李 綱，盧 峰，朱 斌，吳玉遲，谷渝秋

(中國(guó)工程物理研究院 激光聚變研究中心 國(guó)防科技等離子體物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，綿陽(yáng) 621900)

引 言

近年來(lái)，超短超強(qiáng)飛秒激光技術(shù)得到飛速發(fā)展，峰值功率由太瓦(TW，1012W)提高到幾拍瓦(PW，1015W)甚至是數(shù)十拍瓦量級(jí)[1-2]。與此相應(yīng)，激光脈沖的聚焦峰值功率密度也得到迅速提高，可達(dá)1020W·cm-2以上，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于相對(duì)論激光強(qiáng)度[3]。由于超強(qiáng)飛秒激光脈沖極高的峰值功率密度、電場(chǎng)強(qiáng)度、以及磁場(chǎng)強(qiáng)度等，它與物質(zhì)相互作用時(shí)能夠提供極端高溫、高壓等物理?xiàng)l件，使得超強(qiáng)飛秒激光脈沖在強(qiáng)場(chǎng)物理研究領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用，甚至可以模擬天體物理中一些重要的過程。利用超短超強(qiáng)飛秒激光與固體靶或者氣體靶相互作用，可以獲得高品質(zhì)的電子束、質(zhì)子束、中子束等[4]，可以研究極端高溫、高壓等物理?xiàng)l件下的材料特性。

在上面提到的超強(qiáng)飛秒激光脈沖與物質(zhì)相互作用過程中，激光脈沖的聚焦特性對(duì)物理作用過程和作用結(jié)果起著非常重要甚至是決定性的影響，比如在激光尾波場(chǎng)電子加速中，聚焦光斑會(huì)影響電子束的穩(wěn)定性、單能性、以及產(chǎn)額等[5-6]。因此在進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)之前，必須對(duì)超強(qiáng)激光的聚焦特性進(jìn)行精確測(cè)量，并給出相應(yīng)的分析和評(píng)估[7-8]。原則上，在很多飛秒激光與物質(zhì)相互作用的實(shí)驗(yàn)以及飛秒激光精密加工中，研究人員期望獲得近衍射極限大小、高能量集中度的聚焦光斑，從而提高飛秒脈沖的聚焦峰值功率密度[9-11]。然而由于光學(xué)系統(tǒng)失調(diào)、光學(xué)鏡片面形誤差、以及鍍膜缺陷等因素的影響，會(huì)給飛秒脈沖引入不利的相位畸變或者波前像差，如球差、慧差等，進(jìn)而嚴(yán)重影響飛秒脈沖的聚焦特性。2011年，GONZLEZ-GALICIA等人基于賽德爾(Seidel)像差理論對(duì)超短飛秒激光脈沖通過消色差雙透鏡的聚焦特性進(jìn)行了詳細(xì)研究[12-13]。2015年，LI等人對(duì)高數(shù)值孔徑下初級(jí)像差對(duì)高斯光束的聚焦特性進(jìn)行了初步研究[14]；同年，SUN等人對(duì)徑向偏振飛秒脈沖的緊聚焦特性進(jìn)行了數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究[15-16]。然而這些研究均沒有系統(tǒng)地給出不同波前像差情況下,飛秒脈沖在聚焦焦平面處直觀的2維強(qiáng)度場(chǎng)分布，以及光強(qiáng)分布隨光束傳輸軸如何演化的過程。事實(shí)上，通過飛秒脈沖在焦平面處直觀的2維強(qiáng)度場(chǎng)分布以及強(qiáng)度傳輸演化過程，一方面可以初步判斷是否存在波前像差，另一面也能夠?yàn)椴ㄇ跋癫畹难a(bǔ)償提供直接參考[17]。

本文中將基于瑞利-索末菲標(biāo)量衍射理論，對(duì)比研究在各類波前像差下，包括場(chǎng)曲、像散、慧差、三葉形像差以及球差等，對(duì)具有均勻強(qiáng)度分布和高斯強(qiáng)度分布的超短飛秒激光脈沖聚焦特性的影響。該研究結(jié)果對(duì)超短飛秒激光束的光束質(zhì)量評(píng)估及聚焦特性分析具有實(shí)際的指導(dǎo)意義。

1 Zernike波前像差

Zernike多項(xiàng)式是定義在單位圓域上的正交多項(xiàng)式，因?yàn)樗着cSeidel像差建立聯(lián)系的特點(diǎn)，常被用作基底函數(shù)系對(duì)光束的波前像差進(jìn)行擬合[18]。比如在激光系統(tǒng)中，利用Zernike多項(xiàng)式可以描述因腔鏡失調(diào)、面形誤差以及激光窗口熱透鏡效應(yīng)等導(dǎo)致的波前畸變。Zernike多項(xiàng)式表示為[19]：

(1)

式中，Z代表Zernike多項(xiàng)式，k為多項(xiàng)式階數(shù)，下標(biāo)ke代表k為偶數(shù)，下標(biāo)ko代表k為奇數(shù)；n為徑向自由度；m為角向頻率，變化范圍為-n,-n+2,…，n-2，n；ρ為單位圓上的半徑，取值范圍為[0，1]；極角θ的取值范圍為[0，2π]。徑向多項(xiàng)式Rn,m定義為：

Rn,m(ρ)=

(2)

基于Zernike多項(xiàng)式，則飛秒脈沖的波前像差φ(ω,r,θ)可以表示為[20]：

(3)

式中，ω為激光角頻率，r為徑向坐標(biāo)，ck為模式系數(shù)，R為激光光斑半徑。由于飛秒脈沖的寬光譜特性，每個(gè)光譜元對(duì)應(yīng)的模式系數(shù)可以表示為[20]：

(4)

式中，ω0代表激光的中心頻率。各階Zernike多項(xiàng)式及對(duì)應(yīng)的波前像差如表1所示[19]。

Table 1 Zernike polynomial and the corresponding primary aberration

2 飛秒脈沖聚焦模型

由于飛秒脈沖具有極高的峰值功率，因此對(duì)飛秒脈沖聚焦通常采用反射式的離軸拋物面鏡進(jìn)行。離軸拋物面鏡無(wú)色散、色差，同時(shí)消除了光學(xué)非線性效應(yīng)對(duì)超短脈沖激光的影響；而當(dāng)入射光與光軸嚴(yán)格平行時(shí)，反射光可無(wú)球差的聚焦于焦點(diǎn)。離軸拋物面鏡的面形誤差以及調(diào)節(jié)精度對(duì)飛秒脈沖的聚焦特性具有重要影響[21]，在本文中將離軸拋物面鏡等效于理想的消色差透鏡，從而可以利用瑞利-索末菲標(biāo)量衍射理論重點(diǎn)討論不同像差對(duì)飛秒脈沖聚焦特性的影響。

考慮兩種情況：(1)入射飛秒脈沖具有均勻的強(qiáng)度分布；(2)入射脈沖具有高斯強(qiáng)度分布。這兩種情況下的入射脈沖電場(chǎng)頻域復(fù)振幅E可以分別表示為[21]：

u(x,y)exp[iφ(ω,x,y,z=0)]

(5)

E(ω,x,y,z=0)=

exp[iφ(ω,x,y,z=0)]

(6)

其中,

(7)

式中,E0為常數(shù)，x,y,z為空間坐標(biāo)，τ為脈沖持續(xù)時(shí)間(1/e2半寬)，ω0為中心頻率，R為光斑半徑(高斯強(qiáng)度分布下為1/e2半徑)，φ為波前像差。對(duì)(5)式和(6)式進(jìn)行傅里葉逆變換，可得入射脈沖的時(shí)域形狀。模擬表明，波前像差φ(ω,x,y,z=0)項(xiàng)對(duì)飛秒脈沖時(shí)域分布的影響幾乎可以忽略，故聚焦前脈沖的持續(xù)時(shí)間可直接對(duì)(5)式和(6)式中的exp[-τ2(ω-ω0)2/4]項(xiàng)進(jìn)行傅里葉逆變換求解，其傅里葉逆變換為exp[-t2/τ2]，式中t為時(shí)間，因此時(shí)域強(qiáng)度分布為exp[-2t2/τ2]，可見τ即為脈沖持續(xù)時(shí)間(1/e2半寬)。根據(jù)瑞利-索末菲標(biāo)量衍射理論，聚焦后飛秒脈沖場(chǎng)演化可以表示為[20]：

(8)

式中，(x′,y′)為傳輸距離z處的空間坐標(biāo)，f為拋物面鏡焦距，λ為激光波長(zhǎng)，k為激光波數(shù)(2π/λ)，rd為衍射距離，θd為衍射角，它們分別表示為：

(9)

cosθd=z/rd

(10)

對(duì)(8)式進(jìn)行數(shù)值求解，可求得衍射距離z處的頻域復(fù)振幅分布E(ω,x′,y′,z)，再對(duì)其進(jìn)行傅里葉逆變換，可得時(shí)域電場(chǎng)：

E(t,x′,y′,z)=

(11)

因此,衍射距離z處在一個(gè)光周期T的平均強(qiáng)度分布為：

(12)

而I(x′,y′,z)正是所關(guān)心的聚焦強(qiáng)度分布。特別的，當(dāng)z=f時(shí)，即為焦平面處的強(qiáng)度分布。

3 像差對(duì)聚焦光斑的影響

數(shù)值模擬中假定入射脈沖E0=1，脈沖持續(xù)時(shí)間τ=30fs，中心波長(zhǎng)λ0=800nm(對(duì)應(yīng)中心頻率ω0=2.36rad·fs-1)，光斑半徑R=5mm，透鏡焦距f=200mm，模式系數(shù)ck(ω0)=1，并且只考慮單個(gè)波前像差對(duì)聚焦光斑的影響。圖1中計(jì)算了均勻強(qiáng)度分布的飛秒脈沖在不同波前像差下焦平面處的光強(qiáng)分布。由圖1可見，在無(wú)像差的情況下，可獲得半徑約10μm的近衍射極限光斑。注意到圖1中即使在無(wú)像差情況下，聚焦光斑的外圍也存在較弱的對(duì)稱背景噪聲，這是因?yàn)樵跀?shù)值模擬中，假定了入射脈沖的光強(qiáng)度均勻分布在直徑10mm的范圍內(nèi)，因此入射光斑在透鏡邊緣存在較強(qiáng)的邊緣衍射效應(yīng)。可以預(yù)見，當(dāng)入射脈沖具有高斯強(qiáng)度分布時(shí)，由于電場(chǎng)振幅1/e的衰減特性，當(dāng)聚焦透鏡尺寸足夠大時(shí)，其邊緣衍射效應(yīng)幾乎可以忽略，從而減小聚焦光斑外圍由于衍射效應(yīng)帶來(lái)的強(qiáng)度噪聲。從圖1可知，各類像差對(duì)均勻強(qiáng)度飛秒脈沖的聚焦光斑具有非常明顯的不利影響，聚焦光斑的扭曲變形會(huì)導(dǎo)致聚焦峰值功率密度的降低。另外，注意到不同波前像差對(duì)應(yīng)不同的聚焦光斑形態(tài)，比如k為7和8時(shí)的慧差與k為9和10時(shí)的三葉形像差，這也為聚焦光場(chǎng)是否存在像差或者何種像差占主導(dǎo)地位提供初步參考。

Fig.1 Intensity distribution at focal plane (f=200mm，z=f) of femtosecond pulse with homogenous intensity distribution under different kinds of aberration

圖2中計(jì)算了具有高斯強(qiáng)度分布的飛秒脈沖在不同波前像差下焦平面處的光強(qiáng)分布。與圖1相比，除了k=11的球差外，其它各類像差對(duì)焦平面處的光強(qiáng)分布影響很小。從圖2可知，當(dāng)入射飛秒脈沖具有高斯強(qiáng)度分布時(shí)，即使存在一定量的波前像差，在焦平面處仍然有可能獲得較好的聚焦光斑(當(dāng)然這與波前像差的絕對(duì)量大小有關(guān)，即與模式系數(shù)ck(ω)的大小有關(guān))。在k=11的球差情況下，焦平面處的聚焦光斑尺寸遠(yuǎn)大于其它像差情況下的光斑尺寸。后面的計(jì)算表明，在k=11的球差情況下，最小聚焦光斑并非位于焦平面，而在焦平面前約1mm的距離。

Fig.2 Intensity distribution at focal plane (f=200mm，z=f) of femtosecond pulse with Gaussian intensity distribution under different kinds of aberration

盡管相對(duì)于均勻強(qiáng)度分布的飛秒脈沖，波前像差對(duì)具有高斯強(qiáng)度分布的飛秒脈沖在焦平面處的光強(qiáng)分布形態(tài)影響要小，但計(jì)算表明，在不同的波前像差下，高斯強(qiáng)度飛秒脈沖的聚焦光斑光強(qiáng)分布形態(tài)在焦平面之前和焦平面之后還是具有比較明顯的區(qū)別。圖3和圖4中分別計(jì)算了當(dāng)聚焦焦距f=200mm時(shí)，聚焦光斑在焦平面前1mm和焦平面后1mm處的光強(qiáng)分布情況。為了與圖1和圖2進(jìn)行對(duì)比，圖3和圖4的水平和豎直長(zhǎng)度均與圖1、圖2一樣，仍為60μm，這樣可以對(duì)光斑的相對(duì)大小進(jìn)行直接對(duì)比。從圖3和圖4可以明顯地看出不同波前像差對(duì)光斑形態(tài)的影響。特別是在k為5和6的像散情況下，焦平面前的光斑形態(tài)與焦平面后對(duì)稱位置處的光斑形態(tài)呈90°夾角，比如k=6時(shí)，焦平面前1mm處為水平橢圓光斑，而焦平面后1mm處變?yōu)樨Q直橢圓光斑，這也為聚焦時(shí)存在像散的情況提供了直接判斷(對(duì)于大口徑離軸拋物面鏡聚焦飛秒脈沖時(shí)通常會(huì)存在像散)。

Fig.3 Intensity distribution before focal plane of 1mm (f=200mm，z=199mm) for femtosecond pulse with Gaussian intensity distribution under different kinds of aberration

Fig.4 Intensity distribution after focal plane of 1mm (f=200mm，z=201mm) for femtosecond pulse with Gaussian intensity distribution under different kinds of aberration

Fig.5 Pulse shape in time domain at the central position of focal plane (f=200mm) for femtosecond pulse with homogenous intensity distribution under different kinds of aberration

4 結(jié) 論

研究了在不同波前像差下具有均勻強(qiáng)度分布和高斯強(qiáng)度分布的飛秒脈沖的聚焦特性。對(duì)比焦平面處的光強(qiáng)分布，波前像差對(duì)均勻強(qiáng)度分布飛秒脈沖聚焦特性的影響比高斯強(qiáng)度分布的飛秒脈沖要明顯。對(duì)于高斯強(qiáng)度分布的飛秒脈沖，計(jì)算表明，各類波前像差對(duì)焦平面前和焦平面后的光強(qiáng)分布具有較為明顯的影響，使光強(qiáng)分布形態(tài)變差。因此對(duì)于高斯強(qiáng)度分布的飛秒脈沖，即使在焦平面處有可能獲得較好的聚焦光斑，波前像差的存在也不利于在焦點(diǎn)處獲得穩(wěn)定的、較長(zhǎng)的光束傳播距離。盡管在實(shí)際的聚焦光學(xué)系統(tǒng)中，可能會(huì)同時(shí)存在多種波前像差，使飛秒光束的聚焦特性變得更為復(fù)雜，但是本文中的研究仍然對(duì)超短飛秒激光束的光束質(zhì)量評(píng)估及聚焦特性分析具有實(shí)際的參考和指導(dǎo)意義。