李其龍

[摘? 要] 文章對平面向量基本定理課堂教學(xué)進(jìn)行反思與重構(gòu). 從落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)出發(fā)，在教師的問題導(dǎo)向驅(qū)動下，讓學(xué)生進(jìn)行作圖操作，層層深入地探究問題. 讓學(xué)生從被動接受數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)向自主探索數(shù)學(xué)概念，經(jīng)歷和體驗(yàn)概念的產(chǎn)生和完善過程從而提高數(shù)學(xué)能力，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根的目的.

[關(guān)鍵詞] 課堂教學(xué);問題導(dǎo)向;自主探索;素養(yǎng)生根;反思;重構(gòu)

■引言

新的教學(xué)形勢下，如何能夠讓學(xué)生從被動接受數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)向自主探索數(shù)學(xué)概念，經(jīng)歷和體驗(yàn)概念的產(chǎn)生和完善過程從而提高數(shù)學(xué)能力？如何在課堂教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的滲透和落實(shí)？

下面是筆者以平面向量數(shù)量積課堂教學(xué)為例，對上述問題進(jìn)行的反思和重構(gòu).

■平面向量基本定理課堂教學(xué)的若干反思與思考

1. 關(guān)于問題情境的反思和思考

向量具有豐富的實(shí)際背景，是重要的數(shù)學(xué)模型和物理模型. 那么，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的最好辦法是經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程[1]. 但是，很多教師不重視課本上的物理背景引入，或者直接跳過這一環(huán)節(jié)直奔定理內(nèi)容，這使得學(xué)生錯過一個用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的機(jī)會，更談不上提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力. 縱觀平面向量整章內(nèi)容，幾乎每節(jié)內(nèi)容起始部分都有一個實(shí)際的物理背景問題，在例題中也反復(fù)出現(xiàn)實(shí)際的物理問題，這也在提示我們：在實(shí)際教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生對現(xiàn)實(shí)原型進(jìn)行觀察，充分發(fā)揮現(xiàn)實(shí)原型對抽象的數(shù)學(xué)概念的支撐作用. 所以，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，從火箭升空的速度分解，結(jié)合力的分解的平行四邊形法則，提出“平面內(nèi)任一向量是否可以用兩個不共線的向量來表示”這一問題，是本節(jié)內(nèi)容最好的問題情境.

2. 關(guān)于定理抽象過程的反思與思考

平面向量基本定理是高中數(shù)學(xué)核心概念之一[2]，是把一維的向量共線定理向二維平面的推廣，也是后面將要學(xué)習(xí)的三維空間向量的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，處理得當(dāng)對向量相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)和研究有綱舉目張的作用.

教師滿堂灌式的講解，學(xué)生死記數(shù)學(xué)概念和機(jī)械模仿做題固然也能讓學(xué)生掌握定理，但是缺少學(xué)生參與的課堂是沒有靈魂的. 只有讓學(xué)生真正參與課堂研究，進(jìn)行自主探索數(shù)學(xué)概念，經(jīng)歷和體驗(yàn)概念的產(chǎn)生及完善的過程才能提高數(shù)學(xué)能力，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根的目的.

此前，學(xué)生對于向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算停留在幾何直觀上，從幾何圖形認(rèn)識到代數(shù)符號認(rèn)識需要一個過程. 通過問題驅(qū)動，讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探索，通過自己動手做數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生主動探求知識、合作交流的意識，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的能力. 這也是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去分析問題，用數(shù)學(xué)的語言去表述問題的過程.

基于上述思考，筆者嘗試通過對物理現(xiàn)象的幾何直觀認(rèn)識出發(fā)，層層設(shè)問，步步深入，展開對平面向量基本定理的探究，讓學(xué)生在自主探索過程中體會數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生，體驗(yàn)定理所蘊(yùn)含的思想，感受數(shù)學(xué)思維的形成來落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

■平面向量基本定理課堂教學(xué)的重構(gòu)片段實(shí)錄

片段一：問題情境引入

播放火箭升空短視頻，讓學(xué)生思考兩個物理現(xiàn)象和一個數(shù)學(xué)問題.

兩個物理現(xiàn)象：（1）火箭升空的某個時刻，火箭的速度可以分解成豎直向上和水平向前的兩個分速度;（2）力的分解，一個力可以運(yùn)用平行四邊形法則分解成兩個不共線方向上的力的和.

上面兩個現(xiàn)象都是從幾何直觀上說明，向量可以分解成兩個不共線的向量，兩個不共線向量可以合成一個向量，這些在向量的加法及向量加法的平行四邊形法則中有所體現(xiàn).

問1：那么代數(shù)方面，我們能用數(shù)學(xué)符號表述上述現(xiàn)象嗎？

問2：（數(shù)學(xué)問題）平面內(nèi)，任意一個向量能否用兩個不共線的向量來表示呢？

我們知道，向量可以用一條有向線段表示，這樣，我們既可以從形的角度研究向量，又可以從數(shù)的方面研究向量.

請大家在坐標(biāo)紙上畫一個向量a，再作出a乘2和-2所得的向量c和d.

（1）學(xué)生在平面上任意畫一個向量a，再作出a乘一個數(shù)所得的向量.

（2）任意畫出一個與a不共線的向量b.

學(xué)生動手作圖并在教師的引導(dǎo)下復(fù)習(xí)向量共線定理.

問3：實(shí)數(shù)m乘非零向量a可以得到與a共線的所有向量嗎？

生：可以.

問4：能用數(shù)學(xué)語言描述這一過程嗎？

學(xué)生敘述向量共線定理，教師板書.

問5：向量b是否可以用向量a表示？

生：不可以.

片段二：學(xué)生動手探索，通過做數(shù)學(xué)來體驗(yàn)定理的產(chǎn)生過程

師：我們先研究下面的若干問題，首先在復(fù)習(xí)引入的作圖基礎(chǔ)上完成下面任務(wù).

作圖：

（1）2a+b; （2）-2a+b;

（3）2a-b; （4）-2a-b.

問6：上述問題推廣到一般，ma+nb合成的向量唯一嗎？

問7：若通過取m和n的不同值，ma+nb可以合成平面內(nèi)任何一個向量嗎？

教師用幾何畫板軟件演示向量ma+nb的合成（如圖1），并讓學(xué)生自己通過拖動改變m，n的值觀察向量合成的追蹤痕跡.

探索結(jié)果一：通過取m和n的不同值，ma+nb可以合成平面內(nèi)任何一個向量.

問8：逆向思考一下，任何一個向量是否可以分解到向量a和向量b的方向上呢？

通過幾何畫板的作圖演示，學(xué)生思考并討論該問題.

探索結(jié)果二：在同一平面內(nèi)，任意一個向量c都可以分解成兩個分別在向量a和向量b方向上的向量.

問9：上述幾何現(xiàn)象，用代數(shù)符號表示是什么樣子？

生：c=λ1a+λ2b.

問10：上式中，a與b的系數(shù)λ1，λ2是否唯一？

生：由向量共線定理可知，在a和b方向上分解的向量是唯一的，故系數(shù)λ1，λ2是唯一的.

探索結(jié)果三：在同一平面內(nèi)，任意一個向量c都可以分解成兩個給定向量a和b方向上的向量，分解是唯一的，用代數(shù)符號可以表示為：c=λ1a+λ2b，且λ1，λ2是唯一的一組數(shù).

問11：平面上，任意一個向量c能用任意兩個不共線的向量表示出來嗎？

請學(xué)生分組自行探索：一位學(xué)生畫出一個向量a和任意兩個不共線的向量e1，e2，請組內(nèi)其他學(xué)生進(jìn)行作圖分解. 完成后，進(jìn)行角色交換，再次進(jìn)行相關(guān)探索.

探究結(jié)果四：在同一平面內(nèi)，任意一個向量a都可以分解成兩個不共線的向量e1，e2方向上的向量，分解是唯一的，用代數(shù)符號可以表示為：a=λ1e1+λ2e2，且λ1，λ2是唯一的一組數(shù).

問12：兩個向量e1，e2為何要求不共線呢？請同學(xué)們討論，并結(jié)合前面的探究結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，回答本課開初提出的問題.

生：（1）向量e1和向量e2都為0時不成立. （2）向量e1和向量e2恰有一個為0時，退化為共線向量基本定理. （3）向量e1和向量e2都不為0時，若λ1=0，λ2=0，λ1e1+λ2e2表示0;若λ1與λ2僅有一個為0，退化為共線向量基本定理;一組（λ1，λ2）唯一確定一個向量c.

探究結(jié)果五：同一平面內(nèi)，任意一個向量可以用兩個不共線的向量來表示.

類比向量共線定理的符號表示，上述內(nèi)容用符號語言表述為：如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2（平面向量基本定理生成）.

■課堂重構(gòu)后的思考

在重構(gòu)后的課堂教學(xué)中，經(jīng)歷了從物理現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題，從幾何直觀到代數(shù)抽象. 學(xué)生自己動手做數(shù)學(xué)，選用坐標(biāo)紙作圖，教師通過幾何畫板動畫演示向量ma+nb的合成，學(xué)生通過拖動改變m，n的值觀察向量合成的追蹤痕跡，再到任意的分解. 學(xué)生進(jìn)行觀察和自己動手參與計算機(jī)操作，從視覺和思維上都受到了沖擊. 在問題導(dǎo)向的驅(qū)動下，分階段引導(dǎo)學(xué)生從幾何直觀探索平面內(nèi)任意向量的分解，在探索結(jié)果的基礎(chǔ)上用代數(shù)符號語言進(jìn)行表述，再對符號語言進(jìn)行深入的推敲，直至概念的形成. 在探索過程中體會數(shù)學(xué)思維形成，體驗(yàn)定理所蘊(yùn)含的思想，感受數(shù)學(xué)符號語言的魅力，經(jīng)歷從幾何直觀到代數(shù)抽象的升華. 讓學(xué)生從被動接受數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)向到自主探索數(shù)學(xué)概念的生成. 學(xué)生從經(jīng)歷和體驗(yàn)概念的產(chǎn)生及完善的過程中提高數(shù)學(xué)能力，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根的目的.

數(shù)學(xué)的大廈不是一天建成的，數(shù)學(xué)知識的生成是有跡可尋的. 在課堂教學(xué)中，要讓學(xué)生感受到：數(shù)學(xué)不是高不可攀、與生俱來的，是與人類生活和社會發(fā)展緊密相連的. 可以通過運(yùn)用基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想進(jìn)行探究，在探究的經(jīng)歷中獲得基本活動經(jīng)驗(yàn)，在活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]? 單墫. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書（數(shù)學(xué)4）[M]. 南京：江蘇教育出版社，2012.

[2]? 程仕然，蔣智東. 蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（必修）數(shù)學(xué)》中核心概念認(rèn)知情況的調(diào)查報告[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（15）.