吳建

(福州市勘測(cè)院，福建 福州 350108)

1 引 言

平面坐標(biāo)系統(tǒng)是城市各項(xiàng)測(cè)量工作的基準(zhǔn)，是城市最為重要的測(cè)繪基礎(chǔ)設(shè)施。從20世紀(jì)50年代起我國開始采用經(jīng)典大地測(cè)量技術(shù)建立全國性的平面坐標(biāo)系統(tǒng)“1954北京坐標(biāo)系”，到當(dāng)前采用現(xiàn)代空間測(cè)量技術(shù)建立的各類高精度國家和城市坐標(biāo)系統(tǒng)。福州市目前采用如下6套坐標(biāo)系統(tǒng)：CGCS2000坐標(biāo)系、WGS84坐標(biāo)系、福州地方坐標(biāo)系、福州大都市坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系以及1954北京坐標(biāo)系，6套坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換是福州市測(cè)繪數(shù)據(jù)生產(chǎn)和應(yīng)用的基本內(nèi)容之一。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換平差模型的系數(shù)矩陣包含坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)在源坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值，因而含有隨機(jī)誤差，不滿足高斯-馬爾科夫模型的假定條件，屬于EIV(Errors-in-variables)平差模型。目前，福州市平面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換算法忽略了系數(shù)矩陣誤差，基于經(jīng)典的最小二乘估計(jì)求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)有偏[1]。Xu等(2014)[2]、曾文憲(2013)[3]從理論上研究了系數(shù)矩陣誤差對(duì)最小二乘參數(shù)估計(jì)偏差以及參數(shù)精度的影響。Schaffirn(2008)[4]、Xu(2012)[5]、Shen(2013)[6]、Fang(2013)[7]等研究了整體最小二乘估計(jì)算法，姚宜斌(2010)[8]、方興(2014)[9]等研究了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的整體最小二乘(Total Least-squares，TLS)估計(jì)算法。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的TLS估計(jì)具有漸進(jìn)無偏性，理論上要優(yōu)于LS估計(jì)。TLS估計(jì)屬于非線性估計(jì)，計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)高于LS估計(jì)，實(shí)際應(yīng)用中往往需要根據(jù)EIV模型系數(shù)矩陣誤差對(duì)LS參數(shù)解以及參數(shù)精度的影響程度確定估計(jì)算法。當(dāng)系數(shù)矩陣誤差影響小能夠滿足精度要求時(shí)，可忽略系數(shù)矩陣誤差采用LS算法求解；當(dāng)系數(shù)矩陣誤差對(duì)LS接的影響過大，則必須采用TLS估計(jì)算法求解。本文將利用EIV模型及其估計(jì)理論的最新研究成果，分析和評(píng)估了福州市平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型采用最小二乘估計(jì)(leastsquares，LS)引起的參數(shù)估計(jì)值的偏差以及對(duì)參數(shù)精度的影響；在此基礎(chǔ)上，提出了福州市實(shí)際應(yīng)用中平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型估計(jì)算法的選擇方案和建議。

2 平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的LS估計(jì)算法

平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型也稱為四參數(shù)模型，對(duì)于第i個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換點(diǎn)，模型形式如下：

(1)

若令c=mcosα，d=msinα，平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換平差模型可表示為：

l=(A-EA)β+el

(2)

相應(yīng)的隨機(jī)模型為：

(3)

(4)

式中，P表示l的權(quán)陣。

3 福州市平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型LS估計(jì)偏差分析

3.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型LS估計(jì)偏差公式

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型屬于典型的EIV模型，Markovsky(2007)[1]等證明了EIV模型的LS估計(jì)為有偏估計(jì)。測(cè)量領(lǐng)域，Xu(2013)[5]，曾文憲(2013)[3]首次研究了EIV模型的LS估計(jì)偏差理論，以下筆者利用文獻(xiàn)[3]中的理論從數(shù)值方面分析當(dāng)前福州市平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型采用LS估計(jì)引起的估計(jì)偏差的數(shù)量級(jí)大小，以及系數(shù)矩陣誤差對(duì)LS估計(jì)精度的影響。

如果忽略系數(shù)矩陣中的誤差EA，根據(jù)文獻(xiàn)[3]，式(4)的LS參數(shù)估計(jì)偏差以及參數(shù)協(xié)方差陣估計(jì)偏差分別為：

(5)

(6)

(7)

式中，W表示系數(shù)矩陣中觀測(cè)值對(duì)應(yīng)的權(quán)陣。

3.2 福州市平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型LS估計(jì)偏差分析

實(shí)際測(cè)量工作中，福州市各級(jí)控制網(wǎng)的距離從數(shù)公里至數(shù)百公里，不同距離長度的控制網(wǎng)在進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)LS估計(jì)的偏差的量級(jí)不同。為了涵括坐標(biāo)轉(zhuǎn)換各類情況，筆者設(shè)計(jì)了均勻分布的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換點(diǎn)，如圖1所示，且控制網(wǎng)點(diǎn)間距離分別為 5 km、10 km、50 km和 100 km等4類情況進(jìn)行偏差分析。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)精度涉及以下兩種情況：

①現(xiàn)代坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換(如WGS84與CGCS2000)，觀測(cè)向量l和系數(shù)矩陣精度均為厘米級(jí)，根據(jù)福州市實(shí)際情況均取 0.02 m；

②現(xiàn)代坐標(biāo)系與經(jīng)典大地坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換(如WGS84與1980西安坐標(biāo)系)，觀測(cè)向量l的精度為厘米級(jí)，取 0.02 m；系數(shù)矩陣中的坐標(biāo)值精度為分米級(jí)，取 0.2 m。自然資源部于2019年1月1日起不再提供1980西安坐標(biāo)系以及1954北京坐標(biāo)系下的測(cè)量成果，且各部門成果也要求轉(zhuǎn)換到CGCS2000坐標(biāo)系下，因此，經(jīng)典坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換很少，這里不進(jìn)行討論。

圖1 福州市域高等級(jí)控制點(diǎn)分布圖

福州市Ⅰ類平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型LS估計(jì)偏差 表1

福州市Ⅱ類平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型LS估計(jì)偏差 表2

從表1和表2的實(shí)例數(shù)據(jù)分析，可以得到如下結(jié)論：

(1)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型中，平移參數(shù)T的系數(shù)矩陣是固定陣，T的偏差和中誤差與坐標(biāo)網(wǎng)公共點(diǎn)間的距離(或系數(shù)矩陣的信噪比)無關(guān)，而旋轉(zhuǎn)參數(shù)R和尺度因子S的偏差隨公共點(diǎn)間的距離的減小約呈現(xiàn)二次方增長，中誤差隨距離的減小大致成比例減小，與前文理論分析一致。

(2)大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型中網(wǎng)距離通常在數(shù)公里以上，不論是第Ⅰ類現(xiàn)代大地坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，還是第Ⅱ類現(xiàn)代大地坐標(biāo)系和經(jīng)典大地坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，系數(shù)矩陣誤差引起的LS參數(shù)估計(jì)值的偏差完全可以忽略不計(jì)。

(3)系數(shù)矩陣誤差對(duì)參數(shù)精度的影響，要視坐標(biāo)網(wǎng)大小、網(wǎng)形結(jié)構(gòu)等而定。表中結(jié)果清楚地說明論文大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型用LS方法計(jì)算的參數(shù)中誤差遠(yuǎn)小于中誤差的實(shí)際值，即高估了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)LS解的精度。在第Ⅰ類現(xiàn)代大地坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換中，由于觀測(cè)向量中的目標(biāo)坐標(biāo)系坐標(biāo)值和系數(shù)矩陣中的源坐標(biāo)系坐標(biāo)值精度相當(dāng)，LS計(jì)算的參數(shù)中誤差約只有實(shí)際值的50%。在第Ⅱ類現(xiàn)代大地坐標(biāo)系和經(jīng)典大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換中，由于經(jīng)典坐標(biāo)值僅為現(xiàn)代坐標(biāo)系的坐標(biāo)值精度的10%，LS參數(shù)精度更是高估。

(4)大區(qū)域范圍進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的解算時(shí)，若選擇的坐標(biāo)點(diǎn)分布均勻，當(dāng)坐標(biāo)網(wǎng)較大時(shí)(實(shí)例中坐標(biāo)網(wǎng)的距離大于 100 km)，LS估計(jì)能夠滿足精度估計(jì)要求。

4 福州市平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型估計(jì)算法選擇建議

平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型屬于系數(shù)矩陣含隨機(jī)誤差的EIV模型，最小二乘估計(jì)有偏。根據(jù)本文的理論和實(shí)證分析，對(duì)實(shí)踐中福州市各類平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型參數(shù)估計(jì)算法提出如下建議：

(1)福州市平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型估計(jì)能否采用最小二乘算法，取決于式(6)計(jì)算的LS參數(shù)的方差或者中誤差的大小，如果中誤差在精度要求范圍之內(nèi)，則采用LS求解，但參數(shù)的中誤差須按式(6)計(jì)算，經(jīng)典的LS參數(shù)中誤差公式由于沒有考慮系數(shù)矩陣誤差，不能反映其精度。如果參數(shù)的LS估計(jì)精度不能滿足要求，則必須采用整體最小二乘估計(jì)算法求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)。

(2)從本文3.2對(duì)福州市各類坐標(biāo)轉(zhuǎn)換估計(jì)算法的實(shí)驗(yàn)分析來看，對(duì)于福州市現(xiàn)代大地坐標(biāo)系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)換(第Ⅰ類)，當(dāng)公共點(diǎn)網(wǎng)距離在 50 km以上的較大區(qū)域計(jì)算平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)，可忽略系數(shù)矩陣誤差，采用最小二乘估計(jì)求解，完全可以滿足當(dāng)前高精度定位中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)精度的要求。當(dāng)公共網(wǎng)點(diǎn)距離 10 km以上時(shí)，如果公共點(diǎn)數(shù)量較多、網(wǎng)形合理以及分布均勻時(shí)，采用LS估計(jì)求解轉(zhuǎn)換參數(shù)能夠達(dá)到厘米級(jí)的定位精度要求。當(dāng)公共網(wǎng)點(diǎn)距離在 10 km以下時(shí)，應(yīng)視具體項(xiàng)目坐標(biāo)點(diǎn)位精度要求、坐標(biāo)網(wǎng)點(diǎn)距離、網(wǎng)形結(jié)構(gòu)等確定LS估計(jì)能否滿足精度要求。

(3)對(duì)于福州市現(xiàn)代大地坐標(biāo)系與經(jīng)典大地坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換(第Ⅱ類)，由于系數(shù)矩陣的精度約為分米級(jí)，因此，忽略系數(shù)矩陣誤差得到的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度比第Ⅰ類數(shù)據(jù)約降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)，表2反映了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的LS解的中誤差主要來源于系數(shù)矩陣坐標(biāo)值的誤差。如果采用LS估計(jì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，能滿足分米級(jí)的坐標(biāo)計(jì)算要求，同樣，參數(shù)中誤差應(yīng)采用式(6)計(jì)算。若采用TLS估計(jì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，則可較大程度提高參數(shù)估計(jì)的精度。