王國(guó)蘭，賈慶菊

二次型正定性在多元隱函數(shù)極值中的應(yīng)用

王國(guó)蘭，賈慶菊

（山西工商學(xué)院 計(jì)算機(jī)信息工程學(xué)院，山西 太原 030006）

利用二次型的正定性及隱函數(shù)的存在定理，給出了多元隱函數(shù)極值存在的必要條件，得到了一個(gè)快速判斷多元隱函數(shù)極值的新方法。

矩陣；正定性；多元隱函數(shù)；極值

1 問(wèn)題的提出

在管理科學(xué)、最優(yōu)設(shè)計(jì)、系統(tǒng)控制等許多領(lǐng)域中，很多實(shí)際問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)或約束條件很難用線性函數(shù)表達(dá)。解決這種問(wèn)題要用到非線性規(guī)劃的方法，如果非線性規(guī)劃的最優(yōu)解存在，自然離不開(kāi)多元函數(shù)極值的討論。一般教科書(shū)僅限于二元函數(shù)極值判定的討論，文獻(xiàn)[1]僅給出了多元顯函數(shù)極值問(wèn)題的討論。本文利用二次型的正定性及隱函數(shù)存在定理，給出了多元隱函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件，得到了一個(gè)快速判斷多元隱函數(shù)極值的方法。

2 引理

令

則

引進(jìn)矩陣

在駐點(diǎn)

某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。令矩陣

3 定理及其證明

定理1 設(shè)函數(shù)

則由方程

證明 由題設(shè)知

是

的駐點(diǎn)，即

同理，

證畢。

定理2 設(shè)函數(shù)

在駐點(diǎn)

某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

其中

(3)

在0處取得極小值。當(dāng)(0)為負(fù)定矩陣時(shí)，函數(shù)

證明 由已知

若在

處有

由引理2可知結(jié)論成立。證畢。

4 定理的應(yīng)用

例 求由方程

解 令

解方程組

得駐點(diǎn)1(1,-2,8)，2(1,-2,-2)。

在駐點(diǎn)處，有

顯然

代入數(shù)值，得

同理

顯然(1)為正定矩陣，(2)負(fù)定矩陣，由定理知

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第六版,下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2006:110-111.

[2] 申玉發(fā).矩陣的正定理論在多元函數(shù)極值問(wèn)題中的應(yīng)用[J].鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院學(xué)報(bào),1996,14(3):59-62.

[3] 李忠艷,陸忠臣,陳浩.一類多元函數(shù)極值的快速判別方法及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2003,33(7):96-101.

[4] 葉振信,張浩明,楊浩,等.基于次型正定性多元函數(shù)極值判別法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2014,44(23):303-306.

The Application of Quadratic Positivity in the Extremum of Multiple Implicit Functions

WANG Guo-lan, JIA Qing-ju

(Computer and Information Engineering College,Shanxi Technology and Business University, Taiyuan 030006, China)

In this paper, by using the positive character of quadratic form and the existence theorem of implicit function, we give the necessary condition for the existence of extreme value of multiple implicit function, and get a new method to judge the extreme value of multiple implicit function quickly.

matrix; positive qualitative; multivariate implicit function; extremum

O174

A

1009-9115(2019)06-0037-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2019.06.009

山西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題（GH-17083)

2019-05-21

2019-10-09

王國(guó)蘭（1981-），女，山西太原人，碩士，副教授，研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)。

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）