陳志煒, 朱建青

(蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 江蘇 蘇州 215009)

時(shí)間尺度理論在物理學(xué)、 控制系統(tǒng)、 力學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.用對(duì)稱性理論研究守恒量是分析力學(xué)的一個(gè)重要研究方向.文獻(xiàn)[1]利用微分方程不變性的擴(kuò)展群法得到了Lie對(duì)稱性, 其主要思想為微分方程在無限小變換下的不變性; 文獻(xiàn)[2]研究了Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性, 得到了守恒量.目前, 對(duì)非奇異系統(tǒng)對(duì)稱性和守恒量的研究已取得很多成果[3-8].在理論物理研究中, 由于量子色動(dòng)力學(xué)、 量子味動(dòng)力學(xué)、 電磁場(chǎng)、 相對(duì)論性運(yùn)動(dòng)的粒子、 楊-Mills場(chǎng)和超弦理論中的Lagrange函數(shù)均為奇異的, 因此對(duì)奇異系統(tǒng)的研究非常重要.文獻(xiàn)[9]將相空間與位形空間中的Noether定理推廣到時(shí)間尺度上；文獻(xiàn)[10]研究了奇異Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性和守恒量；文獻(xiàn)[11]將Lie對(duì)稱性推廣到一類非完整奇異系統(tǒng); 文獻(xiàn)[12]將Hamilton正則方程的3種統(tǒng)一對(duì)稱性推廣到奇異系統(tǒng), 即Mei對(duì)稱性、 Noether對(duì)稱性和Lie對(duì)稱性；文獻(xiàn)[13]研究了奇異非完整系統(tǒng)的對(duì)稱性和守恒量；文獻(xiàn)[14]分析了時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[15]提出了時(shí)間尺度上的Noether定理；文獻(xiàn)[16-17]研究了時(shí)間尺度上的Noether對(duì)稱性和Lie對(duì)稱性；文獻(xiàn)[18]建立了時(shí)間尺度上Hamilton系統(tǒng)的Noether理論；文獻(xiàn)[19]將Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性推廣到時(shí)間尺度上；文獻(xiàn)[20]研究了時(shí)間尺度上相空間中非保守非完整系統(tǒng)的Noether理論.但對(duì)時(shí)間尺度上奇異系統(tǒng)的對(duì)稱性研究目前文獻(xiàn)報(bào)道較少, 基于此, 本文將Lie對(duì)稱性理論推廣到時(shí)間尺度上奇異非保守Lagrange系統(tǒng)中.

1 時(shí)間尺度上系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1,2,…,n)確定, 其Lagrange函數(shù)為

L=L(t,qσ,qΔ),

(1)

所受非勢(shì)廣義力為

(2)

時(shí)間尺度上非保守Lagrange系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

若

(4)

則稱該系統(tǒng)為時(shí)間尺度上的奇異系統(tǒng).

求解系統(tǒng)中部分廣義加速度, 記為

(5)

同時(shí)存在(n-r)個(gè)關(guān)系式:

βi(t,qσ,qΔ)=0,i=1,2,…,n-r.

(6)

2 確定方程和限制方程

取t和qs(s=1,2,…,n)的無限小變換:

(7)

其中：ε為無限小參數(shù);ξ0和ξs為無限小生成元.生成元的向量形式為

(8)

其一次擴(kuò)展為

(9)

二次擴(kuò)展為

(10)

根據(jù)Lie對(duì)稱性理論, 方程(5)在變換(7)下的不變性可表示為確定方程

(11)

將算子(10)代入式(11), 可得

(12)

方程(6)在變換(7)下的不變性可表示為如下限制方程:

X(1)(βj(t,qσ,qΔ))|βj=0=0,j=1,2,…,n-r.

(13)

定義1若無限小生成元ξ0,ξs滿足式(12)和式(13), 則稱該對(duì)稱性為時(shí)間尺度上奇異非保守Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性.

3 結(jié)構(gòu)方程和守恒量

定理1若無限小生成元ξ0,ξs滿足式(12)和式(13), 且存在G=G(t,qσ,qΔ)滿足結(jié)構(gòu)方程

(14)

則該系統(tǒng)存在守恒量

(15)

證明：

(16)

則系統(tǒng)存在守恒量式(15).

定理3若T=R, 則σ(t)=t,μ(t)=0, 根據(jù)式(14)可給出經(jīng)典的奇異非保守Lagrange系統(tǒng)Lie對(duì)稱性結(jié)構(gòu)方程[10]為

(17)

由式(15)可得守恒量為

(18)

4 算 例

設(shè)T={2n:n∈N∪{0}}, Lagrange函數(shù)為

(19)

非勢(shì)廣義力為

(20)

1)建立運(yùn)動(dòng)微分方程.由式(3)給出

(21)

2)建立系統(tǒng)Lie對(duì)稱性的確定方程和限制方程.由式(12),(13)給出

(22)

(23)

方程(22),(23)有解

ξ0=0,ξ1=1,ξ2=0.

(24)

3)建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方程并求解G.對(duì)于式(24), 由方程(14)可得

GΔ=-1,

(25)

由方程(25)可得

G=-t.

(26)

4)求守恒量.由式(24),(26)及守恒量(15)給出

(27)

當(dāng)T=R,σ(t)=t,μ(t)=0時(shí), 系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為式(19), 非勢(shì)廣義力為式(20).由式(18), 經(jīng)典的奇異非保守Lagrange系統(tǒng)守恒量為

(28)

綜上, 本文基于微分方程在無限小變換下的不變性, 將時(shí)間尺度理論應(yīng)用到奇異系統(tǒng)中, 給出了時(shí)間尺度上奇異系統(tǒng)存在Lie對(duì)稱性守恒量的條件, 并得到了守恒量的具體形式.當(dāng)T=R時(shí), Lie守恒量的形式可將離散和連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)一.該方法和結(jié)果也可應(yīng)用于時(shí)間尺度上其他系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性研究.