hào)紅球，這是不確定的。）看來(lái)確定中也隱藏著不確定。

第3 次，出示裝有2 個(gè)黃球的口袋。

師：從這個(gè)口袋里摸球，結(jié)果會(huì)怎樣？（生：一定摸到黃球；不可能摸到紅球；可能摸到這個(gè)黃球，也可能摸到那個(gè)黃球。）

思考：本環(huán)節(jié)的三次摸球活動(dòng)中，從第1 次1 紅1 黃2 個(gè)球，先讓學(xué)生猜測(cè)，再通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，學(xué)生在對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的收集、比較、分析中，了解事件的發(fā)生是不確定的，摸到2種球的次數(shù)也是不確定的。再到第2次都是紅球，第3 次都是黃球，讓學(xué)生了解確定事件，并再追問(wèn)“有沒(méi)有什么是不確定的？”激發(fā)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生體會(huì)“確定”中也隱藏著“不確定”。

深化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，掌握分析方法

學(xué)生對(duì)于可能性的大小有模糊的認(rèn)識(shí)，但存在一定誤區(qū)，認(rèn)為“可能性大，出現(xiàn)的次數(shù)一定多；可能性小，出現(xiàn)的次數(shù)就少”。通過(guò)對(duì)隨機(jī)事件的深入實(shí)驗(yàn)后，學(xué)生掌握對(duì)大數(shù)據(jù)的分析方法，糾正原有錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)，深化對(duì)可能性的認(rèn)識(shí)。

片段二：感受可能性的大小。

第1 次，出示紅桃A、紅桃2、紅桃3、紅桃4，共4 張牌。

師：這4 張牌，除點(diǎn)數(shù)不同外，其他都完全一樣。反扣，打亂次序，任意摸一張，可能摸出哪一張？（生：可能摸出紅桃A、紅桃2、紅桃3、紅桃4，有4 種可能。）這是不確定的，那有什么是確定的？（生：一定是紅桃。）看來(lái)不確定中也隱藏著確定。

第2 次，出示3 張紅桃、1 張黑桃。

師：現(xiàn)在還一定能摸到紅桃嗎？（生：不一定，可能是紅桃，可能是黑桃。）摸到紅桃有幾種可能？黑桃呢？（生：摸到紅桃有3 種可能，摸到黑桃有1 種可能。）如果摸30 次，猜猜看，紅桃出現(xiàn)幾次？黑桃呢？（學(xué)生猜測(cè)。）

師：通過(guò)剛才的猜測(cè)，我們有了一個(gè)共同的想法——哪種花色數(shù)量多，摸到次數(shù)就多。但這只是猜想，我們來(lái)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。摸的時(shí)候需注意什么？（生：隨機(jī)、公平。）（出示完整規(guī)則，開始小組活動(dòng)。）

師：我們猜測(cè)摸到紅桃的次數(shù)多。觀察每組的結(jié)果，和我們的猜想完全一樣嗎？（生：第八組不一樣，紅桃少。）那豎著觀察全班的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，紅桃一共摸到多少次？黑桃呢？你發(fā)現(xiàn)什么？（生：紅桃一共摸到218 次，黑桃一共摸到82 次，紅桃次數(shù)多、黑桃次數(shù)少。）總體的統(tǒng)計(jì)結(jié)果能說(shuō)明，的確摸到紅桃的可能性大。如果再多摸幾次，結(jié)果會(huì)怎樣？（生：還是紅桃的可能性大。）

師：看，這是四年級(jí)所有同學(xué)的摸牌結(jié)果，觀察統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，你有什么想說(shuō)的？（生：摸到紅桃次數(shù)比黑桃次數(shù)多得多。）剛才觀察每組的數(shù)據(jù)、全班的數(shù)據(jù)以及整個(gè)年級(jí)的數(shù)據(jù)，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，我們的結(jié)果更有說(shuō)服力了。

第3 次，出示2 張紅桃、2 張黑桃：

師：現(xiàn)在摸到2 種牌的可能性發(fā)生了怎樣的變化？（生：可能性一樣了，因?yàn)閺垟?shù)一樣。）你是從數(shù)量上發(fā)現(xiàn)的。那來(lái)回顧這個(gè)口袋（片段一中的1 個(gè)紅球、1 個(gè)黃球的口袋），任意摸一個(gè)，摸到他們的可能性？（生：可能性一樣大）那為什么這一組紅球摸到3 次，黃球卻摸到7 次呢？（生：可能性一樣，但摸到的次數(shù)不一定一樣。）

師：對(duì)，理論上可能性是相等的，但具體到每一次摸，仍然是不確定的。

第4 次，出示1 張紅桃、3 張黑桃。

師：現(xiàn)在的可能性呢？（生：黑桃可能性大，紅桃可能性小，因?yàn)楹谔业臄?shù)量多了。）

師：回顧剛才3 次換牌的過(guò)程，你有什么發(fā)現(xiàn)？小組間說(shuō)一說(shuō)。（生：隨著數(shù)量變化，可能性也在變。）是的，可能性跟著數(shù)量的變化而變化，有大有小，有時(shí)還會(huì)相等。

思考：本環(huán)節(jié)通過(guò)4 次摸牌的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生感受到可能性是有大小的，可能性的大小與數(shù)量有關(guān)。第1 次有4張紅桃，學(xué)生感受到摸出哪張是不確定的，但在追問(wèn)“有沒(méi)有什么是確定的”時(shí)，感受到不確定中也隱藏著確定，初步建立起不確定事件與確定事件之間的聯(lián)系。第2 次3 張紅桃、1 張黑桃，學(xué)生先猜測(cè)，再實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，從小數(shù)據(jù)到大數(shù)據(jù)深入對(duì)比分析后，得出結(jié)論：“紅桃的數(shù)量多，故摸到的可能性大，但是可能性大，不代表摸到次數(shù)一定多。隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果才更有說(shuō)服力?！钡? 次2 張紅桃、2 張黑桃，揭示“等可能性”。接著教師再引導(dǎo)學(xué)生與片段一中的1 個(gè)紅球、1 個(gè)黃球?qū)Ρ?，學(xué)生理解“可能性一樣，摸到的次數(shù)不一定一樣，只有實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多，才能更接近理想的結(jié)果”，促使學(xué)生完善自己的思維直覺(jué)，在加深對(duì)大數(shù)據(jù)的領(lǐng)悟的同時(shí)，掌握對(duì)數(shù)據(jù)的一般分析方法。

經(jīng)歷數(shù)學(xué)分析，構(gòu)建思維聯(lián)系

學(xué)生已能區(qū)分確定事件和不確定事件，判斷出可能性的大小，但是尚未打通確定與不確定、可能性大與小之間的聯(lián)系。本環(huán)節(jié)通過(guò)對(duì)“放”球結(jié)果的整理、分析，構(gòu)建起整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系。

片段三：溝通不可能、可能、一定之間的聯(lián)系。

師：剛才摸球、摸牌，現(xiàn)在來(lái)按要求放球。這里有一個(gè)袋子，紅球黃球各5 個(gè)，挑5 個(gè)球放入袋子。第一個(gè)要求是，任意摸出一個(gè)，不可能是紅球。（生：放5 個(gè)黃球，沒(méi)有紅球，就不可能摸出紅球。）

師：對(duì)，這是確定的。第二個(gè)要求是，可能是紅球。（生：1 個(gè)紅球、4個(gè)黃球，2 個(gè)紅球、3個(gè)黃球，3個(gè)紅球、2 個(gè)黃球，4 個(gè)紅球、1 個(gè)黃球。）

師：第三個(gè)要求是，一定是紅球。（生：全放紅球。）

按照學(xué)生回答，教師出示圖片（見圖2）。

圖2 滿足教師要求的口袋

師：從左往右看，仔細(xì)觀察。你有什么發(fā)現(xiàn)？和你的同桌說(shuō)一說(shuō)。（生：紅球數(shù)量越來(lái)越多，摸到紅球可能性在變大。）

師：總數(shù)不變，從左往右看，紅球的數(shù)量越多，摸到紅球的可能性越大，一直到全是紅球，摸到的就一定是紅球。從右往左看，紅球的數(shù)量越少，摸到紅球的可能性越小，一直到?jīng)]有紅球，就不可能摸到紅球。這就是不可能、可能、一定之間的關(guān)系。

思考：在“摸”的2 個(gè)環(huán)節(jié)中對(duì)大數(shù)據(jù)進(jìn)行充分的收集、比較、得出結(jié)論后，設(shè)計(jì)“放”的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生根據(jù)確定事件和不確定事件的特點(diǎn)進(jìn)行放球。并在對(duì)所有情況的觀察比較中，勾連起“不可能”“可能”“一定”之間的聯(lián)系。