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      把握相交與平行

      2020-02-04 06:37:30孔凡哲
      關鍵詞:三角尺直尺平行線

      孔凡哲

      “相交線與平行線”是圖形與幾何的基本內容.在本章中,我們將在已有知識與經驗的基礎上,繼續(xù)研究兩條直線的位置關系,在學習中,我們不僅要了解補角、余角、對頂角以及它們的性質,而且要掌握平行線的特征以及判別兩直線平行的條件,同時,我們將進一步探索相交與平行的秘密,積累幾何活動經驗,培養(yǎng)幾何直觀,提高推理能力。

      一、生活中的平行線

      我們的生活中處處可見相交線和平行線,諸如,棋盤上的橫線和豎線,道路上的斑馬線,文具盒的相鄰兩邊,操場上的雙杠等,

      其實,生活中處處離不開平行線.窗戶上下邊框是平行的,保證玻璃窗能順利被推拉:拉緊的電線之間是相互平行的,這樣既美觀又能保證安全,

      二、全面理解平行的含義

      教科書中把“在平面內,兩條不相交的直線”叫作平行線,這里的不相交是指永遠不相交,這里的表述其實是說,在平面內,兩條(不重合的)直線只有兩種位置關系,其中一種是相交,即兩條直線僅有一個公共點,還有一種是平行,即兩條直線沒有任何交點.兩條直線會不會有兩個或者兩個以上的公共點呢?如果有,兩條直線一定重合?。▋牲c確定唯一的一條直線)

      對于兩條直線之間的平行關系,其實有多種理解方式:

      (1)木工師傅雖然不一定學過數(shù)學,卻能畫平行線,方法是通過“兩條垂直于同一直線的直線互相平行”的操作活動,如圖1所示,

      其中的道理就在于,在同一平面內,只要兩條直線同時垂直于同一條直線,這樣的兩條直線就是相互平行的.

      (2)兩條直線總是有相同的距離,這兩條直線是平行的,例如,圖2中的兩根柱子都是直立的,其長度是一樣的,這時,橫著的木條平行于地面上對應的直線.

      三、在解決問題的活動中積累幾何活動經驗

      例1如下頁圖3所示,要在長方形木板上截一個平行四邊形,使它的一組對邊在長方形的邊緣上,另一組對邊中的一條為AB.只有一個圓規(guī)和一把沒有刻度的直尺.你能解決問題嗎?

      分析:同位角相等,兩直線平行.過直線外一點C作已知直線的平行線,相當于過點C作∠ECD等于已知的∠CAB.

      解:以點A為圓心,以任意長為半徑畫弧,交AB于點日,交AC于點G;再以點C為圓心,以同樣長(AH)為半徑畫弧,交CE于點P:再以點P為圓心,以線段GH的長為半徑畫弧,交前面所畫的弧于點D;連接CD并延長交長方形的邊于點F.這樣得到線段CF平行于AB于是,我們就得到了符合題意的平行四邊形ABFC(如圖4).

      進一步的討論:

      過直線外一點,還能有哪些方法可以畫出與這條直線相互平行的直線呢?

      敏敏同學認為:利用判定方法1“兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行”,需要沒有刻度的直尺和三角尺.首先把三角尺的斜邊放在直線a上,將直尺的一邊靠在三角尺的一條直角邊上;然后按住直尺不動,將三角尺緊靠直尺移動,使得三角尺的斜邊過已知點;最后沿著三角尺的斜邊畫一條直線b,則b∥a.如圖5所示,

      亮亮同學認為:利用判定方法2“如果內錯角相等,那么兩直線平行”,需要圓規(guī)和沒有刻度的直尺.首先過點P畫任意一條直線b與直線a交于點A;其次以點A為圓心,以任意長為半徑畫弧,交直線6于點日,交直線a于點G;再以點P為圓心,以相同長度(AH)為半徑畫弧,交直線b于點C;然后以點C為圓心,以線段GH的長為半徑畫弧,交前面所畫弧于點D;最后連接PD并延長得到與直線口平行的直線c.如圖6所示,

      小小同學認為:利用“平行線之間距離處處相等”,需要三角尺和圓規(guī).首先,將三角尺的一條短直角邊放在直線口上,移動三角尺的另一長直角邊,使其過點P,沿著三角尺的長直角邊畫直線與直線a交于點A;然后繼續(xù)移動三角尺,使其過直線a上任意點B,再次沿著長直角邊畫直線a的垂線;再以點B為圓心,以線段PA的長為半徑畫弧,與垂線交于點C;最后連接點P,C并延長得到直線b,它是與直線a互相平行的直線,如圖7所示,

      樂樂同學認為:只要一張紙就能找到這條平行線.先折出直線a的過點P的垂線m.再折出垂直于直線m的另一條直線b即可,兩個交點處的角都是直角,由“同位角相等,兩直線平行”,可得直線b是與直線a相互平行的直線.如圖8所示.

      對于上面四位同學的不同思路,你認為誰的思路更好呢?

      四、探究圖形性質,培養(yǎng)幾何直觀

      1.(與同學一起合作完成)將兩把直尺交叉放在一起(如下頁圖9),一位同學按住交叉處,另一位同學轉動其中一把直尺,觀察隨著直尺的轉動,兩把直尺的夾角之間的關系.

      可以發(fā)現(xiàn),相鄰的角相加等于1800.相對的兩個角,一個角隨著另一個角的增大(減?。┒龃螅p?。瑢斀窍嗟?

      2.一位同學在白紙上,固定三角尺ABC的AC邊,并延長AC.另一位同學將三角尺CDE的直角頂點與三角尺ABC的直角頂點重合,并延長DC,如圖10. ∠DCP與∠ACF就是一組對頂角.你能說出其中的原理嗎?

      請同學們自己思考.

      五、發(fā)展空間觀念,培養(yǎng)推理能力

      例2如圖11所示,要把角鋼彎成120°的鋼架,則在角鋼上截去的缺口是____°.

      分析:這道題主要考查了同學們的空間想象能力,

      解:因為把角鋼彎成120°的鋼架,在截之前的角是平角180°,所以缺口的角等于180°-120°=60°.故答案為60.

      例3 (2019年甘肅)如圖12,將一塊含有30°角的三角尺的頂點放在直尺的一邊上,若∠1=48°,則∠2的度數(shù)為(? ).

      A.48°

      B.78°

      C.92°

      D.102°

      分析:如圖13所示,直接利用已知角的度數(shù)結合平行線的性質得出答案.此題主要考查了平行線的性質,正確得出∠3的度數(shù)是解題關鍵.

      解:如圖13所示,將一塊含有30°角的三角尺的頂點放在直尺的一邊上,∠1=48°,∠ 2=∠3=180°-48°-30°=102°,故應選D.

      1.(2019年濟寧)如圖14,直線。,6被直線c,d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,則∠4的度數(shù)是(? ).

      A.65°

      B.60°

      C.55°

      D.75°

      2.(2019年衡陽)如圖15,已知AB∥CD,AF交CD于點E,且BE⊥AF,∠BED=40°,則∠A的度數(shù)是(? ).

      A.40°

      B.50°

      C.80°

      D.90°

      3.如圖16,若直線a//b,∠1=45°,∠2=30°.則∠FPE=____

      _____________________.

      參考答案:1.C 2.B 3.75。

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