楊正理，史 文，陳海霞

(三江學院 機械與電氣工程學院，南京 210012)

引 言

分布式光纖周界報警系統(tǒng)以其檢測靈敏性高、不受電磁干擾等優(yōu)點被廣泛地應用于一些重要領域，通過對光纖振動信號進行分析與辨識來判斷是否存在蓄意入侵[1]。然而，光纖振動信號是一種復雜的非平穩(wěn)信號，頻率高，當采用傳統(tǒng)的奈奎斯特全采樣方法進行信號傳輸與處理時，必然存在網絡寬帶、存儲容量、計算速率等一系列限制問題。

信號的壓縮感知(compressed sensing，CS)方法[2-3]為解決這一問題提供了良好方案。近年來，諸多學者在采用壓縮感知方法處理圖像和各類復雜信號方面進行了廣泛研究，并取得了較大成果。參考文獻[4]中提出了一種基于小波理論和壓縮感知算法建立多字典的遙感圖像超分辨算法，采用K奇異值分解方法構建反映圖像特征的過完備字典對圖像進行稀疏表示，提高了圖像的主觀視覺效果，并從客觀上提高了圖像的峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio，PSNR)及重構速度。參考文獻[5]中提出了一種自適應機械振動信號分塊壓縮感知算法，通過構造與信號矩陣相適應的冗余字典，并按照不同機械信號塊在冗余字典下的匹配追蹤系數的衰減速度定義出不同的復雜度權值，構造出信號壓縮感知的自適應采樣策略，使信號重構的精度得到提高。參考文獻[6] 中提出了一種利用貝葉斯算法對復合材料的沖擊載荷歷程進行壓縮感知，將沖擊響應的動力學表示為單位脈沖響應函數和沖擊載荷的卷積，從而獲得基函數的最優(yōu)稀疏系數，并用實驗驗證了所提出方法的有效性和可行性。參考文獻[7]中利用多通道腦電信號的時空特征構建出非正交的過完備學習字典，對信號進行稀疏表示，提高了信號的重構性能和算法的計算速度。參考文獻[8] 中采用小波變換對語音信號進行級數分解，并對小波系數進行自適應稀疏變換，提高了信號在頻域的稀疏度，與直接采用壓縮感知的方法相比，該方法使語音信號的壓縮率提高了一倍。參考文獻[9]中采用離散余弦變換對電能質量擾動信號進行稀疏變換，提出一種避免頻譜泄露的改進重構算法，并在此基礎上提出頻譜能量差的概念，有效地避免了過度估計信號稀疏度，提高了算法的運算速度。

然而，目前針對光纖振動信號壓縮感知的研究還很少，且壓縮感知算法在圖像、語音及其它復雜信號中的應用也存在著一些不足：(1)傳統(tǒng)的稀疏變換方法，例如離散余弦變換、離散小波變換等對信號的變換不夠徹底，由此使信號在其稀疏域的稀疏度不高，還可能丟失一些有用的信號特征信息；(2)利用小波變換對信號進行稀疏分解的過程中，當采用固定閾值處理小波系數時，要么會使信號稀疏度過低、壓縮率不足；要么會使信號稀疏過度、丟失有用信息，信號的重構精度降低；(3)傳統(tǒng)的壓縮感知方法得到的觀測數據較多，需要較高的網絡傳輸帶寬。

針對上述不足，本文中提出了一種基于小波包變換的光纖振動信號自適應壓縮感知方法。首先，采用小波包變換對光纖振動信號進行多尺度分解，對仍含有豐富信息的高頻部分也進行分解，進一步提高了信號在頻域的稀疏度，并最大限度地保留了信號的特征信息；然后，計算各尺度小波包系數高頻部分的數學期望，作為各尺度閾值對本尺度下的小波包系數進行置零處理，自適應地選擇最優(yōu)分解尺度，以獲得較高的頻域稀疏度；最后，通過自適應級小波包系數塊的數學期望和信息熵對系數塊進行分類，并對不同類型的系數塊采用不同的信息處理方法，減少了觀測數據量，降低了信號的傳輸帶寬。

1 基于小波包變換的信號稀疏表示

1.1 小波包變換

與小波變換相比，小波包變換為信號提供了更精細的分析方法。對仍含有豐富信息特征的高頻信號也進行分解，并能根據信號的具體特征自適應地選擇頻帶來提高高頻信號的分辨率。以信號的3層小波包分解為例來分析其分解過程，如圖1所示。

Fig.1 Tree of three-layer wavelet packet decomposition

圖1中，用L和H分別表示小波分解后的低頻和高頻部分，則原始信號S0經第1層小波包分解后得到低頻信號S1,L和高頻信號S1,H；對S1,L再進行一層小波包分解后得到下一尺度的低頻信號S2,LL和高頻信號S2,HL，對S1,H進行一層小波包分解后得到下一尺度的低頻信號S2,LH和高頻信號S2,HH；對低頻部分S2,LL進行第3層分解后的低頻S3,LL和高頻S3,HLL部分……。依次類推，可以得到N層小波包分解的低頻信號和高頻信號。假設正交尺度函數、正交小波函數分別為φ(t),φ(t)，則小波包變換的雙尺度方程[10]可表示為：

(1)

式中，t為時間參量；k為平移參量；h(k),g(k)分別為多尺度分析中低、高通濾波器系數，且g(k)=(-1)k×h(1-k)，即兩系數具有正交性。

為進一步推廣，由(1)式得到下列遞推關系：

(2)

式中，當n=0時，遞歸函數ω0(t)退化為尺度函數φ(t)，ω1(t)退化為小波函數φ(t)，即ω0(t)=φ(t)，ω1(t)=φ(t)。所以，(2)式所表示的函數集合{ωn(t)}(n=0,1,…,n)可以看成是基于ω0(t)=φ(t)所確定的小波包。或者說，小波包就是一個包括φ(t),φ(t)在內的，滿足雙尺度遞推關系的函數集合。其中，小波包系數的遞推關系為：

(3)

式中，dj,n(k)為小波包經分解后第(j,n)節(jié)點所對應的第k個系數，節(jié)點(j,n)表示第j層分解的第n個頻帶。

由上述分析可知，小波包分解過程中對低頻部分和高頻部分進行了同步分解，對高頻部分的分解提供了更為精細的信號分析方法[11]。

1.2 小波基選擇

對同一信號來說，其小波包變換后在頻域的稀疏度越高，其壓縮率越高，且重構精度越高。而頻域的稀疏度與小波包變換過程中所選取的小波基類型關系密切。目前，選擇什么樣的小波基能使信號在頻域具有較高的稀疏度的方法研究還很少，還沒有統(tǒng)一的選取標準。本文中采用實驗的方法來選擇適合對光纖振動信號進行稀疏分解的小波基。首先，從一套光纖周界報警系統(tǒng)中采樣(采樣頻率20kHz)得到包括4種常見擾動(分別為正常信號、小擾動信號、大擾動信號、蓄意入侵信號，數據長度為2018×256個采樣點)類型的光纖擾動信號作為測試樣本。從測試樣本中任意截取一段長度為256個采樣點的振動信號，分別采用幾種常用的小波基進行4尺度小波包分解，分別計算4尺度下的數學期望Ep(p=1,2,3,4)作為閾值Tp對小波包系數進行置零處理，并分別計算其稀疏度kp(即系數中為零系數占所有系數的百分比)，實驗結果如表1所示。比較表1中數據，本文中選擇sym7小波基對光纖振動信號進行小波包變換。

Table 1 Sparse degree of different wavelets

1.3 小波包分解層數選擇

利用小波包對信號進行分解的層數與小波包系數的稀疏度密切相關。在實際應用中，應根據信號的特征選擇合適的分解層數，以便獲得最大信號稀疏度。本文中用實驗的方法來分析小波包的分解層數與小波包系數稀疏度之間的關系。在第1.2節(jié)中的測試樣本任意截取50段長度為256個采樣點的光纖振動信號，分別采用sym7小波基對其進行2～6層小波包分解，分別計算各尺度下高頻系數的數據期望作為閾值，對該尺度下的小波包系數進行置零處理，然后計算各尺度下小波包系數的平均稀疏度,如表2所示。

Table 2 Sparse degree of different decomposition layers/%

由表2中數據可以看出，隨著分解層數的增加，小波包系數的稀疏度也增加；但到達一定層數時，稀疏度開始下降。所以，在實際應用中，必須對小波包變換的分解層數進行合理的選擇，才能使信號在頻域的稀疏度達到最大。

2 光纖振動信號自適應壓縮感知

2.1 壓縮感知原理

(4)

式中，s=〈x,ψi〉=ψiTx是該信號在ψ域的稀疏系數，T表示向量的轉置，包含有k個非零項，且k?N；x為在正交基矩陣ψ上的k稀疏表示。

構建一個和正交基矩陣ψ不相關的觀測矩陣ΦM×N={φ1T,φ1T,…,φMT}，M為ΦM×N矩陣的行向量數，且M?N，將信號x由高維空間投射到低維空間[12]：

y=Φx=ΦΨs

(5)

式中，y∈RM×1稱為觀測向量；ΦΨ稱為傳感矩陣，s的含義同(4)式。

根據壓縮感知理論，信號的重構是一個欠采樣條件下病態(tài)的求逆問題，即信號x是下式l0最小化問題的解，即：

(6)

為了更容易求解，將 (6) 式的NP-hard問題轉化為求解最小化l1的問題[13-14]。目前常用的方法有正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，OMP)算法[15]、基追蹤(basis pursuit，BP)算法[16]等。

2.2 基于數學期望的閾值選取

為了充分體現小波包系數中大系數的分布情況，需重新定義數學期望的計算公式[17]。設數據序列x={xi}(i=1,2,…,n)，定義其數學期望為:

(7)

對光纖振動信號進行多尺度小波包分解后，利用 (7) 式計算小波包系數高頻部分的數學期望作為閾值，對小波包系數進行置零處理。例如，任意截取第1.2節(jié)中所述測試樣本中的一段長度為256個采樣點的光纖振動信號進行2尺度小波包分解，2尺度下小波包系數各系數塊的數學期望值為{613.54,19.44,3.72,4.36}，其中613.54為低頻部分的數學期望值，高頻各部分的數學期望中最大值為19.44，取該值作為2尺度下小波包系數的閾值T，對該尺度下的小波包系數進行置零處理，即：

(8)

關于閾值選取對信號重構精度及壓縮率的影響，在后面的實驗分析中還將進一步討論。

2.3 自適應小波包變換

光纖振動信號經小波包分解后，小波包系數的稀疏度可用數學期望表示，當小波包系數的數學期望越大時，說明大系數越多，其稀疏度越低[10,18]。根據第1.3節(jié)中的分析，采用小波包對光纖振動信號進行多層分解后，各尺度下的小波包系數的稀疏度是不同的，為了使信號在頻域具有較高的稀疏度，采用相同的分解層數顯然是不合理的。因此，本文中基于小波包系數的數學期望提出自適應小波包變換。方法如下:首先對光纖振動信號進行3層～5層小波包分解，然后計算各尺度下小波包系數高頻部分的數學期望值，按照(5)式對各尺度下的小波包系數進行閾值處理。比較各尺度下的稀疏度，選擇稀疏度最大的尺度作為信號的最終分解層數，從而完成自適應小波變換。

2.4 基于信息熵的信號分類

為了進一步提高信號的壓縮率和重構精度，在對小波包系數進行閾值處理后，重新計算該尺度下各小波包系數塊高頻部分的數學期望E和信息熵H[19]，并根據E和H對小波包系數塊進行分類。

(1)低頻系數塊。是指小波包系數塊中的低頻部分，包含著信號的最主要信息，包含了大量的大系數，屬于不稀疏信號，如果仍采用壓縮感知方法進行處理，不但會增加較大的計算量，也會造成信號重構精度的降低。所以這部分系數塊采用線性直接傳輸方式，一方面保證了信號的重構精度，另一方面也降低了算法的運算時間。

(2)無價值系數塊。當系數塊的數學期望E=0時，說明該系數塊全為0，這類系數塊在信號的數據壓縮、傳輸和重構過程中都沒有利用價值，所以沒有考慮的必要，稱為無價值系數塊，這類系數塊不參與數據的傳輸與存儲。

(3)特殊系數塊。如果系數塊的信息熵為零或數學期望小于某一特定值C時，歸類為特殊系數塊。

根據信息熵的定義，當系數塊的信息熵為零時，說明該系數塊要么全為0，要么只有一個不為零的大系數；又因為其數學期望不為0，則易知該系數塊中只有一個不為零的大系數。

當系數塊的數學期望小于某一特定值C時，C值大小應根據實際需要進行確定。對有N個系數的系數塊，設閾值為T，其中包含有k個大系數；為了確定C值，假定該系數塊中的k個大系數均為閾值T，此時該系數塊的數學期望為kT/N，那么該系數塊的C=kT/N；顯然，當某系數塊的數學期望小于C值時，則其大系數的個數必然小于k。

由以上分析可知，特殊系數塊就是指只包含有少數幾個大系數的小波包系數塊。在傳輸時，特殊系數塊只需要傳輸大系數值及其相應的位置，即采用編碼方式進行網絡傳輸。

(4)壓縮感知系數塊。除無價值系數塊和特殊系數塊外的其系數塊都歸類為壓縮感知系數塊。這類系數塊的數學期望和信息熵均不為零，說明其中包含的大系數較多，采用壓縮感知方法進行處理比較合適。

2.5 信號重構

信號的重構工作包括小波包系數重構和小波包重構。小波包系數重構根據系數塊的類型選擇相應的重構方法：(1)低頻系數塊直接恢復，并擺放在小波包系數的低頻部分；(2)特殊系數塊按系數值及位置編碼恢復小波包系數及其所在位置，其余位置用0填充；(3)壓縮感知系數塊采用壓縮感知重構方法(例如OMP)恢復數據，并擺放在小波包系數塊的對應位置；(4)小波包系數塊的剩余位置用0填充。

完成小波包系數恢復(重構)后，再對小波包系數進行小波包逆變換，完成信號重構。

根據上述分析，得到基于小波包實現周界報警信號的自適應壓縮感知與信號重構[14,20]的基本流程如圖2所示。

3 實驗與分析

3.1 信號壓縮感知與重構評價指標

為了比較光纖振動信號的壓縮感知和重構性能，引入信號壓縮比(compression ratio，CR)RCR評價信號的壓縮效果：

Fig.2 Flow chart of adaptive compresssion sensing and signal reconstruction

(9)

式中，n1,n2分別為信號壓縮前、后的數據量。引入PSNR(RPSNR)作為信號重構精度的評價指標：

(10)

通過實驗得到，對周界報警信號來說，采用PSNR作為信號重構評價指標時，當重構后信號的RPSNR>40dB時，信號的特征信息能夠得到完整的保留。

3.2 基于數學期望為小波包閾值的合理性驗證

從第1.2節(jié)中所述的測試樣本中任意截取5段長度為256個采樣點的光纖振動信號，分別對其進行4層小波分解，計算4尺度下小波系數高頻部分的數學期望E，分別選用1.2E，E，0.8E作為閾值T，對小波包系數高頻部分進行置零處理。然后采用本文中的小波系數分類和信號重構方法得到重構后的光纖振動信號。分別計算3種閾值T下的信號壓縮率/重構精度,結果如表3所示。

由表3中數據可以看出，閾值較小時，小波包系數稀疏度較低，壓縮率也低；閾值較大時，小波包系數稀疏度提高，壓縮率提高。特別是，當閾值為1.2E時，信號的重構精度較其它兩種方法低，這是因為閾值過大，基于該閾值處理小波包系數會使稀疏過度，丟失原始信號中一些有用的特征信息，造成信號重構精度下降；而當閾值為0.8E時，信號重構精度較閾值為E時稍低，這是因為前者雖然保留了更多信號的特征信息，但由于稀疏度下降，所以重構精度也有所下降。綜上所述，選擇小波包系數的數學期望E為閾值時，其壓縮率和精度都比較高，所以該閾值大小選取最為合理。

Table 3 Effect of threshold size on signal compression/reconstruction accuracy

different signalsegmentthe zero threshold of wavelet packet coefficient1.2EE0.8Esignal segment 1/(%/dB)73.8/40.468.5/44.765.2/44.6signal segment 2/(%/dB)73.4/41.270.1/43.966.1/43.7signal segment 3/(%/dB)67.5/42.763.8/45.259.9/44.3signal segment 4/(%/dB)72.2/40.569.2/42.063.6/42.2signal segment 5/(%/dB)71.6/39.267.3/43.362.4/41.9

3.3 本文中算法的合理性驗證

仍采用第1.2節(jié)中的測試樣本信號，任意截取256個采樣點，分別采用小波變換和小波包變換進行固定4尺度分解，并分別選取4尺度下小波系數、小波包系數據的數學期望作為閾值對小波系數、小波包系數進行置零處理。再將該段信號采用本文中所述算法進行處理。在保證3種算法具有相同壓縮率的前提下，對信號進行重構的結果如圖3所示。

Fig.3 Signal reconstruction effect of different algorithms

a—original signal b—the algorithm in this paper c—wavelet transform d—wavelet packet transform

從圖3可以看出，3種算法在相同壓縮率前提下，小波變換方法的信號重構效果最差；而小波包算法和本文算法的重構效果相差不大，但將波形放大后進行比較，還是可以看出本文中所述算法的重構效果優(yōu)于小波包算法。

3.4 自適應壓縮感知算法的壓縮率驗證

從第1.2節(jié)中的測試樣本中分別截取光纖傳感器常見的4種輸出信號類型：正常信號、小擾動信號、大擾動信號和入侵信號各50段，每段信號長度均為256個采樣點。分別采用本文中算法對信號處理，并計算4種信號的平均壓縮率,如表4所示。

Table 4 Compressibility of fiber vibration signal

從表4中的數據可以看出，4種光纖振動信號的壓縮率基本一致，可見本文中算法是適合對光纖周界報警系統(tǒng)的各種輸出信號進行處理的。

3.5 各種算法綜合性能比較

從第1.2節(jié)中的測試樣本中任意截取1500段長度為256個采樣點的光纖振動信號，首先采用sym7小波基分別對1500段信號進行4尺度小波、4尺度小波包稀疏變換，并計算4尺度下的小波系數、小波包系數的數學期望作為閾值，并對小波系數、小波包系數進行置零處理，并采用OMP方法完成信號重構；然后采用sym7小波基利用本文中算法對1500段信號進行處理。分別計算3種算法的平均壓縮率、信號的平均重構精度以及各算法處理1500段信號總消耗時間，計算結果如表5所示。

Table 5 Comprehensive performance of various algorithms

比較表5中的數據明顯可以看出，小波包算法的壓縮率和重構精度優(yōu)于小波算法，這是因為小波包算法對信號的高、低頻部分進行同頻分解，信號的稀疏度提高，且保留了更多信號的特征信息。但小波包算法由于增加了信號的處理過程，因而在計算耗時上比小波算法略有增加；本文中算法采用數學期望作為閾值對小波包系數進行置零處理，并自適應地選取了最佳分解尺度，進一步提高了信號的稀疏度，因而算法的壓縮率和重構精度比小波包算法更好。同時，本文中算法利用數學期望及信息熵對小波包系數進行分類處理，優(yōu)化了信號處理方法，提高了信號處理速度，因而運算速度得到提高。

由于時域下的光纖報警信號表現復雜，各分塊信號的信息特征差異較大，采用固定的稀疏字典對各分塊信號進行稀疏表示仍不可能使信號的稀疏度達到最優(yōu)。因而可以考慮根據信號的具體特征構建過完備字典，使信號在變換域的稀疏度進一步提高，從而可以進一步提高信號的壓縮率和重構精度。這是下一步工作的研究重點。

4 結 論

本文中采用小波包自適應壓縮感知方法處理光纖周界報警信號，主要解決了3個方面的問題：(1)采用小包波對光纖周界報警信號進行稀疏變換，對仍含有豐富信息特征的高頻部分進行分解，較好地保留了信號的信息特征，并進一步提高了信號在頻域的稀疏度，較大程度地提高了信號的壓縮率和重構精度;(2)基于小波包系數高頻部分的數學期望實現自適應小波包稀疏變換，使信號在頻域的稀疏度得到進一步提高,在保證一定重構精度的前提下，具有較高的信號壓縮率;(3)基于小波包系數塊的數據期望和信息熵對小波包系數塊進行分類處理，減少了觀測數據，較大程度地降低了網絡傳輸帶寬和算法的運算速度，便于對大規(guī)模數據進行處理，提高了壓縮感知方法在光纖周界報警系統(tǒng)中的應用價值。

總之，采用本文中所述方法對光纖周界報警信號進行壓縮感知與重構時，與傳統(tǒng)算法相比，具有更高的信號壓縮率和重構精度，且具有較低的網絡傳輸帶寬和較高的運算速度。