“設線”還是“設點”，這是一個問題
——對近三年浙江卷解析幾何的幾點思考

浙江省安吉縣高級中學 (313300) 魏侹路

今年高考結束后，筆者和幾個班上程度較好的學生交流了一下對今年數(shù)學試卷的感受．大家普遍感覺最后兩題難度很大，特別是解析幾何，雖然問題看上去也很常規(guī)，可就是怎么算都算不出來．在筆者詢問了他們的方法之后，發(fā)現(xiàn)多數(shù)人是選擇了從設直線AB入手，只有少數(shù)人是像參考答案給出的一樣設點A的坐標．那么，設直線AB入手到底是否可行呢？筆者嘗試后給出了下面解法．

圖1

一、考題再現(xiàn)

(2019浙江第21題)如圖1，已知點F(1，0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側．記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2．

(1)求p的值及拋物線的標準方程；

解法一：(1)p=2,y2=4x；

這種解法過程中我們可以發(fā)現(xiàn)，由于求面積的過程中涉及到了點A的縱坐標，我們是利用了求根公式將其解出．這不同于我們通常設直線方程后“設而不求”，利用韋達定理整體計算的一般做法，因此整個過程計算量非常大．這對于考生而言，在考場上近乎是不可能完成的任務．那么，如果一開始不是從直線AB的方程出發(fā)，而是改從點坐標入手，這就是參考答案給出的思路，下面筆者給出另一種設點坐標的解法．

圖2

比較兩種解法可以發(fā)現(xiàn)，解法二的運算量明顯會比解法一小一些，所以相對于此題是較優(yōu)的方法.但是我們也要注意到，設點坐標的過程中，難點在于如何將面積比值轉化到點A,B,C的坐標上來，而解法一中面積比值的計算思路是比較直接的.所以解法二運算量減少的“代價”是思維量的提升.

二、回顧真題

可以說今年的高考解析幾何是設點坐標的解法較優(yōu)，那么之前幾年的情況又如何呢？我們可以看到，2018年的高考解析幾何參考答案給出的做法依然是設點坐標，那設直線入手是否可行呢？

圖3

(2018浙江第21題)如圖3，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上．

(1)設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；

通過比較上述設直線求解與參考答案設點的求解方法后可以發(fā)現(xiàn)，設點的做法計算量較小.因為在設直線的做法中無法回避還要設出點A,B,P的坐標，導致參數(shù)數(shù)量增加了兩個，這對于學生的運算化簡要求更高.所以，此題依然是設點的做法較優(yōu).

接下來我們再回顧一下2017年的高考解析幾何，當年此題參考答案給出的做法是設直線，那從設點入手又是否可行呢？

圖4

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值．

本題設點的做法運算量比設直線大大簡化，但是這又是以思維量的提升為“代價”的，因為如何將|PA|·|PQ|轉化到點A,B,P的坐標上來是一個難點，這里是借助向量這一工具實現(xiàn)了轉化.所以，此題依然是設點的解法較優(yōu).

三、幾點思考

1.“設線”還是“設點”該如何選擇

回顧近三年的高考解析幾何我們發(fā)現(xiàn)，無論是“設線”還是“設點”，一般都是可以做的.但是這三題的運算量都是“設線”時大一些，那么什么情況下我們選擇“設線”時好一些呢？筆者以為，關鍵要看所設直線能否方便的將“問題所需量”與之聯(lián)系起來.2019年中的問題是△AFG,△CQG的面積比值，“問題所需量”就是點A,F,G,Q,C的坐標或是相關長度、距離，但是設直線AB卻無法直接聯(lián)系點Q的坐標.而且，問題只需要點A，不需要點B，不利于“設而不求”運算的進行.因此，“設線”不是最佳方案.此題2018年中的問題是△PAB的面積，“問題所需量”就是點P,A,B的坐標或是相關長度、距離，設直線AB無法直接聯(lián)系點P的坐標.因此，“設線”也不是最佳方案.2017年中的問題是|PA|·|PQ|，“問題所需量”就是點A,P,Q的坐標或是相關長度、距離，設直線AP較容易聯(lián)系三個點的坐標或是相關長度、距離.因此，參考答案給出的是“設線”的方案.本文中給出的做法雖然運算簡潔，但需借助向量，并非所有考生都能想到.在考場時間有限的環(huán)境下，“設線”的做法仍不失為首選方案.所以，當所設直線能夠方便的表達出“問題所需量”時，“設線”應當是我們采取的常規(guī)手段.當所設直線不能夠方便的表達出“問題所需量”時，我們考慮“設點”.

2.“設點”在橢圓中是否可行

我們注意到這三題的背景都是拋物線，所以“設點”都比較方便，那么若是橢圓的背景下，“設點”的做法還行得通嗎？那么我們來看下面這個問題.

可以看出，“設點”的做法在近三年的浙江高考解析幾何中都可以解決問題，即便是橢圓的背景下也不例外.

3.“設線”還是“設點”，運算的核心是什么

點、直線、曲線作為幾何中的基本圖形，構建起了我們研究的解析幾何對象.解析幾何的基本方法是坐標法，因此，我們研究解析幾何圖形中的眾多關系，最終都是將其轉化成為點的坐標、直線或曲線方程中的有關系數(shù)等變量.無論是“設線”或是“設點”的做法，運算的核心都是在建立起眾多變量之間的聯(lián)系.例如，在2019年的21題解法一中，問題最終轉化到變量m上去.參考答案及解法二中，問題最終轉化為點A的縱坐標這一變量.

一般來說，“設線”時至多只有兩個變量，當所設直線能夠方便的表達出“問題所需量”時，“設線”具有變量少、運算思路簡潔的特點.而“設點”相對而言變量更多，變量間的關系更復雜，對學生的運算能力要求更高，但思維量的提升往往能帶來運算量的降低.特別是當直線無法方便的將“問題所需量”與之聯(lián)系起來時，“設點”往往是較優(yōu)方案.

4.“設線”還是“設點”，學生的障礙在哪里

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).數(shù)學運算主要表現(xiàn)為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果.學生在日常的學習過程中比較關注的是運算法則和運算結果的正確性.但對運算對象的理解，運算思路的探究往往忽視.而“設線”還是“設點”，這個問題的關鍵恰恰在于學生選取什么量將題目中的信息聯(lián)系起來，如何才能將已知信息轉化到所設變量上去.這恰恰是學生算法思想的體現(xiàn).因此，在今后的日常教學工作中，筆者應當加強學生對運算對象的理解和對運算方法的優(yōu)化.通過讓學生探究不同的算法，經(jīng)歷不同的運算過程，在比較中養(yǎng)成對運算思考的習慣，從而發(fā)展他們的數(shù)學運算這一核心素養(yǎng).