何雪冰

[摘? 要] 文章以一道實(shí)際應(yīng)用題為例，探討并教會(huì)學(xué)生選擇解題路徑與方法.通過(guò)對(duì)一個(gè)問(wèn)題的研究、一題多解的探討，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，重在引導(dǎo)學(xué)生善于方法的總結(jié)與優(yōu)化，讓學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)歸納總結(jié)問(wèn)題的各種解法，掌握處理各種問(wèn)題的通性通法，通過(guò)一題多解最終實(shí)現(xiàn)多題一解.

[關(guān)鍵詞] 解法探析;通性通法;學(xué)會(huì)選擇;反思提升

最近筆者在高三年級(jí)進(jìn)行高中數(shù)學(xué)二輪微專題復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一道?？碱}，內(nèi)涵豐富，立意深刻，著實(shí)是一道好題.本文就其解法做了一些探析與反思，拋磚引玉，期望能引起大家更多的思考.

■原題呈現(xiàn)

如圖1，經(jīng)過(guò)村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M，N （異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）. 如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小（即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn)）？

■解法探析

1. 構(gòu)建三角函數(shù)

如圖1，設(shè)∠AMN=θ，在△AMN中，■=■.

因?yàn)镸N=2，所以AM=■sin（120°-θ）.

在△APM中，cos∠AMP=cos（60°+θ）.

AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP

=■sin2（120°-θ）+4-2×2×■·sin（120°-θ）cos（60°+θ）

=■sin2（θ+60°）-■sin（θ+60°）cos（θ+60°）+4

=■[1-cos（2θ+120°）]-■·sin（2θ+120°）+4

=-■[■sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+■

=■-■sin（2θ+150°），θ∈（0，120°）.

當(dāng)且僅當(dāng)2θ+150°=270°，即θ=60°時(shí)，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2■.

解法評(píng)析：這種解法是此類問(wèn)題的通性通法，利用正余弦定理確定邊角關(guān)系，關(guān)鍵在于恰當(dāng)設(shè)角，建立已知量與未知量的函數(shù)模型，從而解決目標(biāo)，但是對(duì)三角運(yùn)算要求較高.

2. 構(gòu)造直角三角形

如圖2，設(shè)∠PMD=θ，在Rt△PMD中，

因?yàn)镻M=2，所以PD=2sinθ，MD=2cosθ.

在△AMN中，∠ANM=∠PMD=θ，所以■=■，

AM=■sinθ，所以AD=■·sinθ+2cosθ（θ≥■時(shí)，結(jié)論也正確）.

AP2=AD2+PD2=■sinθ+2cosθ■+（2sinθ）2

=■sin2θ+■sinθcosθ+4cos2θ+4sin2θ

=■·■+■sin2θ+4=■sin2θ-■cos2θ+■

=■+■sin2θ-■，θ∈0，■.

當(dāng)且僅當(dāng)2θ-■=■，即θ=■時(shí)，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2■.

此時(shí)AM=AN=2，∠PAB=30°

解法評(píng)析：方法2與方法1本質(zhì)一樣，都是恰當(dāng)設(shè)角構(gòu)建三角函數(shù)模型，但是方法2利用化斜為直的思想，構(gòu)造直角三角形搭建未知量與已知量的橋梁，從而使得運(yùn)算簡(jiǎn)捷一些.

3. 利用基本不等式

設(shè)AM=x，AN=y，∠AMN=α.

在△AMN中，因?yàn)镸N=2，∠MAN=60°，

所以MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN，

即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4.

因?yàn)椤?■，即■=■，

所以sinα=■y，cosα=■=■=■.

cos∠AMP=cos（α+60°）=■cosα-■sinα=■·■-■·■y=■.

在△AMP中，AP2=AM2+PM2-2 AM·PM·cos∠AMP，

即AP2=x2+4-2×2×x×■=x2+4-x（x-2y）=4+2xy.

因?yàn)閤2+y2-xy=4，4+xy=x2+y2≥2xy，即xy≤4.

所以AP2≤12，即AP≤2■.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)，AP取得最大值2■.

解法評(píng)析：通過(guò)三角關(guān)系建立二元等式，借助基本不等式求最值，這是求解最值十分重要的基本方法，難點(diǎn)在于能否構(gòu)建二元等式，并且未知量較多.

4. 利用坐標(biāo)法

如圖3，以AB所在的直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)M（x■，0），N（x■，■x■），P（x■，y■）.因?yàn)镸N=2，

所以（x■-x■）2+3x■=4.

MN的中點(diǎn)K■，■x■.

因?yàn)椤鱉NP為正三角形，且MN=2.所以PK=■，PK⊥MN.

所以PK2=x■-■■+y■-■x■■=3，k■·k■=-1，即■·■= -1，

所以y■-■x■=■x■-■，所以y■-■x■■=■x■-■■.

所以1+■x■-■■=3，即■x■-■■=3，所以x■-■■=■x■.

因?yàn)閤■-■>0，所以x■-■=■x■，

所以x■=■x■+2x■，所以y■=■x■.

所以AP2=x■+y■=2x■+■x■■+■x■=x■+4x■+2x■x■=4+4x■x■≤4+4×2=12，

即AP≤2■.

解法評(píng)析：坐標(biāo)法即為圖形問(wèn)題代數(shù)化，將部分思維量轉(zhuǎn)化為運(yùn)算量，能夠降低思維難度，但是坐標(biāo)運(yùn)算復(fù)雜.

5. 矩陣變換法

如圖4，以AB所在的直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)M（x■，0），N（x■，■x■），P（x■，y■）.

因?yàn)镸N=2，所以（x■-x■）2+3x■=4. 即x■+4x■=4+2x■x■，

所以4+2x■x■≥4x■x■，即x■x■≤2.

因?yàn)椤鱉NP為正三角形，且MN=2.所以PK=■，PK⊥MN.

■順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到■.

■=（x■-x■，y■），■=（x■-x■，■x■）.

所以■? ?■-■? ■ x2-x1■x2=x0-x1 y0，即x■-x■=■（x■-x■）+■x■，y■= -■（x■-x■）+■x■. 所以x■=2x■+■x■，y■=■x■.

所以AP2=x■+y■=2x■+■x■■+■x■=x■+4x■+2x■x■=4+4x■x■≤4+4×2=12，

即AP≤2■.

解法評(píng)析：矩陣變換法給本題注入了一股清風(fēng)，突出變換的作用，能夠?qū)?fù)雜的運(yùn)算簡(jiǎn)單化.但是由于高中階段對(duì)矩陣要求較低，很少有學(xué)生能想到用這個(gè)解法.

6. 平面幾何法

如圖5，由運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，可使△PMN不動(dòng)，點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng). 由于∠MAN=60°，所以點(diǎn)A在以MN為弦的一段圓?。▋?yōu)?。┥希O(shè)圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，由圖形的幾何性質(zhì)知：AP的最大值為PF+R.

在△AMN中，由正弦定理知：■=2R，

所以R=■，所以FM=FN=R=■. 又PM=PN，所以PF是線段MN的垂直平分線.

設(shè)PF與MN交于E，則FE2=FM2-ME2=R2-12=■，即FE=■.

又PE=■，所以PF=■，所以AP的最大值為PF+R=2■.

解法評(píng)析：平面幾何法讓人耳目一新，更加揭示本題的本質(zhì)，從∠MAN=60°，MN=2這一組對(duì)角對(duì)邊為定值，也許能讓人聯(lián)想到正弦定理和三角形的外接圓，從而探尋到解題思路.只有平時(shí)經(jīng)常增強(qiáng)圖形意識(shí)，強(qiáng)化讀圖、識(shí)圖、想圖、用圖的能力，才能不斷增強(qiáng)感覺(jué)，提升解題能力.

■反思感悟

對(duì)于數(shù)學(xué)解題，很多時(shí)候剛開(kāi)始可能沒(méi)有思路，或許思路太多導(dǎo)致無(wú)從上手，那么此時(shí)需要我們能夠靜下心來(lái)認(rèn)真讀題、冷靜分析，做出合理恰當(dāng)?shù)倪x擇. 平時(shí)解題時(shí)應(yīng)當(dāng)盡量用多種方法解題，通過(guò)對(duì)一道題的深入探究，回顧和深化相關(guān)的知識(shí)及解題思想方法，實(shí)現(xiàn)一類問(wèn)題的解決，即通常我們說(shuō)的通過(guò)一題多解，最終實(shí)現(xiàn)多題一解.

在掌握基本思想方法的同時(shí)，還要善于方法的選擇和優(yōu)化，主動(dòng)歸納、學(xué)會(huì)總結(jié)，這樣在遇到問(wèn)題時(shí)，才會(huì)少走彎路，這樣的解題才更加有意義.