圖的原子鍵連通性指數的下界

周后卿

(邵陽學院 理學院，湖南 邵陽 422000)

設G= （V,E）是一個具有n個頂點，m條邊的簡單連通圖，頂點集合記為V= ｛1 ,2, … ,n｝，頂點i的度記為di，設圖G度序列為｛d1,d2, … ,dn｝.基于圖的分子結構描述符(通常稱拓撲指數)是刻畫分子物理和化學性質、設計藥理活性化合物和識別環(huán)境有害物質等方面的有用工具[1].因此，研究人員提出了許多這樣的圖不變量，然而只有少數被證明適用于實際用途，其中之一便是原子鍵連通性指數(以下簡稱ABC指數)[2-4]，1998 年分子圖的ABC指數被Estrada 等人介紹過.

文獻[5]定義了分子圖的ABC指數為

本文只討論簡單連通圖和單圈圖的ABC指數的下界.

1 幾個已知結論及引理

首先簡單回顧單圈圖的定義.單圈圖是只含一個圈的簡單連通圖，它的頂點數與邊數相等.

對于分子圖的ABC指數，引進幾個已知結論.

在文獻[2]中，K C Das 證明了下列結論：

定理A若G是一個具有n個頂點，m條邊，最大頂點度為Δ 的簡單連通圖，則

在文獻[4]中，B Furtula 等人給出了樹的界，得到下列定理：

定理B設T是一個頂點為n的化學樹，則

陳錦松等人(見文獻[7])證明了：若G是具有n個頂點的單圈圖，則

不難看出，文獻[7]的這個結論是在文獻[4]的基礎上做了改良.

現(xiàn)在證明簡單連通圖的ABC的指數的下界.為了證明定理，需要下述引理.

引理[8]設 0＜a＜a i＜A（i= 1,2, … ,n），則

2 主要結論

現(xiàn)在，證明本文的第1 個結論.

證明不妨設圖的頂點度d i,dj≤Δ，則

從而有

圖1 具有5 個頂點的單圈圖

于是有

從而推出

仍以上述單圈圖為例，并利用定理2 計算，可得

顯然，ABC(U5) = 3.85 ＞ 2.449，這說明定理2 成立.

對于單圈圖，利用定理A，可推出下列定理.

定理3若Un是具有n個頂點、最大頂點度為Δ 的單圈圖，是修正的第2 類Zagreb 指數.則

其證明從略.

顯然，3.85 3.817＞ ，定理3 成立.