張 蕾, 郝丹輝, 強穩(wěn)朝

(1 西安建筑科技大學(xué)華清學(xué)院, 陜西 西安 710043;2 西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院, 陜西 西安 710055)

1 引 言

量子糾纏是一種重要的量子力學(xué)現(xiàn)象,作為量子信息科學(xué)中的基本資源,有其重要的應(yīng)用。例如:量子通信[1]、量子密鑰[2]、量子隱形傳送[3]、量子稠密編碼[4]等。常見的量子糾纏態(tài)有:EPR 態(tài)[5]、GHZ態(tài)[6]和W 態(tài)[7]、Cluster 簇態(tài)[8]等,然而多粒子糾纏態(tài)與兩粒子糾纏態(tài)相比有更強的量子非局域關(guān)聯(lián),在量子信息處理中更具優(yōu)勢。在三量子體系中,研究最多的兩類糾纏態(tài)是GHZ 態(tài)和W 態(tài),兩者之間不能通過局域操作和經(jīng)典通信(LOCC)相互轉(zhuǎn)換。兩者相比,W 態(tài)攜帶信息更穩(wěn)定,在量子比特丟失方面抵抗性強,而且在量子網(wǎng)絡(luò)匿名傳輸和最優(yōu)量子普適克隆機[9]構(gòu)建中扮演著重要角色。可見,W 糾纏態(tài)的制備及其應(yīng)用的研究具有非常重要的學(xué)術(shù)意義和實用價值。近幾年,人們研究了很多種關(guān)于糾纏態(tài)制備的方法,主要有: 核磁共振、腔QED[10]、離子阱[11]、超導(dǎo)量子干涉儀[12]等。還有較多研究是基于腔QED 通過原子與腔共振相互作用制備W 糾纏態(tài)的[13～17],在此類W 糾纏態(tài)制備過程中最主要的障礙就是腔場的消相干(耗散),同時對腔的品質(zhì)要求很高。還有較多研究是基于腔QED,通過原子與腔大失諧(非共振)相互作用來制備W 糾纏態(tài)[18～20],采用大失諧相互作用的優(yōu)點是: 有效克服了光腔的消相干,腔的耗散和熱輻射對系統(tǒng)影響小,對腔的Q 值要求不高,并且針對腔QED 雙光子過程比單光子過程更有優(yōu)勢[21],使得方案更易于在實驗中實現(xiàn)。

以上研究都是利用一個原子與三或四個腔場相互作用,本文提出一個基于腔QED,并利用三個全同三能級原子與一個腔場非共振相互作用制備三原子W 糾纏態(tài)的方案。該方案中,最初三個原子分別處于激發(fā)態(tài)和基態(tài),腔場處于真空態(tài),三個原子先后被送入該腔場,選擇合適的原子與腔場之間的相互作用時間就可獲得W 糾纏態(tài)。進(jìn)而討論了該方案的實驗可行性,研究還發(fā)現(xiàn)在耦合常數(shù)不同的情況下,失諧量對保真度的影響程度不同。

2 理論模型及數(shù)值計算

要構(gòu)建的W 糾纏態(tài)為

式中1、2、3 表示三個原子。在Jaynes-Cummings 模型中,通過雙光子過程,描述一個三能級原子與單模腔場作用,在旋波近似下,相互作用繪景中,有效哈密頓量可表示為[18,22]

Fig.1 給出了三能級原子與單模腔場作用的原理圖。其中Ω 是腔場頻率,ωe、ωf、ωg分別是對應(yīng)于原子能級|e〉、|f〉、|g〉的頻率,則整個系統(tǒng)的態(tài)隨時間的演化可表示為

由薛定諤方程以及(2)式、(4)式,可得到微分方程

Fig.1 Schematic of three-level atom interacting with a single-mode cavity field

假定原子與腔場的初始態(tài)(初始時間t=0)為

式中Cn(0)表示初始場態(tài)的振幅,Ca(0)(a = e, f,g)為初始原子態(tài)(歸一化)|χ〉 =Ce|e〉+Cf|f〉+Cg|g〉的振幅。根據(jù)這些初始條件,解薛定諤方程,可得到系數(shù)

假定與腔場作用的第一個原子1 和第二個原子2 均處在激發(fā)態(tài),原子3 處在基態(tài),腔場最初處在真空態(tài)。首先,將第一個原子1 注入腔中,與腔場作用時間t1,則系統(tǒng)的態(tài)將演化為

式中C(u,v)x,y表示(7)～(9)式中的系數(shù),考慮到系統(tǒng)最初態(tài)處在(u, v), x、u 代表原子所處態(tài),y、v 代表腔場所處態(tài)。

隨后將第二個原子2 注入腔中,作用時間為t2后離開;再將第三個原子注入腔中,并與腔作用t3時間后,系統(tǒng)態(tài)可演化為

若探測腔場處于雙光子態(tài)|2〉,此時系統(tǒng)將塌縮為

其成功概率為

另外,該方案還可推廣至制備任意分權(quán)重的W 態(tài)。假設(shè)該W 態(tài)的形式為

則通過該方案可獲得的對應(yīng)的保真度為

3 數(shù)值分析及討論

當(dāng)實驗參數(shù)g1= g2= g = 17.5 MHz,失諧量δ = 9.95g,選擇的是主量子數(shù)為n ～90 的里德堡原子,原子與腔場相互作用時間t1=4μs,t2=70.38μs,t3=78.25μs,可得到該態(tài)的保真度為98.0%、相應(yīng)的成功概率為51.7%,如Table 1 所示。當(dāng)實驗參數(shù)g1= g2= g= 17.5 MHz,失諧量δ= 30g,原子與腔場相互作用時間t1= 1μs,t2= 40.8μs,t3= 21.4μs,可得到該態(tài)的保真度為99.3%、相應(yīng)成功概率為57.7%,如Table 2 所示。Fig.2 更加直觀與形象地反映了保真度隨腔場與原子相互作用時間的變化關(guān)系。Fig.2(a)表示當(dāng)g = 17.5 MHz、δ = 9.95g、t1= 4μs 時,其保真度隨t2、t3的變化曲線;Fig.2(b)表示當(dāng)g = 17.5 MHz、δ = 30g、t1= 1μs 時,其保真度隨t2、t3的變化曲線。在制備三原子W 態(tài)的過程中,只需要在第三個原子離開腔之前保持腔場的相干性。整個過程所需的時間約為10?4s,遠(yuǎn)小于腔場的有效衰減時間。因此,在當(dāng)前的實驗條件下可實現(xiàn)該方案。

Table 1 Fidelity and corresponding success probability under different t1, t2 and t3 with g=17.5 MHz and δ=9.95g

Table 2 Fidelity and corresponding success probability under different t1, t2 and t3 with g=17.5 MHz and δ=30g

當(dāng)耦合常數(shù)g=1 MHz,原子與腔場作用時間為t1=6μs、t2=19.7μs、t3=4.2μs 時,保真度隨著δ的增大出現(xiàn)了不規(guī)則的振蕩,如Fig.3(a)所示,并且振蕩的周期在逐漸增大,但整體趨勢上保真度隨著δ的增大在減小;當(dāng)耦合常數(shù)g=17.5 MHz,原子與腔場作用時間為t1=4μs、t2=40.95μs、t3=54.75μs時,如Fig.3(b)所示,保真度隨δ 的變化也出現(xiàn)了振蕩,隨著δ 的增大,振蕩的周期變化不是很明顯,振蕩的幅度與Fig.3(a)相比整體上較為穩(wěn)定?？梢?耦合常數(shù)的不同使得失諧量對保真度的影響程度不同,但當(dāng)失諧量δ=0 時,Fig.3(a)和Fig.3(b)中對應(yīng)的保真度都為最大。

Fig.2 Fidelity versus t2,t3 for a fixed interaction time t1.(a)g=17.5 MHz,δ=9.95g,t1 =4μs;(b)g=17.5 MHz,δ=30g,t1 =1μs

Fig.3 Fidelity versus the detuning δ. (a)g=1 MHz,t1 =6μs,t2 =19.7μs,t3 =4.2μs;(b)g=17.5 MHz,t1 =4μs,t2 =40.95μs,t3 =54.75μs

4 結(jié) 論

基于腔QED 提出了一種通過雙光子過程、利用三個全同Ξ 型三能級原子與一個單模腔場非共振相互作用制備出具有最大保真度W 糾纏態(tài)的方案,分析和討論了該方案的實驗可行性以及失諧量對其保真度的影響,結(jié)果表明:1)當(dāng)原子與腔場之間相互作用時間不同時,獲得W 糾纏態(tài)的保真度以及相應(yīng)的成功幾率不同,通過合適選擇相互作用時間可得到具有最大保真度的糾纏態(tài),并且整個過程所需的時間10?4s 遠(yuǎn)小于腔場的衰減時間,因此,在當(dāng)前的實驗條件下該方案可實現(xiàn);2)在耦合常數(shù)不同的情況下,保真度隨著δ 的增大均出現(xiàn)了不同程度的振蕩,可見,耦合常數(shù)的不同使得失諧量對保真度的影響程度不同。另外,根據(jù)該方案可以將其推廣至制備任意分權(quán)重的W 態(tài)。