唐茂林，王 鵬，2，李翠娟

(1.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，四川 成都 610031;2.長江勘測規(guī)劃設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司，湖北 武漢 430010)

0 引言

高速地鐵通過橋梁時(shí)，對結(jié)構(gòu)的作用是隨時(shí)間變化的周期性荷載，在某特定軌道不平順譜影響下，可能使荷載激勵(lì)頻率與結(jié)構(gòu)自振頻率一致，引起結(jié)構(gòu)共振。共振導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的動力響應(yīng)，影響橋上行人舒適度，此時(shí)有必要對結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動控制。許海亮[1]研究了路面不平整度激勵(lì)下車路耦合振動，得出路面不平整度越差路面產(chǎn)生的振動位移也越大；Den Hartog[2]首次提出了STMD系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)受到簡諧力作用下的最優(yōu)參數(shù)求解方法；Han[3]等利用阻尼比相同、調(diào)諧頻率等間隔分布的MTMD系統(tǒng)有效控制了結(jié)構(gòu)振動；李春祥[4-5]對MTMD進(jìn)行了大量動力分析，得出MTMD系統(tǒng)具有更好的有效性和魯棒性；樊健生[6]研究發(fā)現(xiàn)人-橋共振時(shí)采用MTMD將比單個(gè)TMD具有更高的減振效率；王文熙[7]研究了TMD系統(tǒng)在自身參數(shù)偏離下的減振有效性和可靠性問題,并給出增強(qiáng)TMD系統(tǒng)有效性和可靠性的一些建議。張鐸等[8]基于移動簡諧荷載列模型，研究了地鐵過橋時(shí)，諧振頻率、荷載列移速等對共振效應(yīng)的影響；肖新標(biāo)等[9]研究了TMD對不同速度簡諧荷載激勵(lì)下橋梁動力響應(yīng)的控制效果；郭文華[10]等提出TMD可有效抑制高速鐵路簡支箱梁的共振效應(yīng)；王浩等[11]研究了TMD對南京長江大橋車致振動豎向加速度的控制效果；靖仕元[12]對長沙磁浮工程道岔梁，采用多重調(diào)諧質(zhì)量調(diào)諧阻尼器(TMD)的方式控制一定激振頻率帶的振動，達(dá)到控制頻率能全覆蓋；徐家云[13]研究得出TMD能夠較好地減小重載鐵路橋梁的振動響應(yīng)。已有車致振動控制方面的研究大都是基于鐵路簡支梁或者連續(xù)梁橋，對帶有人行道的大跨度空間纜索懸索橋車致振動方面的研究較少。

目前一些城市市政橋梁不僅承受地鐵軌道交通，還布置有人行道，對于這類橋梁，地鐵過橋時(shí)振動問題突出，有必要對其行人走行舒適度進(jìn)行研究。本研究以某座跨度為(45+330+60) m的市政軌道交通懸索橋?yàn)楸尘?，依?jù)表1中德國EN03[14]規(guī)范規(guī)定的采用峰值加速度作為評價(jià)準(zhǔn)則，研究地鐵荷載作用下橋上行人的走行舒適度。該橋邊跨為平行纜，主跨為外張式空間纜，吊索間距為7.5 m，主梁采用桁架與箱梁的組合梁，在橋塔處連續(xù)通過，上層橋面承受雙向地鐵荷載，下層橋面布置有6 m寬的人行道。該橋?qū)嶋H設(shè)計(jì)中，兩岸橋塔塔頂橫向間距并不相同，矮塔側(cè)塔頂I.P點(diǎn)橫向間距為43 m，高塔側(cè)塔頂I.P點(diǎn)橫向間距為47.4 m，吊索下吊點(diǎn)橫向間距34.4 m。

表1 EN03規(guī)定的舒適度等級(單位：m/s2)

1 橋梁結(jié)構(gòu)振動分析

懸索橋具有強(qiáng)烈的非線性[15]，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與外載荷激勵(lì)的變化不成比例。懸索橋的車橋振動分析為瞬態(tài)非線性分析，因此在ANSYS中建立結(jié)構(gòu)三維有限元模型如圖1所示。其中采用link10單元模擬吊桿和主纜，采用beam4單元模擬主塔和主梁，考慮車輛激勵(lì)在ANSYS進(jìn)行瞬態(tài)非線性時(shí)程分析。

圖1 有限元模型Fig.1 Finite element model

1.1 動力特性分析

動力特性是橋梁全局動態(tài)剛度指標(biāo)的重要體現(xiàn)，是橋梁動力分析的基礎(chǔ)。橋梁結(jié)構(gòu)的動力特性主要包括結(jié)構(gòu)的振型、自振頻率、模態(tài)質(zhì)量等，本研究主要研究在地鐵激勵(lì)下該橋的豎向振動，表2展示了該橋前三階豎彎振型的關(guān)鍵參數(shù)。

表2 主要振型自振頻率Tab.2 Natural frequencies of main modes

1.2 考慮軌道不平順的車致振動分析

地鐵車輛作用主要由軌道不平順引起的簡諧荷載和常量的軸重荷載疊加而成。地鐵激勵(lì)的簡諧荷載幅值近似取為[8]P=0.2·Po=32 kN，地鐵主軸重Po=160 kN，則實(shí)際車輛荷載即可等效為圖2中按特定間距排列的簡諧荷載。該橋設(shè)計(jì)地鐵為由6輛車編組的A型地鐵，圖中只示意了3輛，地鐵激勵(lì)大小為：

P(t)=160+32×sin(ωt)。

(1)

確定荷載模式以后，在該橋上下游加載相向而行的兩列簡諧地鐵荷載列，模擬地鐵在橋上會車，諧振頻率分別與該橋的一階和三階豎彎模態(tài)頻率相同，由于二階豎彎模態(tài)質(zhì)量不大，并不能激發(fā)結(jié)構(gòu)共振，此處不做研究。圖3～圖4為移動簡諧荷載列作用下，主跨330 m范圍內(nèi)主梁位移和加速度時(shí)程變化圖，從圖中數(shù)據(jù)可以看出，在列車荷載激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)分別被激發(fā)了一階和三階豎彎共振，且一階豎彎模態(tài)頻率簡諧荷載列激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)的位移和加速度響應(yīng)都要比三階頻率簡諧荷載作用下的響應(yīng)大。結(jié)構(gòu)被激發(fā)一階豎彎共振時(shí)，主梁最大位移值為-0.393 m，最大加速度值為1.122 m/s2，行人走行舒適度等級為“不舒適”；激發(fā)三階豎彎共振時(shí)，主梁最大位移響應(yīng)為-0.224 m，最大加速度響應(yīng)為0.492 m/s2，行人走行舒適度處于“很舒適”等級。

圖2 地鐵簡諧荷載(單位:kN)Fig.2 Simple harmonic load of subway(unit:kN)

圖3 一階豎彎頻率簡諧荷載下結(jié)構(gòu)響應(yīng)Fig.3 Structural responses under first-order vertical bending frequency harmonic loading

圖4 三階豎彎頻率簡諧荷載下結(jié)構(gòu)響應(yīng)Fig.4 Structural responses under third-order vertical bending frequency harmonic loading

2 基于TMD的結(jié)構(gòu)振動控制

上一節(jié)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)軌道不平順的諧振頻率與一階豎彎模態(tài)頻率相同時(shí)，行人走行舒適度處于“不舒適”等級，采用TMD對主梁振動進(jìn)行控制是有必要的。

2.1 抑振原理

待控結(jié)構(gòu)簡化為質(zhì)量矩陣只有一個(gè)自由度的質(zhì)量塊Mp;結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為Cp;剛度系數(shù)為Kp;在待控結(jié)構(gòu)上裝置TMD系統(tǒng)進(jìn)行振動控制。單調(diào)諧頻率質(zhì)量阻尼器(STMD)系統(tǒng)只有單個(gè)子TMD；多調(diào)諧頻率質(zhì)量阻尼器(MTMD)系統(tǒng)具有多個(gè)子TMD，子TMD的自振頻率以結(jié)構(gòu)被控模態(tài)頻率為中心，按一定的間隔對稱分布。每一個(gè)子TMD都由一個(gè)質(zhì)量為mi的質(zhì)量塊、一個(gè)剛度系數(shù)為ki的彈簧以及一個(gè)阻尼系數(shù)為ci的線彈性阻尼器組成。根據(jù)子TMD頻率特點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，STMD系統(tǒng)只能對一個(gè)頻率點(diǎn)進(jìn)行控制，而MTMD系統(tǒng)則能對一個(gè)小的頻率段進(jìn)行控制。該橋利用STMD與MTMD系統(tǒng)進(jìn)行振動控制的力學(xué)模型如圖5、圖6所示。在主梁振幅響應(yīng)最大區(qū)域安裝N個(gè)子TMD，每個(gè)子TMD質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣分別為mi，ki，ci?？梢园阎髁哼\(yùn)動微分方程寫成如下非矩陣形式：

(2)

式中，yp(x,t)為主梁在車輛激勵(lì)下各點(diǎn)的位移;P(t)為所計(jì)入軌道不平順影響后的地鐵激勵(lì)。假設(shè)第i個(gè)子TMD的位移響應(yīng)為yi(x,t)，可以得出如下第i個(gè)TMD的受力平衡方程式：

(i=1, 2,…,n)。

(3)

圖5 STMD力學(xué)模型 Fig.5 Mechanical model of STMD

圖6 MTMD力學(xué)模型Fig.6 Mechanical model of MTMD

2.2 參數(shù)確定

采用Den Hartog最佳參數(shù)確定方法[2]確定TMD最優(yōu)參數(shù)，其中最優(yōu)頻率比:

(4)

最優(yōu)阻尼比:

(5)

TMD主要物理參數(shù):

fTMD=f·αopt，

(6)

(7)

cTMD=2mTMD·ωTMD·εopt，

(8)

式中,f為主結(jié)構(gòu)待控振型自振頻率；μ為阻尼器質(zhì)量與結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量之比;ω為角頻率。

此處考慮到恒載撓度，STMD系統(tǒng)質(zhì)量比μ取0.02。依據(jù)以上方法，得出針對該橋一階豎彎模態(tài)振動控制的STMD系統(tǒng)主要參數(shù)如表3所示。

表3 STMD系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)

文獻(xiàn)[4-5]介紹了MTMD主要參數(shù)的計(jì)算方法，其中平均頻率為：

(9)

第j個(gè)子TMD的頻率為：

(10)

頻率間隔為:

(11)

調(diào)諧頻率系數(shù):

(12)

則每個(gè)子TMD的調(diào)頻系數(shù):

(13)

總質(zhì)量比:

(14)

平均阻尼比系數(shù):

(15)

式中,ωs為橋梁結(jié)構(gòu)的自振頻率;ms為對應(yīng)模態(tài)下的模態(tài)質(zhì)量，調(diào)諧頻率系數(shù)與平均阻尼比可由公式(4)～(5)計(jì)算得到。一個(gè)TMD系統(tǒng)有n個(gè)子TMD，ωj為第j個(gè)子TMD的角頻率；ω1為第1個(gè)TMD的角頻率；mj為第j個(gè)子TMD的質(zhì)量;εj為第j個(gè)子TMD的阻尼比。

由等量分析原則，此處MTMD系統(tǒng)總質(zhì)量比也取0.02、最優(yōu)頻率間隔取0.16，采用5個(gè)質(zhì)量與阻尼比相同，阻尼系數(shù)與剛度系數(shù)不同的子TMD對結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動控制。依據(jù)上述方法，計(jì)算針對該橋一階豎彎振動控制的MTMD系統(tǒng)參數(shù)如表4所示。

表4 MTMD系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)表

2.3 振動控制分析

在有限元模型中采用mass21單元模擬阻尼器的質(zhì)量，采用combin14單元模擬阻尼器的彈簧剛度和阻尼剛度，并將mass21單元與結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起。已有研究表明，在滿足空間要求的情況下，盡可能的把TMD布置在主梁動力響應(yīng)最大的位置，其抑振效果最好[16]。如圖7所示，可以在桁架下層橋面跨中5片下橫梁中間預(yù)設(shè)節(jié)點(diǎn)板，將整個(gè)TMD系統(tǒng)裝配在圖中位置，最大限度減小結(jié)構(gòu)振動。

圖7 TMD系統(tǒng)在主梁上的布置圖Fig.7 Layout of TMD system on main girder

本研究主要針對一階振動進(jìn)行控制，將表3、表4設(shè)計(jì)的STMD與MTMD系統(tǒng)布置在上述主梁跨中位置。圖8為雙向地鐵過橋時(shí)，兩類系統(tǒng)控制下跨中主梁位移、加速度時(shí)程曲線。從中可以看出STMD系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)最大加速度為0.751 m/s2，有效降低了33.2%；MTMD系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)最大加速度為0.712 m/s2，有效降低了36.6%。兩類系統(tǒng)都實(shí)行人舒適度進(jìn)入“中度舒適”等級，對比分析結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，MTMD系統(tǒng)具有更好的抑振效果。

圖8 跨中主梁位移、加速度響應(yīng)時(shí)程曲線Fig.8 Time-history curves of displacement and acceleration response of main girder at midspan

2.4 參數(shù)敏感性分析

TMD在加工制造時(shí)存在加工誤差，可能引起自身參數(shù)與設(shè)計(jì)值不相符，影響抑振效果[17]。此處對STMD、MTMD系統(tǒng)的子TMD主要參數(shù)存在誤差時(shí)的抑振能力進(jìn)行研究，結(jié)果可作為TMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的依據(jù)，也可對分析TMD制造誤差影響抑振效果提供參考。在表3、表4設(shè)計(jì)參數(shù)的基礎(chǔ)上，分別讓質(zhì)量、剛度、阻尼參數(shù)按下述3種狀態(tài)發(fā)生偏移。

狀態(tài)1：在剛度和阻尼保持不變的情況下，各子TMD質(zhì)量按其設(shè)計(jì)參數(shù)的0.7，0.85，1.15，1.3倍發(fā)生改變；

狀態(tài)2：在質(zhì)量和阻尼保持不變的情況下，各子TMD剛度按其設(shè)計(jì)參數(shù)的0.7，0.85，1.15，1.3倍發(fā)生改變；

狀態(tài)3：在質(zhì)量和剛度保持不變的情況下，各子TMD阻尼按其設(shè)計(jì)參數(shù)的0.7，0.85，1.15，1.3倍發(fā)生偏改變。

圖9繪出了跨中加速度響應(yīng)極值隨著子TMD質(zhì)量、剛度、阻尼發(fā)生偏移時(shí)的變化情況。從中可以看出：子TMD質(zhì)量發(fā)生偏移時(shí)，系統(tǒng)的抑振效果會下降；剛度增加15%獲得更好的抑振效果，此時(shí)STMD與MTMD系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)最大加速度為0.731，0.681 m/s2，分別降低了34.8%，39.3%；隨著子TMD阻尼的增加，系統(tǒng)的減振效率呈單調(diào)下降趨勢，但影響不明顯。

圖9 加速度峰值隨TMD偏移變化曲線Fig.9 Curves of acceleration maximum value vs. deviation of TMD

3 魯棒性分析

3.1 結(jié)構(gòu)自身頻率變化的魯棒性分析

橋梁在運(yùn)營期間，結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生收縮徐變[18]，建筑材料也可能存在老化現(xiàn)象，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)實(shí)際自振頻率與TMD設(shè)計(jì)時(shí)所采用的并不一致，進(jìn)一步對STMD與MTMD系統(tǒng)的抑振效果帶來影響。為實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)自振頻率改變，本研究將該橋跨矢比由8.5修改為9.5，結(jié)構(gòu)一階豎彎模態(tài)頻率降到1.95 rad/s，進(jìn)而研究抑振系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)自身頻率改變后的魯棒性能。表5列出了頻率變化后，雙向地鐵激勵(lì)下兩類系統(tǒng)的抑振效果，從中可以發(fā)現(xiàn)，MTMD系統(tǒng)依舊具有較高的有效率，跨中加速度減小了32.4%，STMD系統(tǒng)減小了29.7%。由此可見，MTMD抑振系統(tǒng)具有更好的魯棒性，能更長久保障橋上行人舒適度。

表5 不同模型加速度響應(yīng)極值(單位：m/s2)

3.2 TMD個(gè)數(shù)對抑振系統(tǒng)魯棒性的影響

保證質(zhì)量比為2%不變的前提下，分別將13個(gè)，9個(gè)，5個(gè)，1個(gè)子TMD裝置原橋主梁跨中，研究MTMD系統(tǒng)魯棒性隨子TMD個(gè)數(shù)的變化情況。隨著子TMD個(gè)數(shù)的減少，單個(gè)子TMD的質(zhì)量與體積也將增加。采用9個(gè)子TMD時(shí)，可以考慮將子TMD布置在下橫梁與下弦桿交點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)板，同一個(gè)下橫梁與兩片桁架的節(jié)點(diǎn)處就可以布置兩個(gè)子TMD；采用13個(gè)子TMD時(shí)，可以同時(shí)將子TMD布置在下橫梁與兩片桁架的節(jié)點(diǎn)以及下橫梁中間的節(jié)點(diǎn)，同一個(gè)下橫梁上就可以布置3個(gè)子TMD。這樣盡可能的將TMD布置在橋梁跨中附近，可使TMD系統(tǒng)發(fā)揮更好的抑振效果。

分析過程中，激勵(lì)荷載選用前文介紹的地鐵模型，模擬雙向地鐵在橋上會車，地鐵諧振頻率為1.87 rad/s。作用地鐵激勵(lì)頻率與該橋一階豎彎模態(tài)頻率2.07 rad/s偏移時(shí)，各類MTMD系統(tǒng)的加速度響應(yīng)如圖10所示，從中可以發(fā)現(xiàn)，主梁的加速度響應(yīng)極值隨著TMD個(gè)數(shù)的增加有所下降，但幅度逐漸減弱，趨于平緩。因此，適當(dāng)?shù)脑黾覶MD個(gè)數(shù)，可以有效解決激勵(lì)荷載頻率改變對橋上行人舒適度帶來的影響。

圖10 加速度峰值隨TMD個(gè)數(shù)變化曲線Fig.10 Curves of acceleration maximum value vs. number of TMD

4 結(jié)論

本研究依托某市政軌道交通空間纜索體系懸索橋，以橋上行人走行舒適度為出發(fā)點(diǎn)，對該結(jié)構(gòu)在考慮軌道不平順影響的簡諧地鐵荷載激勵(lì)下的動力響應(yīng)進(jìn)行分析，并分別研究了調(diào)諧質(zhì)量阻尼器STMD以及MTMD系統(tǒng)對結(jié)構(gòu)的抑振效果。本研究主要結(jié)論如下：

(1)該橋一階豎彎振型模態(tài)質(zhì)量較大，當(dāng)軌道不平順的諧振頻率接近該模態(tài)頻率時(shí)，容易激發(fā)結(jié)構(gòu)共振，引起橋上行人走行不適。

(2)無阻尼器時(shí)，跨中加速度響應(yīng)極值為1.122 m/s2；STMD系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)最大加速度為0.731 m/s2，有效降低了34.8%；MTMD系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)最大加速度為0.681 m/s2，有效降低了39.3%。添加阻尼器使橋上行人舒適度從“不舒適”進(jìn)入“中度舒適”。

(3)結(jié)構(gòu)自身頻率發(fā)生改變時(shí)，MTMD系統(tǒng)也能較好地控制結(jié)構(gòu)振動，魯棒性良好；另外，隨著TMD個(gè)數(shù)的增加，MTMD系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)一步提高。