簡化圓錐曲線運(yùn)算方法的探究

廖應(yīng)春

（重慶市求精中學(xué)校 重慶 400015）

在圓錐曲線教學(xué)中常常發(fā)現(xiàn)，學(xué)生知道這道題怎么做，但結(jié)果卻是錯(cuò)誤的。表面的原因，是運(yùn)算量太大。但深層次原因，卻是學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不強(qiáng)！數(shù)學(xué)運(yùn)算是擋在學(xué)生解決圓錐曲線問題面前的一道難以跨越的坎！那么，如何跨越這道坎？筆者對此進(jìn)行了一定的探究，得出一系列簡化運(yùn)算、減少運(yùn)算量的具體方法，在此拋磚引玉，僅作參考。

一、巧設(shè)直線方程

直線方程的形式選擇恰當(dāng)，可以從源頭上起到減化計(jì)算的效果。本文主要指以下三種形式的直線方程：

①縱截距式：y=kx+n

若直線l過y軸上的點(diǎn)(0,n)，則設(shè)直線l：y=kx+n；若直線l與拋物線x2=2py聯(lián)解，設(shè)直線l：y=kx+n。

②橫截距式：x=my+n

若直線l過x軸上的點(diǎn)(n,0)，則設(shè)直線l：x=my+n；若直線l與拋物線y2=2px聯(lián)解，設(shè)直線l：x=my+n

③已知兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，求直線AB的方程

二、在分式運(yùn)算中，要去分母，并注意分離常數(shù)

①去分母。分式運(yùn)算，先去分母后運(yùn)算。

②分離常數(shù)。在分式求和中，先分離常數(shù)，再求和。

三、多項(xiàng)式運(yùn)算中，注意提取公因式、公倍數(shù)

多項(xiàng)式計(jì)算中，盡量先提取公因式、公倍數(shù)，如：

8(k+1)(k+2)+32(k2-1)=8(k+1)[(k+2)+4(k-1)]=8(k+1)(5k-2)

四、涉及多個(gè)變量或多個(gè)字母的運(yùn)算

①把握主元（變量），區(qū)分常數(shù)與變量：當(dāng)算式中含有多個(gè)（兩個(gè)及以上）變量或字母時(shí)，認(rèn)定哪個(gè)是主要變量，標(biāo)記為主元，整個(gè)化簡計(jì)算過程中都圍繞著這個(gè)主元進(jìn)行，而其它項(xiàng)可暫不作過多化簡。

五、弦長公式和面積公式

求弦長、求三角形面積是圓錐曲線的常見題型，也是高考的重點(diǎn)題型。

（一）弦長公式

若直線l與曲線C相交于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點(diǎn)(如圖2)，求弦長 .

（二）面積公式

若直線l與曲線C相交于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點(diǎn)(如圖4)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求ΔOPQ的面積。

六、應(yīng)用平幾知識(shí)，有效轉(zhuǎn)化條件

④三角形面積的轉(zhuǎn)化：面積之比?邊長之比?坐標(biāo)之比

⑤利用相似三角形的相似比、平行線分線段成比例等轉(zhuǎn)化。

教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生在解析幾何題中往往還缺乏運(yùn)用以上方法的意識(shí)，盲目運(yùn)算的現(xiàn)象普遍存在。要改變這一現(xiàn)象，需要教師抓住每一次訓(xùn)練機(jī)會(huì)，通過例題講解，不斷有意識(shí)地加以引導(dǎo)，使學(xué)生逐步領(lǐng)悟這些方法的優(yōu)點(diǎn)，提高運(yùn)算能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。