借助對應(yīng)思想深度教學(xué)“雞兔同籠”問題的策略

李林婧

（文山學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院，云南 文山 663099）

“雞兔同籠”問題是中國古代數(shù)學(xué)的名題，因它蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想和各式的解題技巧而在各國數(shù)學(xué)競賽和中國各個版本中、小學(xué)數(shù)學(xué)教材中占有重要地位。但是教材出現(xiàn)了，教師教學(xué)了，學(xué)生們就學(xué)懂了嗎？

基于人教版教材，對文山市市中心的小學(xué)和城郊的農(nóng)村寄宿制小學(xué)的教師進行訪談了解到：市中心的小學(xué)生四年級下學(xué)期學(xué)習(xí)該問題的算術(shù)解法。其中，市區(qū)小學(xué)生初學(xué)時大約10%的學(xué)生能夠深刻理解題目內(nèi)涵；60%的學(xué)生能夠在不太理解問題的情況下套用公式把題目解出來；30%的學(xué)生不太會解決此類問題，直到五年級上學(xué)期應(yīng)用方程法才基本能夠理解并解決此問題。郊區(qū)農(nóng)村小學(xué)生在小學(xué)六年級能夠有80%左右的學(xué)生會用方程思想解決此問題。至于算術(shù)方法的解題策略，盡管以往教學(xué)經(jīng)驗中教師也有涉及過，但是學(xué)生難于理解，如因課時緊張有的教師便會略過算術(shù)解法直接講述方程解法。通過訪談學(xué)生算術(shù)解題的困難時了解到：在算術(shù)解題過程中無法完全弄清動物數(shù)量和腿總數(shù)之間的關(guān)系，當數(shù)字較大時也無法估算，嘗試幾次就自我放棄了；學(xué)習(xí)列表法時受40分鐘課時限制，只能費勁地進行數(shù)字猜想、計算，而很少顧及思考數(shù)量間的關(guān)系，碰到數(shù)據(jù)大時使用此法非常不便；談及“雞兔同籠”的價值時，大部分學(xué)生局限于可以套用公式，認為不需要理解解題原理只要會計算出結(jié)果即可。

諸如此類現(xiàn)象表明：在面對“雞兔同籠”問題時，學(xué)生“缺乏必要的數(shù)學(xué)方法和解決路徑，也很難與已有的知識結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系”[1]。學(xué)生解決問題的能力停留表面不能或者很難深入，生活中碰到類似問題依然沒有頭緒。大多數(shù)學(xué)生還是停留在應(yīng)試教育水平，這與教材編寫的初衷是違背的，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的長期發(fā)展。因此，值得對該問題的有效教學(xué)、數(shù)學(xué)思維的滲透形式做一番思考。

1 人教版教材關(guān)于“雞兔同籠”問題的編寫意圖

“雞兔同籠”問題是人教版四年級下冊的數(shù)學(xué)廣角板塊內(nèi)容。它嘗試通過學(xué)生熟悉、生動有趣的生活問題逐步滲透一些重要而有用的數(shù)學(xué)思想方法，潛移默化地轉(zhuǎn)化為解決問題的思維方式。要求教師引導(dǎo)學(xué)生使用不同的算術(shù)方法解決此類問題，感知“雞兔同籠”的趣味性，增強學(xué)生的邏輯推理能力，為五年級上冊學(xué)習(xí)方程時找到數(shù)量間的等量關(guān)系、建立模型意識打下基礎(chǔ)。

2 “雞兔同籠”課堂教學(xué)中的問題分析與建議

2011版課程標準的課程基本理念中提出了：“課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法。課程內(nèi)容……有利于學(xué)生體驗與理解、思考與探索。課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系?！n程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣性?！盵2]這表明教材中出現(xiàn)“雞兔同籠”問題，是借助此問題發(fā)散思維，讓學(xué)生用不同的數(shù)學(xué)思維方法體驗數(shù)學(xué)的趣味性。重點在于過程性的領(lǐng)悟而非解題技能的訓(xùn)練，但在很多的“雞兔同籠”課堂教學(xué)中常出現(xiàn)一些現(xiàn)象：

2.1 一味追求難度，教學(xué)目標定位過高

“雞兔同籠”問題在原來的教科書中只出現(xiàn)于奧數(shù)教材，對于初次接觸該問題的學(xué)生需要多接觸基礎(chǔ)題型。對問題以及思維方式進行摸索，需要一個逐漸理解與適應(yīng)的過程。但實際教學(xué)尤其是公開課中，教師喜歡不斷拔高難度、挖掘深度，這容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒。

因此教師備課時應(yīng)注意分析學(xué)情，忌諱教學(xué)定位過高而變成解題技能訓(xùn)練、難題訓(xùn)練以及在學(xué)生沒有完全理解解題原理情況下給出題型的變式。建議把教學(xué)內(nèi)容分為兩個課時，第一課時解決數(shù)據(jù)不復(fù)雜的基本題型，主要讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方法理解題意，領(lǐng)悟?qū)?yīng)思想以及在此思想指導(dǎo)下的假設(shè)法。第一課時后的家庭作業(yè)以及第二課時，再考慮涉及問題變式、拔高難度的問題和解決此問題的其它方法。

2.2 停留于直觀操作，忽視思維滲透

“雞兔同籠”問題的解法多樣，有假設(shè)法、方程法、列表法、畫圖法、面積法和一些其他的特殊解法。教材希望學(xué)生掌握不同的方法解決問題，教師們常選擇兩種或以上的方法教學(xué)[3]，卻也在教學(xué)中產(chǎn)生了一些問題。一方面，同一課時中第一種方法未消化完第二種方法接踵而至，學(xué)生在幾種解題方法之間因為無法建立聯(lián)系，導(dǎo)致方法混淆或不易接受，同時也滋生了畏難情緒喪失了學(xué)習(xí)趣味性。另一方面，為了保證在內(nèi)容上講授多種方法的完整性，學(xué)生較多停留在按照教師指令直觀操作上，思考的時間不夠?qū)е轮庇^上升到抽象的環(huán)節(jié)是茫然的，繼而如果教師在提煉結(jié)論過程中過于直接，便造成大部分學(xué)生生搬硬套公式做練習(xí)，在重復(fù)中體會內(nèi)容這樣的低效或無效方式也缺乏主動性，更鮮有學(xué)生能夠體會到其中的思想方法了。

有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，只有師生都主動參與，交往式的互動才能達成。教學(xué)內(nèi)容的完成并不代表教學(xué)目標的實現(xiàn)，建議教師多考慮學(xué)生在40分鐘的接受能力，不要急于灌輸所有能夠解決“雞兔同籠”的解題技能，更不能只注重技能訓(xùn)練而忽略學(xué)生對方法的理解與領(lǐng)悟。因為學(xué)生在一個課時上僅能真正充分領(lǐng)悟和掌握1至2種重要的方法。經(jīng)歷第一課時深度學(xué)習(xí)后，對問題的理解、領(lǐng)悟能力提升，解決問題的成就感便能提起研究的興趣，其它方法可以在家庭作業(yè)中進行設(shè)計與引導(dǎo)。如將其它方法先通過家庭作業(yè)的形式讓學(xué)生在時間充裕的條件下先進行過獨立思考，教師在第二個課時講解作業(yè)過程中幫助學(xué)生進一步對其補充認識與提升理解。

2.3 未從學(xué)生解題角度考慮教法

教師僅停留在學(xué)生能“把題目做出來”這一層面上的要求，而從學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升來看，這樣的要求是遠遠不夠的。學(xué)生沒有理解原理會缺少靈活性，照搬方法也培養(yǎng)不出創(chuàng)新能力。因此，教師自身應(yīng)該通過大量的深度解題建立起較為清晰的解題思路，從解題中體驗思維的樂趣、感受學(xué)生解題的難點環(huán)節(jié)[4]。再仔細思考學(xué)生思維形成的過程，梳理解題路徑，思考各種方法之間的聯(lián)系并對應(yīng)銜接于教學(xué)?！澳ヮ}”后可以進一步通過教師間的交流研討、借助對學(xué)生的訪談與調(diào)查，以學(xué)生解題角度設(shè)計教學(xué)。通過以上準備，選擇好適合學(xué)生個性特征的教學(xué)方法和輔導(dǎo)策略，也為進一步地分層教學(xué)、分層次作業(yè)打下了基礎(chǔ)。

3 以對應(yīng)思想為指導(dǎo)的“雞兔同籠”教學(xué)策略

教師的教法應(yīng)基于學(xué)生的生活經(jīng)驗與思維水平，四年級的學(xué)生正處于對“守恒”認識的發(fā)展階段，逆向思維的認識和理解也不夠充分（從大部分學(xué)生不理解假設(shè)法可看出）。因此“雞兔同籠”教學(xué)過程應(yīng)有效地引導(dǎo)學(xué)生從順向思維平穩(wěn)過渡到逆向思維。只有充分接近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生才能深入理解原理進而遷延應(yīng)用。

在實際教學(xué)中，大部分教師主要使用列表法和假設(shè)法來完成新授課。列表法（枚舉思想）雖簡單直接，學(xué)生反復(fù)練習(xí)并注意總結(jié)就能得到一定經(jīng)驗。但在問題的數(shù)據(jù)較大時有必要選擇跳躍枚舉。如果課堂上教師在列表法學(xué)習(xí)中預(yù)留時間不夠，學(xué)生學(xué)習(xí)會比較被動，預(yù)留太多又影響其他方法的介紹。另外，列表法與假設(shè)法之間沒有明顯的思想和方法的聯(lián)系不能更多地起到承上啟下、過渡銜接的作用。筆者認為列表法更適宜在新授課后對“雞兔同籠”有一定了解基礎(chǔ)上以課外作業(yè)形式展開，這樣學(xué)生可以多留一些時間計算和思考。假設(shè)法（假設(shè)思想）的理解需要一定的逆向思維，小學(xué)生作為初學(xué)者接受困難，需要在對“雞兔同籠”問題頭數(shù)與腿數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系有一定認識的基礎(chǔ)上再學(xué)習(xí)。因此，以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，對四年級下冊數(shù)學(xué)廣角單元“雞兔同籠”問題，以對應(yīng)思想為指導(dǎo)的算術(shù)解法做了一個兩課時的教學(xué)設(shè)計以供參考。

3.1 從畫圖法到假設(shè)法的自然過渡

生動有趣的生活事例是數(shù)學(xué)廣角創(chuàng)設(shè)情景的最好素材，激活了學(xué)生的生活經(jīng)驗就能牢牢吸引住學(xué)生。因此，課堂導(dǎo)入部分可以從創(chuàng)設(shè)一些簡單數(shù)據(jù)的問題情景開始，由易到難、從扶到放。例如充分借助多媒體展示學(xué)生喜歡的動物圖片創(chuàng)設(shè)情境：一只雞的圖片并附括號填寫幾條腿，五只雞的圖片并附括號填寫幾條腿并寫出計算方法；一只兔子圖片下邊括號填寫幾條腿；把剛才圖片中的五只雞中的三只換成兔子并用柵欄圍起來看不見腳，請學(xué)生計算一下有幾條腿，并談?wù)動袔追N計算方法。此部分內(nèi)容屬于順向思維，“知頭算腿”的具體問題學(xué)生容易理解，但需要嘗試讓學(xué)生畫圖再次“對應(yīng)”理解兩只雞、三只兔的總的腿數(shù)的不同計算方法：分別計算法、加腿法、減腿法。通過畫圖討論，旨在讓學(xué)生進一步理解雞、兔的總數(shù)與總的腿數(shù)的關(guān)系有三種表示方法，并嘗試讓學(xué)生對應(yīng)圖形解釋三種算法的數(shù)學(xué)關(guān)系式：總的腿數(shù)＝雞的數(shù)量×2+兔的數(shù)量×4；總的腿數(shù)＝雞兔總數(shù)量×2+少算了的兔的腿數(shù)，“少算的兔腿即：（兔腿數(shù)/只-雞腿數(shù)/只）×兔數(shù)量”；總的腿數(shù)＝雞兔總數(shù)量×4-多算了的雞腿數(shù)，“多算了的雞腿數(shù)即：（兔腿數(shù)/只-雞腿數(shù)/只）×雞數(shù)量”。

通過兩次具體問題到抽象對應(yīng)關(guān)系的理解，學(xué)生開始對動物數(shù)量與腿的數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系有一定理解。轉(zhuǎn)而將問題改換為“雞和兔子一共5只，有16條腿，會有幾只雞幾只兔”。這個時候從順向思維到逆向思維產(chǎn)生了一個過渡，教師可以提示學(xué)生運用剛才的畫圖法幫助理解，如圖2。這樣數(shù)形結(jié)合的方式，借助于形象的圖形來解題，對于初次接觸“雞兔同籠”問題的學(xué)生來說，不僅學(xué)得有趣、簡單，而且能加深學(xué)生對用假設(shè)法解題的理解，發(fā)展學(xué)生的思維能力[5]。在學(xué)生畫圖法的練習(xí)過程中，教師從旁追問“都看做雞以后腿還不夠，少算了幾條，你是如何知道的？一共需要再分給幾個頭，能列出算式嗎”等類似的問題，學(xué)生進入假設(shè)法的學(xué)習(xí)與練習(xí)也就呼之欲出了。在第一課時小結(jié)中幫學(xué)生分析畫圖法與假設(shè)法之間的關(guān)系為：畫圖法是針對問題的數(shù)形對應(yīng)表示方法，特點是具體形象易理解；假設(shè)法是畫圖法的數(shù)學(xué)語言概括，這樣的方法雖然抽象但是遇到數(shù)據(jù)大的問題時比畫圖法更快地獲得結(jié)果。

圖2 “雞兔同籠”問題中畫圖法的增腳法

3.2 分層次的家庭作業(yè)讓“吃不飽”的學(xué)生自主探究

新課改提倡方法多樣性，在學(xué)生真正理解問題實質(zhì)的基礎(chǔ)上讓其自主探究自己喜歡的方式、方法，體驗成功的喜悅[6]，更容易發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”之美。因而家庭作業(yè)的布置并非是一種解題技巧的強化練習(xí)，筆者建議將家庭作業(yè)設(shè)計為兩個層次。

第一個層次的作業(yè)是課本上“雞兔同籠”的基本題型，讓學(xué)生用自己喜歡的方法計算。由于課堂上更多的是關(guān)注學(xué)生對假設(shè)法的深度理解，而并沒有涉及列表法，因此每道解題過程下方再給出列表法的列表，并要求學(xué)生通過計算在列表中圈出問題的答案。列表法是一種容易理解的方法，在第一課時深度理解題意基礎(chǔ)上不需要教師做過多補充。作業(yè)中有充足的時間讓學(xué)生自主的嘗試、經(jīng)歷和不斷做出調(diào)整，就能夠體會到枚舉的思想與解決問題的一種策略——列表。以文中所提導(dǎo)入的例題為例為學(xué)生設(shè)計列表，如表1，空白部分是學(xué)生填寫的內(nèi)容，填寫完后在表中圈出符合題意的數(shù)據(jù)即可。最后附上問題“你最喜歡用哪一種方法解決問題，請談?wù)劄槭裁础?，幫助學(xué)生整理與總結(jié)，找到適合自己的最優(yōu)化方法。

表1 列表法解“雞兔同籠” 問題的作業(yè)樣表

第二個層次的作業(yè)是“雞兔同籠”的變式問題以及面積法或其它方法解決問題，這部分題目可以將學(xué)生按學(xué)習(xí)能力分組后給出“選做”與“必做”兩種方式。這樣一方面顧及到了基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，另一方面解決了一部分學(xué)生“吃不飽”的問題。人教版教科書中（如108頁的練習(xí)二十四第5、6小題）雖然也給出關(guān)于該問題的變式題目，但筆者認為變式的類型和數(shù)量太少，不利于學(xué)生遷延和鞏固。此部分作業(yè)可以酌情增加，“雞兔同籠”問題一直很受到世界各地數(shù)學(xué)愛好者的歡迎，因此出現(xiàn)了不少巧法與妙法，教師應(yīng)該多關(guān)注此類文章，在第二層次的作業(yè)安排中不斷進行改良，補充一些巧妙的方法，幫助學(xué)生開拓思維。以文中所提導(dǎo)入的例題為例為學(xué)生設(shè)計引導(dǎo)學(xué)習(xí)面積法的作業(yè)，如圖3。

圖3 引導(dǎo)學(xué)生利用面積法解題的范例

3.3 討論各種方法間的關(guān)系引出潛藏的數(shù)學(xué)思想方法

第二個課時的學(xué)習(xí)主要為作業(yè)的講解與方法的補充說明。教師講解作業(yè)時總結(jié)了列表法、畫圖法等方法后可以讓學(xué)生進行自由討論。例如喜歡用哪種方法進行解題，為什么？每種方法分別有什么特點？每種方法間是否有一些聯(lián)系等等……教師也可以利用總結(jié)的機會，挖出潛藏于方法中的數(shù)學(xué)思想，用通俗的語言概括，幫助學(xué)生更進一步地了解數(shù)學(xué)思想在解決問題中的作用，以便今后可以將學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)思想類比應(yīng)用于其它問題。

總之，對于“雞兔同籠”的教學(xué)，首先教師自身應(yīng)該多鉆研已有的方法，以及已有方法之間的相互聯(lián)系和進行大量的磨題，做到用教材教而不盲目照搬教材。其次，學(xué)生的深度理解來源于教師對其數(shù)學(xué)思想方法的深度挖掘：“雞兔同籠”問題的假設(shè)法潛藏著對應(yīng)思想，列表法潛藏著枚舉思想，建立公式潛藏著模型思想，面積法潛藏著數(shù)形結(jié)合思想等。教師應(yīng)仔細剖析教學(xué)中潛藏的數(shù)學(xué)思想，思索如何利用這些數(shù)學(xué)思想幫助學(xué)生更好的理解題意，如何用淺顯易懂的數(shù)學(xué)語言將方法總結(jié)給學(xué)生。最后，注意加強對作業(yè)布置中如題目難易程度、解法多樣性與學(xué)生的分層次性安排等問題的思考，增強各類學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自信心。