巧借“全等”突破坐標系中“旋轉(zhuǎn)”問題

朱小燕

隨著學(xué)習(xí)的深入，你會發(fā)現(xiàn)平面直角坐標系與圖形變換之間存在著千絲萬縷的關(guān)系。同學(xué)們只要仔細觀察、善于歸納，就會發(fā)現(xiàn)萬變不離其宗，從而輕松解決問題。下面我們以平面直角坐標系中圖形的旋轉(zhuǎn)問題為例，體會如何借“全等”巧解“旋轉(zhuǎn)”。

例1 （2019.山東青島）如圖1，將線段AB先向右平移5個單位，再將所得線段繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段A′B′，則點B的對應(yīng)點B′的坐標是（ ）。

A.（-4，1） B.（-1，2）

C.（4，-1） D.（1，-2）

【分析】此題的難點在于對“在平面直角坐標系中將平移后的線段繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)900°”的處理，所以我們可以抓住所求問題，將線段旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為點的旋轉(zhuǎn)。如圖2，右移5個單位后，點B坐標為（2，1），繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，易知點B′的坐標為（1，-2），故選D。

同學(xué)們，假如隱去網(wǎng)格，如圖3，點B（2，1）繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°到點B′，你能求出點B′的坐標嗎？

【解決策略】根據(jù)旋轉(zhuǎn)中的不變性（OB=OB′）以及旋轉(zhuǎn)角為90°，我們可以構(gòu)造全等。由上例網(wǎng)格圖的啟發(fā)，作BM⊥y軸，B′⊥y軸，垂足分別為M、N，這樣構(gòu)造出兩個直角三角形。由條件OB⊥OB′，且OB=OB′，可證得△OBM≌△B′ON，∴ON=BM=2，B′N=OM=1。結(jié)合點B′所在象限，∴點B′的坐標為（1，-2）。

例2

（2019·山東濟寧改編）如圖5，點A的坐標是（-2，0），點B的坐標是（0，6），C為OB的中點，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)900后得到△A′BC′。則點A′、C′的坐標分別是______。

【分析】由點C是OB的中點得點C的坐標為（0，3），繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點C′（3，6）。點A′是點A繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得的點，如圖6，即AB⊥A′B，且AB=A′B。在此條件下，可通過向y軸作垂線段構(gòu)造全等三角形，從而求得點A′的坐標。

解：如圖7，作A′H⊥OB，垂足為H。∵AB⊥A′B，∴∠ABO+∠A′BH=∠ABO+∠BA0=90°，∴∠BAO=∠A′BH。又∠AOB=∠BHA′=90°，AB=A′B，∴△ABO≌△BA′H，∴A′H=BO=6，BH=A0=2，OH=4，∴點A′的坐標為（6，4）。

【解決策略】在平面直角坐標系中，當已知點繞原點或某確定點旋轉(zhuǎn)90。時，通過作垂線段構(gòu)造全等的直角三角形，再利用全等三角形對應(yīng)邊相等，即可求出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點的坐標。構(gòu)造“全等”，巧妙解決旋轉(zhuǎn)問題！

試一試：在平面直角坐標系中，點A的坐標是（-4，3），點B的坐標是（-1，1），將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段A′B，則點A′的坐標為____。

參考答案：（-3，-2）。