關(guān)于圓錐擺的推論及其應(yīng)用

(江蘇省海安高級中學(xué),江蘇 海安 226600)

1 圓錐擺ω2h=g的推導(dǎo)

如圖1所示,在長為L的細繩下端拴一個質(zhì)量為m的小球,繩子上端懸點固定,使小球在水平圓周上以恒定的角速度旋轉(zhuǎn),細繩所掠過的面為圓錐表面,這就是圓錐擺模型。

圖1

設(shè)圓錐擺做圓周運動時圓心為O,圓心到懸點的距離為h,當圓錐擺做圓周運動的角速度為ω時,懸線與豎直方向的夾角為θ,小球受重力mg和繩子拉力FT作用。由圖1可得沿半徑指向圓心方向的合力為Fn=mgtanθ,又因為Fn=mω2r,r為圓錐擺做圓周運動的半徑,由幾何關(guān)系得：r=htanθ,所以：mgtanθ=mω2htanθ,整理得：ω2h=g。

可見,不管圓錐擺以多大的角速度ω做圓周運動,ω2與軌跡圓心到懸點的豎直高度h的乘積保持不變(等于重力加速度g),即ω2h=g,該乘積與懸線L的長短、懸線與豎直方向的夾角θ、擺球質(zhì)量m無關(guān)。

2 圓錐擺ω2h=g推論的應(yīng)用

2.1 比較兩圓錐擺運動的物理量

例1：如圖2所示,兩個質(zhì)量不同的小球用長度不等的細線拴在同一點,并在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運動,則它們的( )。

A. 周期相同

B. 線速度的大小相等

C. 角速度的大小相等

D. 向心加速度的大小相等

圖2

圖3

討論：若不用ω2h=g結(jié)論解題,則先要對小球受力分析,如圖3所示,小球受重力mg、繩子拉力FT,合力提供向心力，水平指向圓心。

可見,用ω2h=g的結(jié)論可快速解答此類選擇題。

2.2 確定兩圓錐擺擺球的位置

例2：兩根長度不同的細線下面分別懸掛兩個小球,細線上端固定在同一點,若兩個小球以相同的角速度,繞共同的豎直軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運動,則兩個擺球在運動過程中,相對位置關(guān)系圖4中正確的是( )。

圖4

解析：因兩個小球以相同的角速度繞共同的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運動,根據(jù)圓錐擺的推論ω2h=g可得兩球軌跡圓心到懸點的豎直高度h相等,兩球應(yīng)在同一水平面內(nèi)運動,故B選項正確。

討論：由于本題不涉及定量計算,因此本題直接用結(jié)論判斷兩球的相對位置簡潔明了,體現(xiàn)出用該結(jié)論解題的優(yōu)越性。

2.3 比較兩圓錐擺與豎直方向的夾角

例3：如圖5所示,“旋轉(zhuǎn)秋千”中的兩個座椅A、B質(zhì)量相等,通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上,不考慮空氣阻力的影響,當旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動時,下列說法中正確的是( )。

A.A的速度比B的大

B.A與B的向心加速度大小相等

C. 懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等

D. 懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小

圖5

圖6

圖7

圖8

例4：游樂園里有一種叫“飛椅”的游樂項目,簡化后的示意圖如圖8所示。已知飛椅用鋼繩系著,鋼繩上端的懸點固定在頂部水平轉(zhuǎn)盤上的圓周上。轉(zhuǎn)盤繞穿過其中心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動。穩(wěn)定后,每根鋼繩(含飛椅及游客)與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi)。圖中P、Q兩位游客懸于同一個圓周上,P所在鋼繩的長度大于Q所在鋼繩的長度,鋼繩與豎直方向的夾角分別為θ1、θ2。不計鋼繩的重力。下列判斷正確的是( )。

A.P、Q兩個飛椅的線速度大小相同

B. 無論兩個游客的質(zhì)量分別有多大,θ1一定大于θ2

C. 如果兩個游客的質(zhì)量相同,則有θ1等于θ2

D. 如果兩個游客的質(zhì)量相同,則Q的向心力一定小于P的向心力

討論：推論ω2h=g適用于一切圓錐擺,此推論與圓錐擺的擺線長度、圓錐擺的擺球質(zhì)量、懸線與豎直方向的夾角無關(guān),解題時要明確h是圓錐擺的擺球運動軌跡圓心到轉(zhuǎn)軸上懸線懸點(或懸線延長線與豎直軸交點)的高度。