徐凱

[摘 要]當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)常以“科學(xué)性”至上，以傳授理性知識、培養(yǎng)智力為主，卻忽視了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的人文性價(jià)值，使得學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)文化品格普遍缺失，造成“有知識，沒文化”的現(xiàn)象。從“數(shù)學(xué)文化”的視角出發(fā)，深層次剖析教材中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵;立足于課堂教學(xué)，追本溯源，關(guān)注數(shù)學(xué)的本源;返璞歸真，發(fā)掘數(shù)學(xué)本質(zhì);闡幽顯微，感悟數(shù)學(xué)思想;耳濡目染，品味數(shù)學(xué)之美。力求將“數(shù)學(xué)文化”融入課堂教學(xué)，尋求“以文‘化人”的路徑，讓數(shù)學(xué)課堂更加深刻而靈動(dòng)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)文化;課堂教學(xué);文化素養(yǎng)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）35-0004-04

“文化”一詞，自古有之，數(shù)學(xué)亦可看作一種文化，即數(shù)學(xué)文化。張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化分為兩部分，一是數(shù)學(xué)文化的知識性成分，如數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定律等物質(zhì)實(shí)體;二是數(shù)學(xué)文化的觀念性成分，如數(shù)學(xué)思想、理性精神、審美追求、思維品質(zhì)等精神實(shí)體。蘊(yùn)藏在知識性成分背后的觀念性成分則是數(shù)學(xué)文化的核心和靈魂所在。

作為教師，數(shù)學(xué)教學(xué)不能局限于做題、考試以及升學(xué);要面向“人”，以數(shù)學(xué)文化來“化”人，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，使學(xué)生能夠領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精髓，練就數(shù)學(xué)的頭腦與眼光，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。正如數(shù)學(xué)教育家米山國藏所說的：“唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想方法、研究方法、推理方法和看待問題的著眼點(diǎn)等，隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使他們終身受益?！奔茨茏屓耸芤娴氖菙?shù)學(xué)文化素養(yǎng)，所以知識與文化，缺一不可！

審視：當(dāng)下課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的境遇

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)?！睂徱暜?dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，難有數(shù)學(xué)文化的身影，即使有，也大都如蜻蜓點(diǎn)水一般，對數(shù)學(xué)文化的理解不透徹，讓數(shù)學(xué)文化“浮”在表面。

一、對小學(xué)數(shù)學(xué)文化概念理解窄化

不少教師將數(shù)學(xué)文化等同于數(shù)學(xué)史，以為一堂課中只要滲透了數(shù)學(xué)史，那就是一堂體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的課。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，但數(shù)學(xué)文化遠(yuǎn)不是數(shù)學(xué)史能夠涵蓋的。

二、對小學(xué)數(shù)學(xué)文化理解缺位

有不少人潛意識里認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容淺顯，尤其是低年級的內(nèi)容，無非就是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識，如2×3等于幾之類的問題，與數(shù)學(xué)文化無關(guān)。殊不知，正是因其淺顯，所以其中才蘊(yùn)藏著豐富的、接近原生態(tài)的數(shù)學(xué)文化，最接近數(shù)學(xué)發(fā)生與發(fā)展的源頭。

拿最基礎(chǔ)、最常用的阿拉伯?dāng)?shù)字來說，阿拉伯?dāng)?shù)字并不是某位天才所創(chuàng)造出的，而是經(jīng)過人類相當(dāng)長時(shí)間的摸索（如圖1），在眾多記數(shù)方法的基礎(chǔ)上創(chuàng)造出來的。這為后世千百年的數(shù)學(xué)研究奠定了基礎(chǔ)，是人類智慧的結(jié)晶，亦是一種鮮活的數(shù)學(xué)文化。

試想一下，教學(xué)中規(guī)避文化教知識，學(xué)生學(xué)習(xí)的就是冷冰冰、干巴巴的數(shù)字知識。要想課堂有深度、有精魂，就要把豐富的數(shù)學(xué)文化意蘊(yùn)融進(jìn)去。

三、對小學(xué)數(shù)學(xué)文化評價(jià)片面

隨著課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的聯(lián)系日益緊密，但在應(yīng)試教育背景下，數(shù)學(xué)文化的相關(guān)內(nèi)容考還是不考？如果考，怎么考？

在三年級某次隨班練習(xí)檢測中，關(guān)于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的一道“鋪地錦”的題目：利用“鋪地錦”的方法計(jì)算26×37。（如圖2）

學(xué)生失分較多，有以下幾種典型錯(cuò)誤：直接在橫式上寫得數(shù)或者有豎式，但方框是空著的（說明沒有利用“鋪地錦”的方法計(jì)算）;知道“鋪地錦”這種方法，但沒有掌握具體的應(yīng)用方法，不知該如何在方框內(nèi)填寫，框里的數(shù)字亂填一氣;還有甚者，直接不填。對此筆者就“鋪地錦”簡要訪談了一部分學(xué)生，學(xué)生反饋：教材的“你知道嗎”這部分有關(guān)于“鋪地錦”的內(nèi)容，但還是習(xí)慣用豎式計(jì)算;老師講過，題目沒做過，所以很快就忘了;只有在課外輔導(dǎo)班學(xué)過的才能寫對……

由此可見，考什么就教什么，不考就不教，給數(shù)學(xué)文化套上“應(yīng)試”的枷鎖，其實(shí)就是抹殺數(shù)學(xué)文化本身的價(jià)值，這種極具功利性和工具性的評價(jià)取向，成為制約數(shù)學(xué)文化發(fā)展的一個(gè)枷鎖。

四、對小學(xué)數(shù)學(xué)文化素材輕視

目前各版本的數(shù)學(xué)教材都在“你知道嗎”欄目中穿插安排了一些數(shù)學(xué)文化素材，如我國古代數(shù)學(xué)巨作《九章算術(shù)》（如圖3）、分?jǐn)?shù)的起源、圓周率的發(fā)展以及“鋪地錦”等，但對于這些素材的處理，往往淺嘗輒止，停留在“了解”和“知道”層面，無法將其充分激活，完全利用。

以蘇教版教材五年級上冊中的一個(gè)“你知道嗎”為例，它介紹的是《九章算術(shù)》中記載的關(guān)于古代三角形面積的計(jì)算方法，即“半廣以乘正從”，但不少教師只是在課末簡單介紹這塊內(nèi)容，作為可有可無的“補(bǔ)充”，如此“文化味”濃郁的素材被一帶而過，不免暴殄天物。看似簡單的一則素材，可以是推導(dǎo)方法上的拓展、概括與提煉，深挖下去，也是“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，更是精神上的陶冶，不同方法相互驗(yàn)證，彰顯數(shù)學(xué)的嚴(yán)密與嚴(yán)謹(jǐn)，于歷史的積淀中品味數(shù)學(xué)文化的醇厚原漿。

只有在具體的教學(xué)過程中有效激活這些數(shù)學(xué)文化素材，將其完全融入課堂教學(xué)中，才能真正將數(shù)學(xué)文化根植于學(xué)生內(nèi)心。

追尋：“數(shù)學(xué)文化”的意蘊(yùn)內(nèi)涵和實(shí)踐價(jià)值

一、“數(shù)學(xué)文化”的意蘊(yùn)內(nèi)涵

作為人類智慧的結(jié)晶，數(shù)學(xué)在高度抽象化的背后，有活潑生動(dòng)的思維過程，有樸實(shí)無華的思想方法，也有引人深思的數(shù)學(xué)故事。

克萊因說過：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作?！?基于對當(dāng)下“數(shù)學(xué)文化”的境遇剖析，數(shù)學(xué)文化教育的目的在于改變數(shù)學(xué)教育只停留在知識層面的現(xiàn)狀，使學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解深入到精神層面，親近數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)，體會(huì)這份人類心靈“獨(dú)特的創(chuàng)作”所帶來的美妙，從而提升學(xué)生的人文素養(yǎng)。

二、“數(shù)學(xué)文化”的實(shí)踐價(jià)值

（一）有利于加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力

現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，充分利用知識本身的一切能引起機(jī)體產(chǎn)生動(dòng)機(jī)性行為的外部刺激就是啟動(dòng)學(xué)生認(rèn)知學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力，而數(shù)學(xué)廣泛的文化要素，就蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識本身的“誘因”價(jià)值。

例如，一節(jié)“圓的認(rèn)識”課就是以文化為脈絡(luò)串聯(lián)而成：課始，用畢達(dá)哥拉斯的“一切平面圖形中最美的是圓形”一句話拉開了圓的學(xué)習(xí)序幕;畫圓階段，利用《詩·沔水》中的“規(guī)者，正圓之器也”，引導(dǎo)學(xué)生想象、對比;感悟提升階段，則用到了《墨經(jīng)》中的句子“圓，一中同長也”;課末，又引導(dǎo)學(xué)生討論“圓桌會(huì)議”的由來與價(jià)值。整節(jié)課彌漫著“數(shù)學(xué)文化味”，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，學(xué)生沉浸其中，不亦樂乎！

數(shù)學(xué)文化可以為學(xué)生提供龐大的信息資源，可以直接驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)，使學(xué)生變得積極、主動(dòng)，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、動(dòng)機(jī)、品質(zhì)都會(huì)有積極影響。

（二）有利于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神

若干年后，數(shù)學(xué)教育給你留下的是什么？是概念，是公式，還是某次考試？是用數(shù)學(xué)的頭腦與眼光看待事物，思考分析問題和觀察世界的能力，這就是在數(shù)學(xué)文化熏陶下潛移默化造就的理性精神。正如克萊因所說：“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神?！?/p>

以簡單的統(tǒng)籌問題為例：洗茶壺用1分鐘，燒開水用8分鐘，洗開水壺用1分鐘，洗茶杯用2分鐘，找茶葉用2分鐘，沏茶用1分鐘，最快需要多少時(shí)間才能把茶泡好？你是選擇將所用時(shí)間全部累加還是利用燒水的時(shí)間做其他事呢？

以小見大，數(shù)學(xué)的問題，亦是生活的問題，生活是數(shù)學(xué)文化的有機(jī)組成部分。在數(shù)學(xué)文化這片肥沃的土壤中，學(xué)生的理性精神得到充分的孕育。

（三）有利于學(xué)生健全人格的塑造

數(shù)學(xué)教育除了可以提升學(xué)生的思維品質(zhì)，還是一種數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)的教育，教師可從數(shù)學(xué)文化的高度引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)，從中領(lǐng)略豐富而深刻的人生哲理。

比較上面兩個(gè)式子，1.01和0.99與1只有0.01的微小差距，經(jīng)過365次方后卻相差千倍之多。這組式子帶給人的震撼是其背后蘊(yùn)藏的哲理：一年365天，每天多努力一點(diǎn)，多進(jìn)步一點(diǎn)，只要持之以恒，就會(huì)獲得千倍收獲。反之，只要稍有懈怠，長此以往，便會(huì)一事無成。

上述例子只是數(shù)學(xué)文化的冰山一角，卻足以幫助學(xué)生樹立積極向上、奮勇前進(jìn)的人生觀，于無聲處塑造學(xué)生的健全人格。數(shù)學(xué)背后深刻的人生感悟正是從數(shù)學(xué)文化中汲取成長的正能量。

實(shí)踐：讓“數(shù)學(xué)文化”潤澤課堂的策略探究

一、深層剖析，發(fā)掘文化元素

數(shù)學(xué)自身發(fā)展的歷史多元性使其具有豐富的數(shù)學(xué)文化元素，每一個(gè)數(shù)學(xué)知識背后都有可挖掘的文化價(jià)值，可以是一段數(shù)學(xué)史，可以是一個(gè)優(yōu)美的數(shù)學(xué)命題，可以是一個(gè)重要的思想方法……

例如，張齊華老師教學(xué)“因數(shù)與倍數(shù)”時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生猜測“100以內(nèi)的自然數(shù)中誰的因數(shù)最多？”，揭示答案為“60”的同時(shí)，介紹《數(shù)字王國——世界共通的語言》一書中關(guān)于“時(shí)、分、秒進(jìn)率為60”的描述，并進(jìn)一步拓展到“1日=24時(shí)”“1年=12個(gè)月”中24、12的由來。學(xué)生既感受到數(shù)字的神奇作用，也體會(huì)到數(shù)的大小與因數(shù)間的關(guān)系，對因數(shù)的理解更加立體。除此之外，引領(lǐng)學(xué)生感受“完美數(shù)”的美妙結(jié)構(gòu);以因數(shù)和倍數(shù)的視角解讀2000多年前希臘的音樂、建筑。張老師發(fā)掘出這節(jié)課背后多種多樣的文化元素，正因如此，原本刻板的知識不再枯燥，而是意趣橫生。

這些數(shù)學(xué)文化元素雖然沒有完全呈現(xiàn)在教材當(dāng)中，但只要教師做個(gè)有心人，加強(qiáng)自身數(shù)學(xué)文化觀，多閱讀、多積累，打開自己的數(shù)學(xué)視野，定能開發(fā)出教材中更多的文化元素，在課堂上營造“數(shù)學(xué)文化場”，為提高數(shù)學(xué)教學(xué)的文化品格打好基礎(chǔ)。

二、追本溯源，關(guān)注數(shù)學(xué)本源

數(shù)學(xué)不是以一種冷冰冰的姿態(tài)呈現(xiàn)在課堂上，課堂教學(xué)不能只停留在對知識的被動(dòng)理解和傳遞上，首先要做的就是回歸知識的“源”點(diǎn)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識演化、再創(chuàng)造、再生成的過程 ，使之變成智慧的探險(xiǎn)，從而獲得數(shù)學(xué)文化的啟蒙與塑造。

例如，特級教師周衛(wèi)東教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”時(shí)，首先出示“一小塊燒餅”（如圖4），并提出要求：“寫一句話或一個(gè)數(shù)，讓別人一看就明白這一小塊兒究竟是多大?！?/p>

學(xué)生思考后有著多種表達(dá)，如“把一個(gè)餅分4份，拿1份”;“一半的一半”“四份中的一份”“四分之一”;也有用數(shù)字表示的“1/4”“4/1”“1/4”等。（如圖5）

隨后，周老師通過對比、研討、分析學(xué)生的原生態(tài)作品，揭示出“四分之一”的含義。

3000多年前，古埃及為了在不能分得整數(shù)的情況下表示數(shù)，用特殊符號表示分?jǐn)?shù)。而在這節(jié)課中，學(xué)生在周老師創(chuàng)設(shè)的情境下自主探索、自主創(chuàng)造，自主表達(dá)出了“原生態(tài)的分?jǐn)?shù)”?？梢哉f，此環(huán)節(jié)就是分?jǐn)?shù)千百年的“進(jìn)化史”濃縮而成的精華所在，是以學(xué)生的視角解讀分?jǐn)?shù)的發(fā)展歷程，讓學(xué)生了解分?jǐn)?shù)的來龍去脈。

在教學(xué)中，需要教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識的源頭出發(fā)，參與對數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)與再創(chuàng)造過程，使其更接近數(shù)學(xué)文化的源頭，深刻感受其間蘊(yùn)含著的原生態(tài)的數(shù)學(xué)文化。

三、返璞歸真，發(fā)掘數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)文化能夠賦予人用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維去看待思考問題，直擊問題本質(zhì)的能力，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、找尋不變量。教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生切換角度，透過表面現(xiàn)象抽象出本質(zhì)特征。

例如，長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形，它們之間有著顯著的區(qū)別，比如說它們的面積公式就各不相同，但是從另一個(gè)角度看，它們都是平面圖形，之間有著緊密的聯(lián)系，面積之間是可以互相轉(zhuǎn)化的。如，梯形公式S=（a+b）h÷2，當(dāng)b=0時(shí)，則S=ah÷2，就成了三角形面積公式;當(dāng)a=b時(shí)，就變成了長方形、正方形或者是平行四邊形的面積公式。

由此可見，對于很多看似涇渭分明的知識點(diǎn)，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識點(diǎn)中的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生對知識的理解立體化和動(dòng)態(tài)化，從而感悟數(shù)學(xué)知識最本質(zhì)的特征，形成優(yōu)秀的思維品質(zhì)，這種優(yōu)秀的思維品質(zhì)便是活化了的數(shù)學(xué)文化。

四、闡幽顯微，感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，每一種數(shù)學(xué)文化都可以通過數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識來表征，在日常的教學(xué)中適時(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的核心策略。

例如，車前老師教學(xué)“圓的認(rèn)識”時(shí)滲透的轉(zhuǎn)化思想和極限思想：通過復(fù)習(xí)舊知，先引導(dǎo)學(xué)生回顧平行四邊形（轉(zhuǎn)化為長方形）、三角形和梯形的面積（轉(zhuǎn)化成平行四邊形）公式的推導(dǎo)過程，在學(xué)生感受由未知到已知的轉(zhuǎn)化過程后，再拋出問題“圓能轉(zhuǎn)化成什么圖形？”。學(xué)生經(jīng)過剪一剪、拼一拼，將圓轉(zhuǎn)化為近似平行四邊形的圖形（如圖6），在此基礎(chǔ)上，車?yán)蠋熃又鴨l(fā)：“如果分的份數(shù)再多一些呢？”車?yán)蠋熯m時(shí)演示，依次將圓平均分成8份、16份、32份……無窮等份后拼成長方形（如圖7），在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式。

學(xué)生真實(shí)感受到，如果等分的份數(shù)不斷增加，轉(zhuǎn)化后的圖形就越接近長方形，并感受到轉(zhuǎn)化思想和極限思想的魅力，體會(huì)到其中“變與不變”的精妙。

教材中雖然沒有明確指明思想方法，但不代表可以避開思想而教知識，教師要?dú)w納其中的思想方法，并在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中有意識地滲透，進(jìn)而達(dá)到“以文化人”的目的。

五、耳濡目染，品味數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)文化密不可分，它是一種抽象的理性美。教師要不失時(shí)機(jī)地展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，讓學(xué)生感受、品味數(shù)學(xué)之美，提高對數(shù)學(xué)美的感應(yīng)能力和審美情趣，這正是讓數(shù)學(xué)文化浸潤心靈的生動(dòng)詮釋和具體體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)美的實(shí)例不勝枚舉，如軸對稱圖形體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美;抽象的公式（如圓的面積=πr?）背后是數(shù)學(xué)的簡潔美;斐波那契數(shù)列體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的奇異美;黃金分割又彰顯了數(shù)學(xué)的比例美;數(shù)學(xué)理論、規(guī)律、概念、方法的統(tǒng)一（比如倒數(shù)的概念，除以一個(gè)不等于零的數(shù)等于乘上它的倒數(shù)，于是乘法與除法得到了統(tǒng)一）就是數(shù)學(xué)統(tǒng)一美的體現(xiàn)……

除此之外，有學(xué)生這樣形容無限循環(huán)小數(shù)：周而復(fù)始，永遠(yuǎn)不停止探索的腳步;還有個(gè)學(xué)生寫道：“奶奶給孫子講故事，一次又一次，相同的畫面不斷浮現(xiàn)，這個(gè)相同的故事永不厭倦……”如此具有詩意的比喻，呈現(xiàn)在學(xué)生眼前的不是干巴巴的無限循環(huán)小數(shù)的定義，而是一幅美麗、質(zhì)樸的畫卷，這是一種感性與理性融合的美！

可見，在每一個(gè)數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)元素中都能夠?qū)ふ页鰯?shù)學(xué)之美。數(shù)學(xué)不缺少美，只是缺少發(fā)現(xiàn)美的研究，作為教師，需要練就一雙慧眼，去發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)之美，并且有意識地在課堂當(dāng)中去引導(dǎo)學(xué)生品味、感受、欣賞數(shù)學(xué)之美，以提高數(shù)學(xué)文化育人的有效維度。

（責(zé)編 金 鈴）