生日蛋糕里的“性價(jià)比”

卓西咔

從前幾天開始，洛洛就頻頻盯著墻上的日歷盼啊盼。明天就是洛洛的生日了，今天爸爸下班一進(jìn)門，洛洛便從沙發(fā)上一躍而起。在爸爸的陪同下，洛洛來到蛋糕店為自己定制生日蛋糕。

一走進(jìn)蛋糕店，他就被店里琳瑯滿目的糕點(diǎn)吸引了。在確定好定制的生日蛋糕的樣式后，就要選擇蛋糕的規(guī)格了。據(jù)店員介紹，洛洛選擇的那款圓柱形的蛋糕，在同樣的重量下，共有三種規(guī)格可供選擇，分別是r ∶h=2∶1，r ∶h=1∶1 以及r∶h=1∶2，其中r為蛋糕的底面半徑，h為蛋糕的高度。

“反正重量都一樣，規(guī)格選哪個(gè)都差不多，爸爸你決定吧！”此刻的洛洛就像一只小饞蟲，想吃上一口香軟的蛋糕。

在了解了蛋糕的總費(fèi)用（包括蛋糕的制作費(fèi)用以及蛋糕的包裝費(fèi)用）后，爸爸笑著說道：“即便是重量相同，但規(guī)格不一樣的話，費(fèi)用是會(huì)有差別的?！?/p>

洛洛頓時(shí)摸不著頭腦：“這是為什么呢？”

如何選出最省錢的蛋糕

★蛋糕的制作費(fèi)用

假設(shè)蛋糕的總費(fèi)用、制作費(fèi)用和包裝費(fèi)用分別為P 、P1和 P2，則

P=P1+P2

若蛋糕的單價(jià)是60元/磅，據(jù)店員介紹，1磅（約為450克）的蛋糕的體積約為1800立方厘米，從而依據(jù)數(shù)量關(guān)系式得到

密度=質(zhì)量

體積=450

1800=0.25（克/立方厘米）

蛋糕可視為一個(gè)圓柱體，其體積公式為

圓柱體積=底面積×高=πr2h

可進(jìn)一步算出

P1=蛋糕單價(jià)×蛋糕重量=蛋糕單價(jià)×蛋糕密度×蛋糕體積=60

450×0.25×πr2h=1

30πr2h

★蛋糕外包裝的費(fèi)用

而包裝費(fèi)用方面，每平方厘米的包裝盒需要0.05元。我們將立方體形狀的包裝盒展開（如右圖所示），展開后的包裝盒由4個(gè)長(zhǎng)為r、寬為h的長(zhǎng)方形以及2個(gè)邊長(zhǎng)為r的正方形組成，從而我們可以算出包裝盒表面積為

S=2r2+4rh

所需的包裝費(fèi)用為

P2=包裝盒單價(jià)×包裝盒表面積=0.05×（2r2+4rh）=0.1r2+0.2rh

★蛋糕所需總費(fèi)用

最后我們就能推導(dǎo)出總費(fèi)用的表達(dá)式

P=P1+P2=1

30πr2h+0.1r2+0.2rh

現(xiàn)在爸爸想要定制一個(gè)1磅的蛋糕。

想知道到底哪種規(guī)格的蛋糕的總費(fèi)用更低，只需分別將r ∶h=2∶1，r ∶h=1∶1 以及r ∶h=1∶2三種規(guī)格的數(shù)值代入上面的公式中，就可以通過計(jì)算得到，三種規(guī)格的蛋糕的總費(fèi)用分別為：81.88元，80.67元和81.71元。

因而選擇規(guī)格為r ∶h=1∶1 的生日蛋糕更省錢。

如何使蛋糕的派送費(fèi)最少

★不同時(shí)間下的不同情況

洛洛這下明白了，原來相同重量的蛋糕所耗費(fèi)的包裝盒的面積未必相同，從而導(dǎo)致不同規(guī)格的蛋糕在包裝費(fèi)用上存在差異。選完蛋糕，接下來就是確定蛋糕的寄送時(shí)間了。洛洛的爸爸向店員要來了蛋糕寄送服務(wù)的價(jià)目表，一旁的洛洛也踮起腳尖圍觀表上的收費(fèi)細(xì)則。

因受多種因素的影響，在不同時(shí)段送蛋糕所產(chǎn)生的成本會(huì)有所出入，因而不同時(shí)間段的寄送費(fèi)用也會(huì)有所波動(dòng)。比如，若在店內(nèi)生意繁忙的時(shí)段送蛋糕，會(huì)導(dǎo)致店內(nèi)人手不足，從而流失一部分訂單，給店家造成損失;若在上下班的高峰期送蛋糕，則可能會(huì)因路上擁堵而使得店員在路上耽誤更多的時(shí)間，等等。

★比一比，算一算

假設(shè)蛋糕預(yù)計(jì)送達(dá)的時(shí)間為x點(diǎn)，比如，x=6代表蛋糕需在上午6點(diǎn)送到顧客手上，x=19.5則代表蛋糕需在晚上7點(diǎn)半送到顧客手上，因?yàn)榈案獾晔?4小時(shí)營業(yè)，所以有0≤x≤24。

設(shè)P*（x）為送蛋糕所需的費(fèi)用，根據(jù)收費(fèi)細(xì)則，有

P*（x）= x2-20x+125

在這一刻，爸爸和洛洛都不約而同地思考著這樣一個(gè)問題——到底選在哪個(gè)時(shí)段送達(dá)，會(huì)使得費(fèi)用最少呢？這次洛洛先說出了自己的見解。

假設(shè)a、b為兩個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)，對(duì)于任意0≤a

P*（b）-? P*（a）=（b2-a2）-20×（b-a）=（b-a）（b+a-20）≤（b-a）（2b-20）

由不等式可知，當(dāng)b≤10時(shí)，有P*（b）≤? P*（a） ，若預(yù)計(jì)送達(dá)的時(shí)間是在早上10點(diǎn)之前，則越晚派送，收費(fèi)越低。

類似地還有

P*（b）-? P*（a）=（b2-a2）- 20×（b-a）=（b-a）（b+a-20）≥（b-a）（2a-20）

當(dāng) a≥10時(shí)，有P*（b）≥? P*（a）? ，這意味著若預(yù)計(jì)送達(dá)的時(shí)間在早上10點(diǎn)以后，則越早派送，收費(fèi)越低。

“如果我們選擇讓店家在早上10點(diǎn)，將蛋糕送達(dá)到咱們家的話，就能夠讓派送費(fèi)最少了！”洛洛興奮地向爸爸說出自己的結(jié)論。

爸爸欣慰地點(diǎn)點(diǎn)頭，看來今年的生日對(duì)于洛洛而言，獲得的不僅僅是年齡上的成長(zhǎng)呢！