新課程背景下高等數(shù)學(xué)趣味性教學(xué)策略探究
——以函數(shù)的凹凸性為例

岳霞霞

(山西工程技術(shù)學(xué)院，山西 陽泉 045000)

1 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

教學(xué)導(dǎo)入是課堂教學(xué)的開端，創(chuàng)設(shè)情境是師生心靈溝通的第一座橋梁，教師要想辦法使學(xué)生有高昂的學(xué)習(xí)熱情和濃烈的學(xué)習(xí)興趣。若在教學(xué)中急于傳播知識(shí)而忽略教學(xué)導(dǎo)入，只會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)壓力，喪失學(xué)習(xí)興趣，會(huì)讓學(xué)習(xí)成為一種負(fù)擔(dān)。而創(chuàng)設(shè)合適的情境有利于學(xué)生了解知識(shí)產(chǎn)生的過程，能夠更加深刻理解知識(shí)的內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)對知識(shí)的靈活遷移與運(yùn)用，進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

創(chuàng)設(shè)情境要聯(lián)系生活，要符合學(xué)生的認(rèn)知水平。冪函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，三次函數(shù)y=x3就是一個(gè)簡單的冪函數(shù)，教師可讓學(xué)生畫出y=x3的函數(shù)圖像，并仔細(xì)觀察其在y軸兩側(cè)的單調(diào)性。通過觀察發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在y軸兩側(cè)的函數(shù)圖像都是單調(diào)遞增的，但它們的彎曲方式有所不同，僅用單調(diào)性來描述曲線的形態(tài)是不夠的，還需進(jìn)一步考察曲線的彎曲方向。教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在y軸左側(cè)曲線是向上鼓的，像象形文字的“凸”字，而在y軸右側(cè)，曲線則是向下鼓的，像象形文字的“凹”字，進(jìn)而給出曲線凹凸性的描述性定義，若曲線向上鼓，則稱它是上凸(或凸弧)，簡稱凸；若曲線向下鼓，則稱其是上凹(或凹弧)，簡稱凹。同時(shí)，教師可利用兩個(gè)典型的象形文字“凸”和“凹”來描述曲線彎曲的方向，進(jìn)而引出這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——函數(shù)曲線的凹凸性。

教師要從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，以熟悉的三次函數(shù)為切入點(diǎn)，讓學(xué)生觀察圖像的彎曲方向，將形象思維與邏輯思維相結(jié)合，利用典型的象形文字來形容曲線的彎曲方向，引出凹凸性定義，這樣可培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2 數(shù)形結(jié)合，形成概念

數(shù)與形是數(shù)學(xué)最基本的研究對象，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，它們之間有一定的聯(lián)系就是數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言通過直觀形象的圖形展示出來，可以使抽象的問題形象化、生動(dòng)化，變抽象思維為形象思維，有利于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

在教學(xué)中，教師可在曲線弧上任取兩點(diǎn)，觀察曲線上聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)的弦與相應(yīng)弧的位置關(guān)系，并過曲線上任意一點(diǎn)作曲線的切線，觀察切線與曲線的位置關(guān)系。通過幾何的直觀對比觀察發(fā)現(xiàn)，可引導(dǎo)學(xué)生探索歸納出判別曲線凹凸性的兩種幾何法，加深了學(xué)生對曲線凹凸性的理解。但只知道函數(shù)表達(dá)式而不知道函數(shù)圖像，那就無法直接判斷出曲線的凹凸性，還需進(jìn)一步利用精確的數(shù)學(xué)語言來描述凹凸性。

可通過比較曲線上任意兩點(diǎn)中點(diǎn)的函數(shù)值與這兩點(diǎn)函數(shù)值的平均值大小來判別曲線的凹凸性，這種判別方法與幾何法的比較曲線上弦與弧的位置關(guān)系是相統(tǒng)一的，用到了數(shù)形結(jié)合的方法，可以用這種方法判定曲線y=x3的凹凸性。在判定曲線的凹凸性時(shí)，需要分別求出任意兩點(diǎn)中點(diǎn)的函數(shù)值與這兩點(diǎn)函數(shù)值的平均值，然后比較這兩值的大小。在比較大小時(shí)，主要采用的方法是定義法和作差法。

3 形式多樣，豐富教學(xué)

高等數(shù)學(xué)晦澀難懂，教學(xué)方式單一，需在教學(xué)中引入多媒體技術(shù)。多媒體技術(shù)能夠使抽象的內(nèi)容更加形象直觀[1]，教學(xué)過程圖文并茂、情景交融，同時(shí)還能充分利用各種教學(xué)平臺(tái)對學(xué)生進(jìn)行過程化管理，使學(xué)生能夠積極參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，提高學(xué)習(xí)興趣。教師需圍繞教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)一系列新穎而富有啟發(fā)性的問題，并通過設(shè)問、反問、討論的方式層層推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)生的求知欲。多種教學(xué)方式相融合，使課堂教學(xué)更加形象化、生動(dòng)化、趣味化。

對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)，如果利用定義，在計(jì)算時(shí)往往會(huì)比較困難，需要尋求更加有效的方法，比如進(jìn)一步觀察曲線的切線，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維方式。教師可提出問題：如果曲線是凹的，那么隨著自變量的增大，切線的斜率會(huì)如何變化？通過觀察發(fā)現(xiàn)，隨著自變量的增大，切線的右端是逐漸向上抬起的，即切線的斜率是單調(diào)遞增的。

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞增，那么一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)是大于等于0的，即函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)大于等于0[2]。教師可通過這樣的對比觀察切線來進(jìn)行逐層發(fā)問，并采用啟發(fā)式教學(xué)法進(jìn)行推導(dǎo)，進(jìn)而得出用函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定函數(shù)所對應(yīng)曲線的凹凸性，引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)想記憶的方法來記憶結(jié)論，若二階導(dǎo)數(shù)大于等于0，聯(lián)想到正能量，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)笑臉，函數(shù)圖像是凹的；若二階導(dǎo)數(shù)小于等于0，聯(lián)想到負(fù)能量，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)哭臉，函數(shù)圖像是凸的。這種代數(shù)判斷函數(shù)凹凸性的方法其實(shí)就是利用幾何法切線與曲線的位置關(guān)系來判別的，是典型的數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。學(xué)習(xí)最重要的就是運(yùn)用，可利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)方法來判定曲線y=x3的凹凸性，從而得出結(jié)論，然后再給出拐點(diǎn)的定義，即拐點(diǎn)就是凹弧與凸弧的分界點(diǎn)。

4 歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)

歸納小結(jié)是課堂教學(xué)中必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)。知識(shí)的梳理更是離不開歸納總結(jié)，在教學(xué)任務(wù)的最后階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)，鞏固重難點(diǎn)，總結(jié)課堂中用到的知識(shí)點(diǎn)、技能、過程、方法以及情感態(tài)度價(jià)值觀等。好的課堂總結(jié)能使學(xué)生迅速掌握新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高學(xué)習(xí)效率。

在曲線凹凸性學(xué)習(xí)的最后階段，教師需引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)，利用典型的象形文字來形容曲線的彎曲方向，從而引出凹凸性的定義。然后，通過笑臉和哭臉來聯(lián)想記憶結(jié)論，并將形象思維和邏輯思維相結(jié)合，使學(xué)生能夠?qū)Π纪剐杂懈由钊氲闹庇^認(rèn)識(shí)和理解。最后，總結(jié)拐點(diǎn)的定義，并融入思政元素，即人生的道路如同曲線，要把人生拐點(diǎn)拐成一個(gè)個(gè)人生亮點(diǎn)。

5 結(jié)語

高校要深化課堂教學(xué)改革，增加高等數(shù)學(xué)教學(xué)的趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率[3]。在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，吸引學(xué)生發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的樂趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。