張漢勛 ，張永平

（1.寧波工程學(xué)院 信息與電氣工程學(xué)院，寧波 315211；2.長安大學(xué) 電子與控制工程學(xué)院，西安 710082）

隨著微電子技術(shù)、電力電子器件、新型電機(jī)控制理論、數(shù)字控制技術(shù)的發(fā)展，交流調(diào)速系統(tǒng)相關(guān)的控制策略相應(yīng)也得到了發(fā)展[1]。最初，V/F控制是交流電機(jī)最簡單的控制方法。但V/F控制具有非常差的低電機(jī)轉(zhuǎn)矩率和速度動(dòng)態(tài)特性。特別是低速時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。把速度閉環(huán)引入滑差頻率控制更容易使系統(tǒng)穩(wěn)定。它們都屬于標(biāo)量控制，只能對(duì)電機(jī)定子的電壓幅度和頻率進(jìn)行控制，從而導(dǎo)致電機(jī)的動(dòng)態(tài)性能不佳成為其主要缺陷[2]。

20世紀(jì)70年代提出的AC電機(jī)矢量控制系統(tǒng)將三相系統(tǒng)等效成為兩相系統(tǒng)，并通過對(duì)轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)進(jìn)行定向的同步旋轉(zhuǎn)變換來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩分量間和定子電流勵(lì)磁分量的解耦，從而實(shí)現(xiàn)分別控制轉(zhuǎn)矩和交流磁鏈的目的[3]。

矢量控制理論最早由德國的F.Blaschke于1971年提出。它的基本思想是把AC電動(dòng)機(jī)模擬成DC電機(jī)來控制[4-5]。矢量控制系統(tǒng)在應(yīng)用上的成功清除了先前標(biāo)量控制上的不足，并且極大提升控制系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制的性能。

本文詳細(xì)闡述了永磁同步電機(jī)在不一樣的坐標(biāo)中的數(shù)學(xué)模型，分析轉(zhuǎn)換其解耦思想及其實(shí)現(xiàn)過程，為永磁電機(jī)進(jìn)行矢量控制在Matlab中的仿真提供解耦依據(jù)。最后，通過Matlab/Simulink平臺(tái)，分析并仿真研究永磁同步電機(jī)的矢量控制系統(tǒng)，為實(shí)際進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)提供新的思路。

1 永磁同步電機(jī)變換解耦分析及其數(shù)學(xué)模型

在將永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型搭建起來之前，首先做以下假設(shè)：

（1）將渦流、磁滯、磁路飽和等影響因素忽略掉，把電機(jī)的磁路看作是線性的；

（2）定子繞組在電動(dòng)機(jī)中是三相對(duì)稱排列的，它的軸在空間上互差120°電角度；

（3）阻尼繞組在電機(jī)的轉(zhuǎn)子上的作用忽略不計(jì)，不存在阻尼作用；

（4）電動(dòng)機(jī)定子電勢(shì)根據(jù)正弦規(guī)律變化，定子電流僅在氣隙中產(chǎn)生正弦分布磁勢(shì)，定子與轉(zhuǎn)子之間繞組的互感以轉(zhuǎn)子位置角的正弦函數(shù)體現(xiàn)，將磁路中的高次諧波忽略掉；

（5）忽略溫度、頻率等因素對(duì)繞組電阻的影響；

（6）永磁材料的電導(dǎo)率為零。

根據(jù)以上假設(shè)，同步永磁電機(jī)的理論分析與實(shí)際情況非常接近，誤差控制在工程允許范圍以內(nèi)[6]。

1.1 A、B、C三相坐標(biāo)系下同步永磁電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

在三相坐標(biāo)系A(chǔ)、B、C中，同步永磁電機(jī)的物理模型如圖1所示，它的定子繞組以三相對(duì)稱排列。其繞組軸線分別為A、B、C，且依次相差120°。將A相繞組的軸用于空間坐標(biāo)系的參考軸OA。在此基礎(chǔ)上，可獲得同步永磁電動(dòng)機(jī)在A，B、C坐標(biāo)系中的磁鏈、電磁轉(zhuǎn)矩、定子電壓的方程如下：

圖1 永磁同步電機(jī)物理模型Fig.1 Physical model of permanent magnet synchronous motor

三相同步永磁電機(jī)定子電壓的方程如式（1）所示：

三相同步永磁電機(jī)的定子磁鏈方程如式（2）所示：

對(duì)永磁同步三相電機(jī)，它的電磁轉(zhuǎn)矩方程表示如下：

式中 ：np為三相永磁同步電機(jī)極對(duì)數(shù)；ψs＝ ψf·為三相繞組的電流。

在靜止的三相坐標(biāo)系下，可得同步永磁電機(jī)其電壓方程屬于線性微分方程，將一些常數(shù)量去掉，直接去求解其余的微分量就比較困難；從磁鏈方程的電感矩陣可以看出，它們的每個(gè)元素都是一個(gè)可變參數(shù)，因此每個(gè)繞組都擁有一個(gè)非線性耦合，同時(shí)它還與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的角度相關(guān)，想要達(dá)到解耦的目的，就要對(duì)定子的電感矩陣進(jìn)行對(duì)角化，完成這個(gè)過程后，就可以解除磁鏈之間的相互耦合，從而便于獨(dú)立控制。對(duì)角化過程首先要通過特征多項(xiàng)式求取特征值，然后得到的特征值是Λ的主對(duì)角元素[7]。下面詳細(xì)推導(dǎo)對(duì)角化過程及推導(dǎo)變換矩陣過程。

1.2 同步永磁電機(jī)在α、β、o三相坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型

由于定子繞組三相對(duì)稱，有LA=LB=LC=LS，MAB=MBC=MAC=Lm，定子繞組的電感矩陣可寫成

因此，對(duì)角化后有：

①當(dāng) λ1＝λ2＝Ls-Lm時(shí)

由于 λ1E-L 的秩為 1，則有（λ1E-L）X=0，有X1+X2+X3＝0，解得一個(gè)基礎(chǔ)解析為

②當(dāng) λ3＝Ls+2Lm時(shí)

由于 λ3E-L 的秩為 1，則由（λ3E-L）X=0，有X1＝X2＝X3，解得一個(gè)基礎(chǔ)解析為經(jīng)單位化有因此，求得

因?yàn)殡姍C(jī)繞組使用的是星形接法并且沒有中性線，即IA+IB+IC=0，即Io=0，因此矩陣第三行可以不考慮，只有前兩行有意義，所以說定子靜止三相電流IA、IB、IC從三坐標(biāo)變換到兩坐標(biāo)，便可獲得定子靜止兩相電流 Iα、Iβ，如圖 2 所示。

圖2 由靜止三相到靜止兩相的Clark變換Fig.2 Clark transform from stationary three-phase to stationary two-phase

永磁同步電機(jī)在α-β坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式如下：

定子電流：

定子磁鏈：

電磁轉(zhuǎn)矩：

1.3 在d、q、o三相坐標(biāo)系下同步永磁電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

定子和轉(zhuǎn)子在電機(jī)旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，他們之間將發(fā)生旋轉(zhuǎn)耦合關(guān)系[9]。此時(shí)，轉(zhuǎn)子和定子之間互感矩陣內(nèi)包含轉(zhuǎn)子和定子繞組之間角度的元素，也就是具有非線性、三角函數(shù)、隨著時(shí)間進(jìn)行變化，一般可以表達(dá)為

③當(dāng) λ3＝0 時(shí)，解得特征向量為將其單位化有

從而有正交變換矩陣如下：

由式（11）可得：

從式（12）能看出這是兩相靜止坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變化過程，也即是通過旋轉(zhuǎn)變換把靜態(tài)雙軸坐標(biāo)Iα和Iβ變成雙軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)Id和Iq，從而實(shí)現(xiàn)了從ABC靜止三相坐標(biāo)系的三相電流到同步旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)系的兩相電流的變換，如圖3所示。

永磁同步電機(jī)在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)系中的數(shù)學(xué)模型可以表達(dá)式為

定子電壓：

圖3 ABC靜止三相坐標(biāo)系到dq同步旋轉(zhuǎn)兩相坐標(biāo)系Fig.3 ABC three-phase stationary coordinate system to dq two-phase synchronous rotating coordinate system

定子磁鏈：

電磁轉(zhuǎn)矩：

式中：Ud，Uq，Id，Iq分別是 d、q 軸的定子電壓以及電流；R為定子的電阻；ψd，ψq為d軸和q軸的磁鏈分量；為轉(zhuǎn)子電角頻率；Ld和Lq為d軸和q軸的等效電感；ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈。

轉(zhuǎn)矩表達(dá)式（15）中，第一項(xiàng)是轉(zhuǎn)矩，通過q軸電流與氣隙磁場(chǎng)在相互作用下產(chǎn)生，即勵(lì)磁轉(zhuǎn)矩，即通過轉(zhuǎn)子凸極效應(yīng)產(chǎn)生的第二項(xiàng)轉(zhuǎn)矩，稱為磁阻轉(zhuǎn)矩。顯然對(duì)于 SPMSM 來說，Ld=Lq，此項(xiàng)為零。

當(dāng)id=0時(shí)，有電磁轉(zhuǎn)矩由此可以看出，如果將d軸的電流控制到零，則轉(zhuǎn)矩 Te只與q軸定子電流的分量Iq相關(guān)。為了達(dá)到id恒為0的解耦控制的目的，可以使用2種去耦方法，即電壓型去耦和電流型去耦。前者的方案可以用來完全解耦id和iq，但實(shí)現(xiàn)起來更復(fù)雜；后者的控制方案是近似解耦的，它進(jìn)行控制的原理是[10]：對(duì)id環(huán)的電流調(diào)節(jié)器的參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x取，并讓它擁有相當(dāng)?shù)脑鲆?，同時(shí)讓控制器的參考輸入命令始終保持為id*=0，可獲得 id≈id*=0，iq≈iq*＝0，這樣就獲得了同步永磁電機(jī)近似解耦。以矢量控制和id*=0為依據(jù)的解耦控制的同步永磁電動(dòng)機(jī)的仿真模型主要在下面部分給出。

2 同步永磁電機(jī)矢量控制系統(tǒng)的仿真

2.1 系統(tǒng)整體仿真

該系統(tǒng)基于變換解耦的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)的模塊化思想將控制系統(tǒng)分為若干個(gè)不同的子模塊，即坐標(biāo)變換模塊、電流環(huán)PI調(diào)節(jié)器、轉(zhuǎn)速環(huán)PI調(diào)節(jié)器、SVPWM模塊、永磁同步電機(jī)模塊。通過模擬這些模塊有序連接，可以在仿真軟件中搭建起同步永磁電機(jī)的矢量控制系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)圖，并對(duì)其進(jìn)行控制。整體仿真圖如圖4所示。

圖4 同步永磁電機(jī)矢量控制整體仿真圖Fig.4 Permanent magnet synchronous motor vector control overall simulation diagram

2.2 仿真系統(tǒng)子模塊功能

（1）電流PI控制模塊，如圖5所示。

圖5 電流PI控制模塊Fig.5 Current PI control module

（2）轉(zhuǎn)速PI控制模塊，如圖6所示。

圖6 轉(zhuǎn)速PI控制模塊Fig.6 Speed PI control module

（3）坐標(biāo)變換模塊

三相同步永磁電動(dòng)機(jī)矢量控制基本思路是用控制直流電機(jī)的方式去控制交流電機(jī)，即通過對(duì)直流電機(jī)的控制特性進(jìn)行模擬來控制同步永磁電機(jī)[11-12]。為了簡化感應(yīng)電機(jī)模型，可以通過對(duì)平面矢量疊加原理的使用來合成和分解由電機(jī)三相繞組的電流產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)，使得實(shí)際電機(jī)的三相繞組可以通過兩相正交繞組來等效。因?yàn)閮上嗬@組正交性的存在，大大減低了變量之間的耦合[13-14]。矢量控制中用到的變換有：將笛卡爾兩相靜態(tài)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為笛卡爾兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（Park變換），并將笛卡爾兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為笛卡爾兩相靜態(tài)坐標(biāo)系變換（Park逆變換），將三相平面坐標(biāo)系變換為笛卡爾兩相平面坐標(biāo)系（Clarke變換）。坐標(biāo)變換矩陣的Matlab實(shí)現(xiàn)如圖7～圖9所示。

圖7 Park變換Fig.7 Park transform

圖8 Park逆變換Fig.8 Park inverse transformation

圖9 clarke逆變換Fig.9 Clarke inverse transformation

（3）SVPWM 模塊

SVPWM主要是讓恒定幅值的圓形磁場(chǎng)存在于電機(jī)中，電機(jī)中通過對(duì)稱的三相正弦電壓時(shí)，圓形磁鏈在交流電機(jī)中產(chǎn)生并且基于該磁鏈[15]，有效矢量通過逆變器的功率裝置不同切換模式形成無限接近于基準(zhǔn)圓，并產(chǎn)生接近彼此相隔120°的正弦波的三個(gè)電流以驅(qū)動(dòng)電機(jī)。如圖10所示。

圖10 SVPWM內(nèi)部模型結(jié)構(gòu)圖Fig.10 SVPWM internal model structure diagram

3 仿真結(jié)果分析

為了證實(shí)仿真模型是否具有有效性和正確性，進(jìn)行針對(duì)該模型相關(guān)的仿真實(shí)驗(yàn)。

電機(jī)參數(shù)：R=2.875 Ω，磁鏈 Ψf=0.175 Wb，轉(zhuǎn)矩慣量 J=0.001 kg·m2，阻尼系數(shù) B=0.008 N·m·s，J=0.001，定子 d軸電感 Ld=8.5×10-3mH，定子 q軸 Lq＝8.5×10-3mH，極對(duì)數(shù) Pn=4，Phi=0.175。

Number of phase 設(shè)置為 3，Back EMF waveform設(shè)置為Sinusoidal，Rotor type設(shè)置為Salient pole。

給定初始條件：初始轉(zhuǎn)速n=1000 r/min，初始時(shí)刻負(fù)載轉(zhuǎn)矩T=0 N·m，當(dāng)t=0.2 s時(shí)，負(fù)載轉(zhuǎn)矩T=10 N·m，仿真時(shí)間為0.4 s。如圖11～圖13所示。

觀察仿真結(jié)果，我們可以得出，電機(jī)在通電后以極快的速度獲得最大轉(zhuǎn)矩（35 N·m），然后迅速恢復(fù)至穩(wěn)定數(shù)值（10 N·m）。轉(zhuǎn)速直線上升。然而，當(dāng)速度從0上升到1000 r/min，雖然剛開始電機(jī)的轉(zhuǎn)速有一些超調(diào)量，但仍然有較快動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，并在t=0.2 s時(shí)突加負(fù)載，負(fù)載轉(zhuǎn)矩T=10 N·m。電機(jī)也能恢復(fù)到給定轉(zhuǎn)速。

圖11 定子繞組三相電流波形Fig.11 Three-phase current waveform of stator winding

圖12 電磁轉(zhuǎn)矩波形Fig.12 Electromagnetic torque waveform

圖13 電機(jī)轉(zhuǎn)速波形Fig.13 Motor speed waveform

4 結(jié)語

本文針對(duì)交流電機(jī)控制時(shí)主要研究了同步永磁電機(jī)在三個(gè)不同的坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，得到了在不同坐標(biāo)系下同步永磁電機(jī)的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式，從數(shù)學(xué)角度對(duì)坐標(biāo)變換過程進(jìn)行了推導(dǎo)。通過坐標(biāo)變換得到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下兩軸的電流id和iq，然后根據(jù)電流型解耦控制實(shí)現(xiàn)對(duì)永磁同步電機(jī)的解耦控制。使用Matlab/Simulink軟件搭建同步永磁電機(jī)的矢量控制系統(tǒng)模型，分析獲得的仿真結(jié)果便可得知經(jīng)過坐標(biāo)變換解耦后，系統(tǒng)能平穩(wěn)地運(yùn)行。它具有很好的靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性。它的控制效果也相對(duì)良好。仿真結(jié)果和同步永磁電機(jī)的運(yùn)行特性相符合，同時(shí)為調(diào)試設(shè)計(jì)實(shí)際伺服系統(tǒng)提供了新的思路。該系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)高精度、寬范圍的速度和位置控制，不僅可用于快捷地驗(yàn)證一些先進(jìn)的控制算法，且可以進(jìn)行簡單的模型修改、改進(jìn)控制策略，因此具有一定通用性。