曹紅，孫同晶，王紅

廣義輪換測量矩陣及其在水下回波信號壓縮感知中的應用

曹紅，孫同晶，王紅

(杭州電子科技大學通信信息傳輸與融合技術國防重點科學實驗室，浙江杭州 310018)

根據壓縮感知中測量矩陣的性質及要求，在輪換確定性測量矩陣的基礎上，通過調整測量矩陣每一列元素的系數，增強列與列之間的相關性，得到廣義輪換測量矩陣，并將其應用于水下回波信號的壓縮感知觀測中。通過無噪聲下不同測量矩陣匹配度和相對誤差隨壓縮比的變化，以及4、0、-3 dB三種信輸入噪比下不同測量矩陣的輸出信噪比、匹配度隨壓縮比的變化，分別對水下回波信號進行處理，比較其性能。仿真結果表明，相比部分哈達瑪等確定性測量矩陣和以高斯為代表的隨機測量矩陣，廣義輪換測量矩陣在輸出信噪比、匹配度、相對誤差等方面有很大提高。同時廣義輪換矩陣為確定性測量矩陣，便于工程實現。

壓縮感知；水下回波信號；廣義輪換測量矩陣

0 引言

Shannon/Nyquist采樣定理[1](Nyquist采樣定理)作為模擬信號與數字信號之間的橋梁，幾十年來一直支撐并引導著現代信號處理各個領域的技術發(fā)展。該定理對信號采樣率的要求較高，為了不失真地恢復出原始信號，信號的采樣率一般不低于信號帶寬的兩倍。由于奈奎斯特采樣定理對信號采樣率的嚴格要求，一些難以克服的問題逐漸出現，如數據量過大、處理步驟多等。DONOHO等[2]、CANDèS等[3~4]在信號稀疏表示的基礎上提出了壓縮感知理論，克服了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理在信號處理中的一些缺點，對信號的采樣和壓縮同時進行處理。壓縮感知理論從低維空間出發(fā)處理信號，避免了在高維空間處理帶來的計算復雜度，此過程中測量矩陣起到關鍵性的作用。它把稀疏信號或者可壓縮的信號，從高維空間投影到一個低維空間上，然后采用一定的優(yōu)化方法從少量數據中恢復出原始信號。該理論在信號處理領域取得了重大突破，它解決了傳統(tǒng)采樣定理一些常見的不可避免的問題，如采樣數據量大、數據存儲空間大、采樣時間長等。該理論在圖像處理和信號處理方面為廣大學者打開了一扇新的大門，為研究者取得重大突破打下了良好的基礎。

壓縮感知分為3個方面：稀疏表示、測量矩陣和重構算法。測量矩陣在其中起到關鍵性的作用，它不僅影響信號的采樣和重構性能，而且在信號的壓縮感知中也起著必不可少的作用。在信號處理中，我們采用固定變量的原則，即采用固定的稀疏矩陣作為稀疏基，若重構算法不變，采用不同的測量矩陣分別對信號進行處理，測量矩陣的性能越好，則恢復原始信號的匹配度越大，相對誤差也會越小，根據能量守恒原理，為使恢復出的信號與原始信號的能量接近，測量矩陣必須滿足的一個條件是有限緊致特性[5](Restricted Isometry Property, RIP)，因此，信號恢復的匹配度和相對誤差與測量矩陣有著直接的關系。常用的測量矩陣有兩種：隨機測量矩陣和確定性測量矩陣。高斯矩陣[6]、貝努利矩陣[6-7]、稀疏投影矩陣[8]等是目前應用廣泛的隨機測量矩陣。隨機測量矩陣的元素具有一定的隨機性，且每個元素獨立同分布，這使得隨機測量矩陣的非相關性很高，因此只需少量的測量數就可以恢復原始信號。已經證實，此類隨機測量矩陣可在統(tǒng)計意義下以較高的概率滿足RIP。但隨機測量矩陣也存在著存儲空間大、計算量和時間復雜度大以及工程實現困難等不可避免的缺點。部分哈達瑪矩陣[9]、托普利茲矩陣[10]、多項式矩陣[11]等是目前應用較多的確定性測量矩陣。與隨機測量矩陣相比，其元素具有一定的確定性，計算量低，易于硬件實現，缺點是與原始信號相比重構效果較差，需要較多的測量數才能精確重構信號。由此可見，確定性測量矩陣的性能與信號重構的效果密切相關，因此構造出自適應的、滿足要求的確定性測量矩陣，使測量矩陣的性能得到提高是目前廣大研究者的研究方向。本文通過改進輪換測量矩陣，修改每一列元素的系數得到廣義輪換矩陣，研究發(fā)現其列與列之間的非相關性有了很大提高。仿真實驗發(fā)現該測量矩陣用于水下回波信號處理中，恢復原始信號性能尤其在信噪比方面有了較大提高。

1 廣義輪換測量矩陣

1.1 輪換確定性測量矩陣

托普利茲矩陣是元素值為{-1,1}的隨機向量，且長度為+-1；輪換矩陣[11]和托普利茲矩陣在構造方式上相似，其構造方式為：第一行隨機生成元素為{-1,1}的向量，且長度為，然后依次循環(huán)得到剩下的-1行，其形式如式(1)所示：

從式(1)的結構以及輪換矩陣的產生，我們得到：輪換測量矩陣是通過對第一行不斷循環(huán)得到第二行、第三行至第行。與托普利茲矩陣存儲長度為+-1的構造向量相比較，輪換測量矩陣只需要存儲長度為的向量，更加節(jié)省空間；由于輪換矩陣是由第一行依次循環(huán)得到的，而第一行又是由隨機的-1或1組成的，因此輪換測量矩陣與托普利茲矩陣具有相近的性質，且同樣滿足RIP條件。

1.2 輪換測量矩陣的改進——廣義輪換測量矩陣

DONOHO等[12]提出的輪換測量矩陣有3個特征：(1) 測量矩陣的列與列之間要有一定的不相關性，即線性獨立；(2) 噪聲的不相干隨機性要在測量矩陣的列向量中得到體現；(3) 范數最小原則，即稀疏度的解最優(yōu)化原則。根據以上3個特征，有兩個問題存在輪換測量矩陣中：(1) 輪換測量矩陣的元素重復出現率較高，都是1或-1，且是隨機性出現，這使列向量之間非相關性也具有一定的隨機性，不容易控制；(2) 構造方式單一，僅僅是由第一行不斷循環(huán)得到，列向量之間的不相干性很難把握，這使輪換測量矩陣的性能時好時壞，容易使相對誤差相差較大，不能與以高斯矩陣為代表的隨機測量矩陣相比較。

為了避免上述輪換矩陣出現的兩個問題，輪換矩陣在通過循環(huán)產生時，對測量矩陣列向量與列向量間元素的系數進行修改，產生新的矩陣——廣義輪換測量矩陣，從而減少相干性，提高矩陣列向量之間類似噪聲的不相干隨機性和非相關性。

由上面得到的廣義輪換矩陣的結構及分析可知，列向量之間的相關性明顯減小，非線性相關性有了很大的提高，同時由于結構的相似性，輪換測量矩陣滿足RIP條件，因此廣義輪換測量矩陣同樣滿足RIP條件。

2 廣義輪換矩陣在水下回波信號中的應用

2.1 信號重構衡量標準

(1) 信噪比：

(2) 匹配度：

(3) 相對誤差：

2.2 仿真實驗分析

為了驗證本文提出的廣義輪換矩陣，選擇離散余弦變換[14]作為稀疏矩陣，選擇正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)[15-16]方法作為重構算法，對圖1所示的不同信噪比的回波信號進行壓縮重構，選取不同的測量數，將高斯測量矩陣、伯努利測量矩陣、部分哈達瑪測量矩陣、托普利茲測量矩陣分別與廣義輪換測量矩陣進行對比分析。

圖1 不同信噪比下3個亮點的原始回波信號

圖2是無噪聲下不同測量矩陣匹配度和相對誤差隨壓縮比的變化圖。

從圖2(a)可以看出無噪聲下不同測量矩陣的匹配度都隨壓縮比的增加而增加，增長的幅度各有不同，在壓縮比較小時托普利茲矩陣的匹配度相對較小，為了不影響圖的整體效果沒參與比較，而廣義輪換矩陣的匹配度在壓縮比較小時與高斯矩陣、伯努利矩陣、部分哈達瑪矩陣相比不占優(yōu)勢，而優(yōu)于托普利茲測量矩陣，但隨著壓縮比的不斷提高，廣義輪換矩陣的匹配度有很大提高，明顯優(yōu)于其它測量矩陣。從圖2(b)中可以看出無噪聲下各測量矩陣的相對誤差隨著壓縮比的增大而減小。相對誤差上，廣義輪換測量矩陣明顯比其他測量矩陣小，隨著壓縮比的增大，各測量矩陣的相對誤差逐漸接近。

圖2 無噪聲下不同測量矩陣匹配度和相對誤差隨壓縮比的變化

針對不同信噪比的回波信號采用上述幾種測量矩陣的處理結果如圖3～5所示。仿真結果表明，在信噪比上，廣義輪換測量矩陣的提高量比其他測量矩陣的提高量都高，且隨著壓縮比的不斷提高，信噪比也比其它測量矩陣呈現一定的提高。匹配度上，相比其它測量矩陣，廣義輪換矩陣也有一定的提高，但不是很明顯。但是由于廣義輪換矩陣是確定性測量矩陣，在工程實現上具有重要的實現意義。

為了進一步比較廣義輪換矩陣與其它矩陣在不同壓縮比情況下的性能指標，表1～3給出了在輸入不同信噪比且壓縮比/=0.1和/=0.5(為測量數，為原始信號數據)兩種情況下的輸出信噪比和匹配度的變化情況。從表中可以看出，當測量數較低時，廣義輪換矩陣相比其他測量矩陣在信噪比和匹配度上有一定的提高，有略微的優(yōu)勢，當壓縮比較大時，廣義輪換矩陣在重構性能指標上有較大提高，尤其在信噪比方面。

圖5 回波信噪比為-3dB時不同測量矩陣的輸出信噪比和匹配度隨壓縮比的變化

表1 輸入信噪比為4 dB時不同測量矩陣輸出指標隨壓縮比的變化

表2 輸入信噪比為0 dB時不同測量矩陣輸出指標隨壓縮比的變化

表3 輸入信噪比為-3 dB時不同測量矩陣輸出指標隨壓縮比的變化

3 總結

本文主要討論了廣義輪換矩陣，在輪換矩陣的基礎上，通過修改每一列元素的系數來增強列與列之間的非相關性。通過廣義輪換測量矩陣在水下回波中的應用，與高斯矩陣，伯努利矩陣等隨機測量矩陣和部分哈達瑪矩陣，托普利茲矩陣等確定性測量矩陣相比較。在有噪聲及無噪聲條件下，從仿真結果及重構原始信號的指標可以看出，廣義輪換測量矩陣比其它測量矩陣在性能指標上有較大的提高；尤其在信噪比方面，當壓縮比較小時信噪比的提高較小，隨著壓縮比的提高，信噪比的提高逐漸增大。另外，廣義輪換矩陣是根據條件自適應產生的，屬于確定性測量矩陣，易于工程的硬件實現。

[1] AKSOYLAR C, ATIA G K, SALIGRAMA V. Sparse signal processing with linear and nonlinear observations: a unified shannon-theoretic approach[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2017, 63(2): 749-776.

[2] DONOHO D L, JAVANMARD A, MONTANARI A. Information-theoretically optimal compressed sensing via spatial coupling and approximate message passing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2013, 59(11): 7434-7464.

[3] CANDèS E J, ROMBERG J, TAO T. Robust uncertainty principles:Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(2): 489-509.

[4] CANDèS E J, TAO T. Near-optimal signal recovery from random projections: universal encoding strategies[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(12): 5406-5425.

[5] WASSERMAN L. RIP RIP (Restricted Isometry Property, Rest In Peace)[J]. Normaldeviate.wordpress.com, 2014.

[6] 程濤. 一種基于壓縮感知的高斯矩陣優(yōu)化方法, CN102622331 B[P]. 2015.

[7] 趙鑫, 李東新. 高斯隨機觀測矩陣的改進[J]. 國外電子測量技術, 2017, 36(5): 25-29.

ZHAO Xin, LI Dongxin. Improvementof to Gaussian random observation matrix[J]. The measurement technology of foreign electronic, 2017, 36(5): 25-29.

[8] 方紅, 章權兵, 韋穗, 等. 基于非常稀疏隨機投影的圖像重建方法[J]. 計算機工程與應用, 2007, 43(22): 25-27.

FANG Hong, ZHANG Quanbing, WEI Hui, et al. Image reconstruction method based on very sparse random projection[J]. The Computer Engineering and Applications, 2007, 43(22): 25-27.

[9] 李少東, 楊軍, 裴文炯, 等. 一種新的量測矩陣在壓縮感知復數重構中的應用[J]. 空軍預警學院學報, 2013, 12(1): 11-15.

LI Shaodong, YANG Jun, PEI Wenjiong, et al. Application of a new measurement matrix in the refactoring of compression-aware complex numbers[J]. Journal of the Air Force Early Warning Academy, 2013, 12(1): 11-15.

[10] 張成, 楊海蓉, 韋穗, 等. 循環(huán)托普利茲塊相位掩模可壓縮雙透鏡成像[J]. 光學學報, 2011, 31(8): 98-103.

ZHANG Cheng, YANG Hairong, WEI Hui, et al. Circulating toplis block phase mask compressible dual lens imaging[J]. Journal of Optics, 2011, 31(8): 98-103.

[11] 陳栩杉, 吳軍華, 楊吉斌, 等. 多項式確定性測量矩陣研究[J]. 現代軍事通信, 2013, 8(3): 16-21.

CHEN Xushan, WU Junhua, YANG Jibin, et al. Polyanometric deter-minism measurement matrix study[J]. Modern military com-munications, 2013, 8(3): 16-21.

[12] DONOHO D, STODDEN V. When does non-negative matrix factorization give correct decomposition into parts?[C]//ELSEVIER, 2003: 2004.

[13] 湯渭霖. 聲吶目標回波的亮點模型[J]. 聲學學報, 1994, 6(2): 92-100.

TANG Weilin. Highlight model of sonar target echo[J]. Journal of Acoustics, 1994, 6(2): 92-100.

[14] 馮飛, 劉培學, 李曉燕, 等. 離散余弦變換在圖像壓縮算法中的研究[J]. 計算機科學, 2016, 43(s2): 240-241.

FENG Fei, LIU Peixue, LI Xiaoyan, et al. Study on the study of discrete cosine transformation in image compression algorithm[J]. The Computer science, 2016, 43(s2): 240-241.

[15] 吳迪, 王奎民, 趙玉新, 等.分段正則化正交匹配追蹤算法[J]. 光學精密工程, 2014, 22(5): 1395-1402.

WU Di, WANG Kuimin, ZHAO Yuxin, et al. Segmented positive orthogal match tracking algorithm[J]. Optical Precision Engineering, 2014, 22(5): 1395-1402.

[16] 楊良龍. 壓縮感知中信號重建算法和確定性測量矩陣研究[D]. 南京: 南京郵電大學, 2013.

YANG Lianglong. Study on signal reconstruction algorithm and deterministic measurement matrix in compression perception[D]. Nanjing: Nanjing University of Posts and Telecommunications, 2013.

Generalized rotation measurement matrix and its application in underwater echo signals

CAO Hong, SUN Tong-jing,WANG Hong

(Fundamental Science on Communication Information Transmission and Fusion Technology Laboratory, Hangzhou 310018, Zhejiang, China)

According to the properties and requirements of the measurement matrix in compressed sensing, a generalized rotation measurement matrix based on the rotation deterministic measurement matrix is proposed by adjusting the coefficients of each column element of the measurement matrix to enhance the correlation between columns, and it is applied to compressed sensing observations of underwater echo signals. By observing the variations of the matching degree and relative error with compression ratio in the condition of noise free, and the variations of the matching degree and output SNR with compression ratio in the condition of input SNR = 4, 0 and-3 dB, the performances of different measurement matrices in underwater echo signals processing are compared. Simulation results show that compared with some deterministic measurement matrices such as Hadamard and the random measurement matrices represented by Gaussian, the generalized rotation measurement matrices have a great improvement in output signal-to-noise ratio, matching degree and relative error. Also the generalized rotation matrix is a deterministic measurement matrix, which is convenient for engineering implementation.

compressed sensing; underwater echo signal; generalized rotation measurement matrix

TN911.7

A

1000-3630(2019)-06-0623-06

10.16300/j.cnki.1000-3630.2019.06.004

2018-04-24;

2018-07-05

“十三五”預研領域基金項目(6140243010116DZ04001)資助

曹紅(1990－), 男, 安徽阜陽人, 碩士研究生, 研究方向為信息融合與信息處理。

孫同晶,E-mail: stj@hdu.edu.cn