王莎莎

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的最終目標(biāo)指向是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如何能將這一目標(biāo)落實到日常課堂教學(xué)中，是高中教師面臨的重大課題，不同的數(shù)學(xué)分支對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的側(cè)重點會有差異. 文章重點闡述了對“直觀想象素養(yǎng)”的理解，并通過“基本不等式”第一課時的教學(xué)設(shè)計為例說明如何在課堂教學(xué)中有效落實直觀想象素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀;空間想象;直觀想象素養(yǎng);課堂教學(xué)

高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)主要包含以下六個方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析. 這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個有機(jī)整體. “直觀想象”是由兩個詞“直觀”與“想象”組合而成的，在以前的大綱中它們分別是“幾何直觀”與“空間想象”的簡稱. 它們既相互獨(dú)立又存在一定的關(guān)系，從思維過程順序看，應(yīng)該“直觀”在前，“想象”在后.那么這兩者究竟存在什么樣的關(guān)系？兩個詞合成一個詞后又有什么內(nèi)涵的變化？如何在教學(xué)中落實“直觀想象”素養(yǎng)？這些都是我們應(yīng)該理清的基本問題.

■何為直觀想象

1. 直觀與幾何直觀

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為“數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握”;而西方哲學(xué)家通常認(rèn)為“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)的認(rèn)識”;心理學(xué)家則認(rèn)為“直觀是從感覺的具體的對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的能力”.

徐利治先生提出，直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是將相對復(fù)雜、抽象的問題“圖形化”，利用圖形描述問題，進(jìn)而借助圖形分析、解決問題.

上述可見，直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢，直觀的對象不一定是幾何圖形，而幾何直觀則注重對幾何圖形的感知.

2. 想象與空間想象

普通心理學(xué)解釋：想象是人在頭腦里對已儲存的表象進(jìn)行加工改造形成新形象的心理過程. “想象”并不是憑空生成的思維能力，比如先天聾啞人就不太可能想象出動聽的音樂.

空間想象則是以現(xiàn)實世界為背景，基于對幾何圖形的運(yùn)動、變換和位置關(guān)系的把握，對事物的幾何表象進(jìn)行加工、改造，甚至去創(chuàng)造新的空間想象.

由此可見，想象這一心理過程所形成的新形象也并不一定是空間圖形，而空間想象所形成的新形象就是空間圖形.

3. 核心素養(yǎng)中的直觀想象

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中對“直觀想象”核心素養(yǎng)的界定：“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系，形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律;利用圖形描述，分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路. ”■[1]

通過對上述三個名詞“直觀”“想象”“直觀想象”比較分析，筆者對新課標(biāo)提出的直觀想象這一核心素養(yǎng)形成以下幾點認(rèn)識：

（1）直觀想象是對幾何直觀、空間想象的融合與發(fā)展.分解開來，直觀屬于認(rèn)識過程，想象屬于認(rèn)識方法;聯(lián)系來看，想象可建立在直觀的基礎(chǔ)之上，視為直觀的延伸，在直觀后想象，通過想象能更好地提升對事物的認(rèn)識，二者結(jié)合為一個連續(xù)性的整體.

（2）直觀想象的內(nèi)涵更為豐富，不再局限于幾何圖形，函數(shù)、向量、數(shù)列、不等式等問題都可以作為直觀的對象、想象的素材.例如，“糖水加糖，糖水會變甜”，在這個實際問題中可以帶給學(xué)生一直觀想象，那就是當(dāng)一個量在增大時，另一個量也會隨之增大，從函數(shù)的性質(zhì)來看就是函數(shù)單調(diào)遞增. “如何用函數(shù)的性質(zhì)表示這一現(xiàn)象”就是一個直觀想象的過程■[2]. 同時，這個糖水濃度問題也很形象地證明了不等式■<■（a>0，b>0，c>0），從生活實際問題這一現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)不等式，這也是直觀想象的過程.

（3）直觀想象的目標(biāo)要求更高，在能力方面它指向數(shù)形結(jié)合、幾何直觀、空間想象等三個能力;在意識方面它強(qiáng)調(diào)運(yùn)用直觀的手段以及借助直觀展開想象去思考問題;在感悟事物方面，能借助數(shù)學(xué)直觀，依托情境去感悟事物的本質(zhì).

■為何要重視直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)

（1）直觀想象素養(yǎng)具有很高的學(xué)科價值和育人價值. 2017年版的新課標(biāo)指出直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，重視直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，有助于學(xué)生提升自我觀察發(fā)現(xiàn)的能力與數(shù)形結(jié)合的能力，有助于學(xué)生發(fā)展幾何直觀和空間想象能力;能更好地增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，提升在具體的情境中感悟事物的本質(zhì)的能力.

（2）直觀想象在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體系中具有重要的地位，它與其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)密不可分. 例如，在復(fù)雜的情境中發(fā)現(xiàn)和解決實際問題，通常需要通過直觀想象對問題進(jìn)行分析，探尋問題的實質(zhì)，再通過數(shù)學(xué)抽象或數(shù)學(xué)建模將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;在進(jìn)行復(fù)雜的邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算中，需要通過直觀想象來理清邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算的思路，探尋研究的方法與路徑，將復(fù)雜的問題簡單化;在進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析時，也需要通過直觀想象將數(shù)據(jù)圖表化，并利用圖表和相關(guān)的統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理■[3].

■如何在數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

史寧中教授在一文中說道：“數(shù)學(xué)知識的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識的確定依賴于推理，也就是說，在大多數(shù)的情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是‘看出來的而不是‘證出來的，所謂‘看是一種直覺判斷，這種直覺判斷建立在長期的有效的觀察和思考的基礎(chǔ)上. 直觀感知的能力是先天的，但一個好的直觀感知能力的養(yǎng)成卻是依賴于經(jīng)驗的.”■[4]史寧中教授在另一文中也指出：“直觀不是‘教出來的，而是自己‘悟出來的，這就需要經(jīng)驗積累.”■[5]這些見解，對我們培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象這一核心素養(yǎng)有很好的指導(dǎo)意義.

師：很好，這位同學(xué)通過觀察式子結(jié)構(gòu)聯(lián)想到等差數(shù)列與等比數(shù)列，于是基本不等式又可以描述為兩個正數(shù)的等差中項不小于等比中項. 剛才生1看出■是a，b的算術(shù)平均數(shù)，但不知道■有什么含義，老師今天告訴大家，■叫作a，b的幾何平均數(shù)，因此基本不等式可以描述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù). （為什么叫幾何平均數(shù)？稍后做解釋）

此時教師跟著在黑板上板演：

a，_____，b ■ a，■，b

a，_____，b ■ a，■，b

師：剛才同學(xué)們從數(shù)的角度對■，■與a，b的關(guān)系做了很好的解讀，請大家再觀察■，■與a，b，你還能從其他數(shù)學(xué)角度作更多的想象嗎？

生3：既然可以理解為等差數(shù)列與等比數(shù)列，那么應(yīng)該可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的圖像性質(zhì)來刻畫它們的關(guān)系.

生4：我們平常用字母a，b來表示線段，是不是可以用線段的長度來刻畫它們呢？

師：這兩位同學(xué)的想象力非常好，能夠用數(shù)學(xué)的方式作更多的聯(lián)想，剛才幾位同學(xué)聯(lián)想的主要有兩個角度：（1）數(shù)列的圖像;（2）幾何線段. 前面我們利用面積這個幾何關(guān)系推導(dǎo)得到了基本不等式，這樣一來同學(xué)們就賦予了基本不等式更多的幾何背景.下面分組討論，分別從數(shù)列、線段的角度通過構(gòu)造證明基本不等式.

小組1：如圖5，AB=a，CD=b，E是AC的中點，則EF=■，EG=■，由數(shù)列圖像得EF≥EG，即■≥■（a>0，b>0）.

小組2：如圖6，AC=a，BC=b，以AB為直徑作圓，過C作AB的垂線交圓于D，E兩點. 由相似可得CD=■，而OD=■，由圖得OD≥CD，所以■≥■（a>0，b>0）.

師：兩個小組都從各自的角度通過分析構(gòu)造，得到了基本不等式■≥■（a>0，b>0）. 從圖6我們可以看到■所表示的幾何線段，這就是它為什么叫幾何平均數(shù)的緣由.下面哪位同學(xué)能把今天這節(jié)課的內(nèi)容作簡要的梳理，我們從哪些角度認(rèn)知了這個不等式？

生5：首先我們從圖形的面積角度得到了兩個不等式，然后又從數(shù)的運(yùn)算以及等差數(shù)列、等比數(shù)列兩個角度解讀了基本不等式，最后又從指數(shù)函數(shù)圖像與一次函數(shù)圖像以及圓中的弦與直徑的關(guān)系解釋了基本不等式.

師：非常好，就代數(shù)層面而言，它涉及兩個正數(shù)的運(yùn)算，即通過加、乘、乘方、開方等運(yùn)算產(chǎn)生的不等關(guān)系，也是兩個正數(shù)等差中項與等比中項的大小關(guān)系. 從幾何角度審視，可以進(jìn)行如下理解：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大;在以a+b為斜邊的直角三角形中，等腰直角三角形的高最長;在同一個圓中，弦長不大于直徑，等等. 還有很多視角、很多知識與基本不等式有著前世今生的緣分，它是很多重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的認(rèn)識基礎(chǔ)，小小一個不等式，可以貫通代數(shù)、幾何等知識，而且不等式中涉及的是代數(shù)、幾何中的“基本量”.正因此，不等式■≥■（a>0，b>0）被稱為“基本不等式”.

設(shè)計意圖：從形的直觀中聯(lián)想到數(shù)量的關(guān)系，再由數(shù)之關(guān)系聯(lián)想到形的結(jié)構(gòu)形態(tài)，讓學(xué)生不斷在直觀中發(fā)揮想象，在想象中提高對基本不等式的認(rèn)識與“悟”性，收獲經(jīng)驗.教師設(shè)計恰當(dāng)?shù)那榫骋龑?dǎo)學(xué)生從不同角度來探究學(xué)習(xí)，這不僅讓學(xué)生對基本不等式知識的本質(zhì)有更深刻的認(rèn)識，提升數(shù)形結(jié)合的能力，更能領(lǐng)略到數(shù)學(xué)知識的前后相互聯(lián)系與本身的內(nèi)在幾何背景，提升直觀想象素養(yǎng).

■結(jié)束語

直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)與形成不是一蹴而就、立竿見影的，某種意義上來說，核心素養(yǎng)并不是教師教出來的，它一定是學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中、在數(shù)學(xué)定理的探究過程中、在數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與解決過程中逐步養(yǎng)成的，親身經(jīng)歷、慢慢去體會、慢慢去“悟”和“養(yǎng)”是素養(yǎng)提升的必要條件. 優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要在創(chuàng)設(shè)合適情境上下功夫，在指導(dǎo)學(xué)生如何觀察數(shù)學(xué)對象上動腦筋，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題上作引導(dǎo)，在學(xué)生自主探究過程中盡量放手，在學(xué)生研討活動中平等參與. 因此需要教師不斷在實踐中上下求索，不斷改進(jìn)、優(yōu)化課堂教學(xué)，把培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)落實在教學(xué)的每個環(huán)節(jié)中.？搖？搖

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國教育部制訂. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 金玉明. 例談直觀想象能力[J]. 新課程（下），2016（11）.

[3]? 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M]. 高等教育出版社，2018.

[4]? 史寧中. 數(shù)學(xué)的抽象[J]. 東北師大學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2008（05）.

[5]? 史寧中. 數(shù)學(xué)的基本思想[J]. 數(shù)學(xué)通報，2011（01）.