丁愛平

[摘 要]學(xué)生的頭腦中藏著“沉默的問題”，這些問題是學(xué)生最真實、最隱秘的數(shù)學(xué)思考，是非常值得關(guān)注的教學(xué)資源。教師應(yīng)“潛”到學(xué)生思維深處，捕捉并點燃“沉默的問題”，讓學(xué)生自由暢想，增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力值，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法值，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效能值。

[關(guān)鍵詞]沉默的問題;動力值;方法值

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）35-0001-03

問題是數(shù)學(xué)的心臟。教師以問題驅(qū)動學(xué)生的學(xué)習(xí)向深度推進，但教師看到了學(xué)習(xí)單上的問題筆記，聽到了學(xué)生的提問，這些問題是否就是學(xué)生學(xué)習(xí)的全部真相呢？學(xué)生解決了這些問題是否就真的沒有問題了呢？

教學(xué)中經(jīng)常會有一些學(xué)生的問題不容易被教師發(fā)現(xiàn)，因為得不到教師的關(guān)注，或者學(xué)生來不及思考，有的學(xué)生就將其放在自己的學(xué)習(xí)“暗箱”中，這類問題，我們稱之為“沉默的問題”。它具有以下幾個特點：一是兒童化，帶著鮮明的兒童特質(zhì)，是兒童眼中的數(shù)學(xué);二是個性化，提出問題的角度與眾不同;三是潛在性，不易察覺、隱而未發(fā)，容易被忽略;四是非結(jié)構(gòu)化，問題是隨機生成的，具有跳躍性，呈散點狀分布。打開學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“暗箱”，喚醒“沉默的問題”，有利于教師洞見學(xué)生思維的最深處，使學(xué)生開啟新的學(xué)習(xí)素材、新的學(xué)習(xí)方式，擁有“新”的發(fā)現(xiàn)，更有“心”的發(fā)現(xiàn)。

一、捕捉點燃“沉默的問題”，增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力值

有這樣一個故事：年輕的水手問老船長：“如果前方海面上有一個巨大的暴風(fēng)圈迎面襲來，您將如何應(yīng)對？”老船長說：“如果船頭掉轉(zhuǎn)180°返航，暴風(fēng)圈在后面追船，只會延長船與暴風(fēng)圈接觸的時間，非常危險。如果將船向左或右轉(zhuǎn)90°，會使船身增加與暴風(fēng)圈接觸的面積，暴風(fēng)雨一到，大半個船身都處在它的肆虐范圍之下，更加危險。只有一個辦法，就是不偏不倚地迎向暴風(fēng)圈，沖過去！這樣可以使船與暴風(fēng)圈接觸的面積最小，由于船的速度和暴風(fēng)圈的速度組合在一起，也可以大大縮短船體與暴風(fēng)圈接觸的時間，船很可能就能安全沖過暴風(fēng)圈?！?/p>

1.審慎問題速抉擇，突出“快”而“準”

在課堂教學(xué)中，之所以有很多學(xué)生的問題被“沉默”，是因為教師面對即將席卷而來的思維風(fēng)暴選擇了避讓。表面上看似乎獲得了安全感，實則錯失了一次讓學(xué)生經(jīng)歷思維激烈交鋒的珍貴的學(xué)習(xí)體驗。學(xué)生的問題只在一瞬間閃現(xiàn)，教師要快速抉擇：說，還是不說？

例如，教材在“認識方程”的例2（如圖1）中編排的第二幅圖的天平下面寫著150。顯然，教材的意圖是希望學(xué)生通過觀察天平左邊的物體，寫出x+50=150，然后在若干式子的分類中揭示方程的含義（如圖2）。

筆者試教時，只出示了圖1的第二幅圖的天平圖，讓學(xué)生自由寫式子。絕大多數(shù)學(xué)生寫的是x+50=150，有幾個學(xué)生寫的是x=100，但他們認為x+50=150更有道理，也就沒有舉手提問。不提問，不代表沒有問題。

x=100這個式子到底是不是方程，教師一直有爭議：一種觀點認為它不是方程，雖然它符合教材上“含有未知數(shù)的等式是方程”的描述，但是它并沒有讓未知數(shù)x與已知數(shù)建立加減乘除的運算關(guān)系，它“沒干活”，所以它不是方程。另一種觀點認為它是一種特殊的方程，相當于x×1=100，確實在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立了等量關(guān)系。

曾有專家把形如x=100的式子稱為“不好的方程”。既然問題來了，就沒必要選擇避讓，因為不準這個問題“開口說話”，在后續(xù)的列方程解決實際問題中還是會出現(xiàn)x=12+24這樣的“方程”。直面暴風(fēng)圈，也許穿越暴風(fēng)圈的時間更短。

當然，并非所有的學(xué)生的問題都要全班交流，如果與本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容關(guān)聯(lián)不大，或者一時半會根本解釋不清，又或者容易強化負面信息的，均不宜在課堂上濃墨重彩，可以私下跟學(xué)生交流。關(guān)注“沉默的問題”，要突出“快”和“準”，反應(yīng)太慢，如果學(xué)生自己疏于提問，教師也許會錯失寶貴的生成性資源。

2.分析問題說真話，突出“容”和“賞”

當學(xué)生的“沉默的問題”被喚醒，思維的暴風(fēng)雨頃刻而至。對此，教師應(yīng)以包容、欣賞的眼光組織學(xué)生思辨。

例如，當筆者呈現(xiàn)“x=100”后，有學(xué)生認為式子是錯的，天平的兩端明明有50克的砝碼，但是這個式子沒有寫進去。有學(xué)生反駁：“天平兩端都有50克的砝碼，索性抵消掉，x=100可以表示兩邊物體質(zhì)量的大小關(guān)系?！薄澳敲磝=100是不是方程？”經(jīng)過辯論，很多學(xué)生認同x=100是方程，只是這個方程“太瘦了”，它是從方程x+50=150“減肥瘦身”而來的，可叫它“瘦子方程”。

相比專家所說的“不好的方程”，筆者更喜歡學(xué)生命名的“瘦子方程”，因為它更有想象力和張力。方程就是在復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中尋找未知數(shù)與已知數(shù)之間的等量關(guān)系，有一些原始方程的結(jié)構(gòu)很豐富，利用等式的性質(zhì)通過一次次化簡，步步簡約，最終求得方程的解。在總結(jié)這場辯論時，筆者充分肯定了學(xué)生的思考，并且提出：“今天是第一次學(xué)習(xí)方程，方程的含義可不僅僅是‘含有未知數(shù)的等式這個形式上的意思，它強調(diào)一種等量、平衡的關(guān)系，順向思考，以后在解決實際問題的過程中慢慢體會?！?/p>

如果教師選擇屏蔽“沉默的問題”，學(xué)生的頭腦中雖有疑惑“我的答案怎么跟別人的不一樣？錯了嗎？”，但迫于教師往下推進教學(xué)環(huán)節(jié)而沒有提問的機會，那么這個問題極有可能被放進學(xué)習(xí)的“暗箱”中。如果學(xué)生的問題一次次地被忽視，學(xué)生探索的勇氣、學(xué)習(xí)的興趣和自我的發(fā)現(xiàn)與確認將會喪失。每一個學(xué)生都渴望被關(guān)注、被寬容、被賞識，學(xué)生的“沉默的問題”需要被激發(fā)、被盤活、被點燃。

二、回爐再造“沉默的問題”，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法值

很多時候，學(xué)生只能叫“在學(xué)習(xí)”，而不是“會學(xué)習(xí)”。美國心理學(xué)家卡爾·羅杰斯在《自由學(xué)習(xí)》一書中提出：“只有學(xué)會了如何學(xué)習(xí)、如何適應(yīng)、如何改變，才能了解到?jīng)]有任何知識是確定的，只有獲取知識的能力可以為我們帶來安全感。具備了這種能力的人才是受過教育的人。”

學(xué)生的“沉默的問題”需要回爐再造，這不是為了復(fù)習(xí)該問題的答案，而是為了引導(dǎo)學(xué)生站在學(xué)習(xí)的時間軸上尋找新舊知識間的聯(lián)系，學(xué)會反省、學(xué)會學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)的方法值。

1.專題回放，開展焦點式訪談

有的“沉默的問題”雖然出自個別學(xué)生，但是具有挑戰(zhàn)性，單靠學(xué)生獨立探究很難解決，這就需要教師設(shè)計專題以回放問題，開展學(xué)生焦點式訪談，打開學(xué)生思維的結(jié)。

例如，李叔叔的養(yǎng)雞場今天一共收260千克雞蛋，每15千克雞蛋裝一箱，可以裝多少箱？還剩多少千克雞蛋？

多數(shù)學(xué)生列式“260÷15=17（箱）……5（千克）”，有幾個學(xué)生列式“260÷15=260÷5÷3=52÷3=17（箱）……1（千克）”。學(xué)生都知道“260÷15=17（箱）……5（千克）”一定是正確的，他們還在之前的學(xué)習(xí)中初步建立了數(shù)學(xué)模型：當除數(shù)是兩位數(shù)時，可以轉(zhuǎn)化成連續(xù)除以兩個一位數(shù)，這樣計算更簡便，例如270÷18=270÷9÷2=15。但是“260÷15=260÷5÷3=52÷3=17（箱）……1（千克）”，余數(shù)怎么變小了呢？計算過程沒問題，難道之前的規(guī)律有限定范圍，不能有余數(shù)？

對此，筆者未做講解，而是布置了一個專題小研究，讓學(xué)生用圖文解析的形式表達對這道題的理解，這是一個“回爐再造”問題的過程。在學(xué)生完成后，筆者展示圖文解析（如圖3），請學(xué)生講解，但仍有學(xué)生百思不得其解——雞蛋怎么變少了呢？

對新知識的理解是學(xué)習(xí)者的心智表征發(fā)生改變的結(jié)果，這種改變是根本性的。學(xué)習(xí)者不是單純的學(xué)習(xí)“參與者”，而是他所學(xué)知識的“創(chuàng)造者”，他人永遠無法替代他去學(xué)習(xí)或者一廂情愿地加快他學(xué)習(xí)的進程。因此，筆者在學(xué)生依然疑惑不解的時候選擇戛然而止：“不明白沒關(guān)系，等大家到了五年級再回來找雞蛋。”五個學(xué)生的疑惑暫時擱置。

2.階段回爐再造，培養(yǎng)反省性思維

在學(xué)完小數(shù)除法之后，全班學(xué)生“重啟”“找雞蛋”，發(fā)現(xiàn)260÷15=17.333……，得到的是一個循環(huán)小數(shù)，260÷15=260÷5÷3=17.333……，兩個計算方法結(jié)果相等，當年的余數(shù)并不是最終的計算結(jié)果，而是一個過程性的記錄，260÷5÷3的余數(shù)是1，記錄的是“按照5千克裝，余下的1箱（5千克）”。至此，當初“沉默的問題”回爐再造，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是前后呼應(yīng)的?？梢?，待學(xué)習(xí)了除法、分數(shù)和比的聯(lián)系后再次引導(dǎo)學(xué)生回憶“找雞蛋”，學(xué)生又是一番別樣的感受。

回爐“沉默的問題”是一種策略，旨在引導(dǎo)學(xué)生在新一輪的數(shù)學(xué)思考中打開學(xué)習(xí)的“暗箱”，厘清模糊的認知，萃取數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，凝練數(shù)學(xué)思想方法，形成持久的學(xué)習(xí)力。經(jīng)常性“回爐”曾經(jīng)的困惑，有利于培養(yǎng)學(xué)生的反省性思維。教師應(yīng)給學(xué)生提供更多從容不迫的反思、想象、琢磨的機會，讓學(xué)生享受思考的快樂，獲得經(jīng)驗，提高學(xué)習(xí)的方法值。

三、自由暢想“沉默的問題”，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效能值

當下流傳著一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“攻略”：時間有限，質(zhì)量當頭?！盀槭裁础辈恢匾?，關(guān)鍵是熟練掌握通識解法，“怎么做”最現(xiàn)實。學(xué)生的問題經(jīng)常被“幽閉”，學(xué)生只是不斷地回答教師的提問、解答習(xí)題的問題。教師應(yīng)松開應(yīng)試的“手掌”，讓學(xué)生自由暢想“沉默的問題”，擁有自由的思維和表達，在學(xué)科智識、情感態(tài)度、品格涵養(yǎng)等方面都有所發(fā)展，提升學(xué)習(xí)的效能值。

1.轉(zhuǎn)變主體地位，處理好“我回答”與“我問你”的關(guān)系

以單元練習(xí)設(shè)計為例，傳統(tǒng)意義上的一份單元練習(xí)講究參照《雙向細目表》，按照7∶2∶1的難度分配。結(jié)構(gòu)化的練習(xí)題是面向全體學(xué)生、以教師為主體的單方調(diào)控與統(tǒng)一操作，為教學(xué)質(zhì)量做必要的測查與評估，學(xué)生所做的是“我回答”。除此之外，可以補充一種非結(jié)構(gòu)化的以學(xué)生的問題為中心的習(xí)題，讓學(xué)生來說“我問你”，兩者互為補充。在學(xué)習(xí)的任何階段，都可以開展“我問你”的活動。命題人是自主報名的學(xué)生，命題范圍是該學(xué)生一直想不明白的、想要探究的問題，題量自由設(shè)定，測試對象是自主報名的學(xué)生，評價反饋和獎懲措施都由命題人組織親友團來完成。

例如，學(xué)完平行四邊形、三角形、梯形的面積之后，有學(xué)生出了一道練習(xí)題：方格紙上有一個長是6厘米，寬是4厘米的長方形，它是由一個圖形轉(zhuǎn)化來的，那個圖形可能是什么樣子？“為什么要出這道題？”學(xué)生回答：“給出一個平行四邊形，畫出轉(zhuǎn)化后的長方形，閉著眼睛都會畫。我就反過來想，知道了轉(zhuǎn)化后的長方形，是不是只要湊出面積是24平方厘米的圖形就可以了？有沒有不同的形狀？如果只是湊湊，那這樣的轉(zhuǎn)化還有什么意思呢？”學(xué)生的頭腦中原來有這么多有價值的問題！

2.叩問價值取向，處理好“使人聰明”與“數(shù)學(xué)向善”的關(guān)系

數(shù)學(xué)故事《網(wǎng)開一面》是這樣的：古人圍獵時不會把野獸趕盡殺絕，都會留給野獸逃生的機會。用一根40米長的繩子來圍獵，如果圍成正方形（如圖4），面積是（40÷4）2=100（平方米）。假定野獸事先并不知道哪面有網(wǎng)，并且朝四個方向均勻逃散。由于四面都有網(wǎng)，野獸觸網(wǎng)被捕獲的可能性是四分之四，假設(shè)此時的捕獲量為“1”，如果“網(wǎng)開一面”，“圍成”的正方形就有三個面有網(wǎng)，野獸觸網(wǎng)被捕獲的可能性是四分之三，（40÷3）2÷4×3=133.3333…… ，捕獲量約為“1.3”。如果“網(wǎng)開三面”，只有一個面有一根長40米的網(wǎng)，“圍成”的正方形面積是40×40=1600（平方米），野獸觸網(wǎng)被捕獲的可能性是四分之一，1600÷4×1=400（平方米），捕獲量為“4”。

學(xué)生閱讀后提出：“故事里說古人留給野獸逃生的機會，不想趕盡殺絕。但是在‘網(wǎng)開三面的情況下，它們的捕獲量反而最大，真是欲擒故縱，放長線釣大魚，這不是很虛偽嗎？”這個問題令筆者驚訝，故事的本義是想讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)思維來感受欲擒故縱的策略是多么富有智慧，沒想到學(xué)生的感受完全相反。想一想，數(shù)學(xué)其實是對生活的高度抽象與概括，數(shù)學(xué)和生活之間不能畫等號。數(shù)學(xué)課上，師生津津有味地討論雞兔同籠問題，感悟假設(shè)的策略，但生活中并沒有人把雞和兔關(guān)在一個籠子里?！毒W(wǎng)開一面》的故事蘊含著數(shù)學(xué)的智慧、人文情懷和人生哲學(xué)，也許學(xué)生在以后的成長過程中，會突然頓悟，給自己一個合理的解釋。誠然，數(shù)學(xué)是自由的，數(shù)學(xué)使人聰明，但它也是有約束的，數(shù)學(xué)向善是不變的初心，是無須提醒的自覺。

各種各樣“沉默的問題”真實地記錄著學(xué)生的學(xué)習(xí)軌跡。在“學(xué)為中心”的教學(xué)理念下，關(guān)注學(xué)生的“沉默的問題”是一個新的學(xué)習(xí)視角。在這里，教師敏銳地點燃問題，獨具匠心地“回爐”問題，最終，讓學(xué)生跳出被動學(xué)習(xí)，自由暢想“沉默的問題”，逐漸成長為自由的、智慧的、懷滿善意的學(xué)習(xí)者。

（責編 金 鈴）