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      難題的“克星”

      2020-03-13 08:16:18黃旭軍
      關(guān)鍵詞:克星平均速度路程

      黃旭軍

      今天的數(shù)學(xué)課,老師把知識(shí)教完后,離下課還有十分鐘。于是老師突發(fā)奇想,出了道題目考大家:AB、CD分別表示兩位數(shù),AB+CD=149,那么A+B+C+D=(? ?)。

      這種條件少的題目,最傷腦筋。膽子大的班長(zhǎng)先舉手了,班長(zhǎng)說(shuō):“我把題目中的‘AB+CD=149設(shè)成‘74+75=149,求得A+B+C+D=23。后來(lái)再將其設(shè)成‘80+69=149,結(jié)果也是23。我猜測(cè),這個(gè)題目的結(jié)果就是23!”

      “好!”數(shù)學(xué)老師帶頭鼓掌,“其實(shí)這道題目想考的是‘進(jìn)位后數(shù)字和少9,所以‘1+4+9需要再加個(gè)‘9,才正好是各個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和。可是,班長(zhǎng)另辟蹊徑,巧妙運(yùn)用設(shè)數(shù)法解決了這道難題!設(shè)數(shù)法可以說(shuō)是難題的‘克星?!?/p>

      同學(xué)們紛紛向班長(zhǎng)投來(lái)崇拜的目光。

      數(shù)學(xué)老師接著說(shuō):“設(shè)數(shù)法,經(jīng)常用來(lái)解決那些看上去缺少條件的題目。我們可以在設(shè)數(shù)中找到規(guī)律及方法,從而達(dá)到事半功倍的效果,‘攻克大多數(shù)的難題?!?/p>

      例1 現(xiàn)有一桶水,一頭牛15天喝完,一頭牛和一匹馬一起喝,10天喝完。請(qǐng)問(wèn):一匹馬喝這桶水,可以喝幾天?

      觀察

      開(kāi)始

      細(xì)細(xì)讀題,你就會(huì)發(fā)現(xiàn)整個(gè)題目只有“天數(shù)”,沒(méi)有其他條件。所以我們可以把它看成工程問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解。

      一頭牛喝一桶水需要15天,那么一頭牛每天喝這桶水的1

      15。一頭牛和一匹馬一起喝這桶水,它們每天一共喝這桶水的1

      10,則1

      10-1

      15=1

      30。

      所以,一匹馬每天喝這桶水的1

      30,1÷1

      30=30(天),所以一匹馬喝這桶水能喝30天 。

      這樣做起來(lái)方便多了!

      我們可以設(shè)這桶水有30千克,“30”這個(gè)數(shù)既是15的倍數(shù),也是10的倍數(shù),并且還是一個(gè)整數(shù),也就是說(shuō),30是15和10的公倍數(shù)。

      一頭牛喝完這桶水需要15天,即每天喝30÷15=2(千克)。一頭牛和一匹馬一起喝,10天喝完,它們每天一共喝30÷10=3(千克)。那么,一匹馬每天喝3-2=1(千克)的水。30÷1=30(天)。

      答:一匹馬喝這桶水,可以喝30天。

      例2 小米上學(xué)時(shí)每分鐘走60米,放學(xué)時(shí)每分鐘走40米。小米往返的平均速度是多少?

      平均速度=總路程÷總時(shí)間。這道題的已知條件里,一個(gè)與之相關(guān)的都沒(méi)有,條件極少。面對(duì)此類問(wèn)題我們?cè)趺崔k?

      結(jié)合所學(xué)的單位“1”的思想來(lái)解決這道題。我們可以把“從家到學(xué)校的路程”看作單位“1”,那么,小米上學(xué)和放學(xué)走的總路程就是“2”。上學(xué)走路所花的時(shí)間是1÷60=1

      60,放學(xué)走路所花的時(shí)間是1÷40=1

      40。小米上學(xué)和放學(xué)所花的總時(shí)間就是1

      60+1

      40=1

      24。根據(jù)“總路程÷總時(shí)間”就能把小米的平均速度求出來(lái),即2÷1

      24=48(米/分)。

      答:小米往返的平均速度是48米/分。

      我們還可以用設(shè)數(shù)法來(lái)求解。設(shè)上學(xué)所走路程為120米,(只要能被60和40整除的數(shù)都可以,因?yàn)橛?jì)算起來(lái)方便),這樣就可以求出小米往返的時(shí)間了。

      小米上學(xué)所花時(shí)間為120÷60=2(分鐘),放學(xué)所花時(shí)間為120÷40=3(分鐘),往返的總路程為120+120=240(米),小米的平均速度=240÷(2+3)=48(米/分)。

      答:小米往返的平均速度是48米/分。

      例3 一場(chǎng)聯(lián)歡會(huì)共有50名學(xué)生參加,第一個(gè)到會(huì)的女生和每個(gè)男生都握過(guò)手,第二個(gè)到會(huì)的女生只差1個(gè)男生沒(méi)握手,第三個(gè)到會(huì)的女生只差2個(gè)男生沒(méi)握手……最后一個(gè)到會(huì)的女生和7個(gè)男生握過(guò)手,那么這50名學(xué)生中有幾名男生?

      根據(jù)題目所給條件,已知總?cè)藬?shù)是50人,如果我們能知道男女生的人數(shù)相差多少,就能將題目解出了。

      常規(guī)

      思路

      我們?cè)囍蟹匠虂?lái)解出題目。首先,設(shè)男生x人,女生y人。由總?cè)藬?shù)為50人可得,x+y=50。根據(jù)其他已知條件可得,x-(y-1)=7。把兩個(gè)式子相加可得,x+y+x-(y-1)=57,x=28。

      答:50名學(xué)生中有28名男生。

      另辟

      蹊徑

      如果用設(shè)數(shù)法來(lái)解這道題,能行嗎?我們一起來(lái)試一下。假設(shè)男生6人,女生6人,那么,第1個(gè)女生和6個(gè)男生握過(guò)手;第2個(gè)女生和5個(gè)男生握過(guò)手;第3個(gè)女生和4個(gè)男生握過(guò)手;第4個(gè)女生和3個(gè)男生握過(guò)手;第5個(gè)女生和2個(gè)男生握過(guò)手;第6個(gè)女生和1個(gè)男生握過(guò)手。

      當(dāng)男生和女生人數(shù)一樣多時(shí),最后一個(gè)女生會(huì)和1個(gè)男生握過(guò)手。而題目中最后一個(gè)女生和7個(gè)男生握過(guò)手,可知男生比女生多了7-1=6(人)。

      所以,(50+6)÷2=28(人)。

      答:50名學(xué)生中有28名男生。

      原來(lái)設(shè)數(shù)法不僅可以幫助我們解題,還可以幫助我們找到題目中的規(guī)律!

      訓(xùn)練一二一

      1. AB、CD分別表示兩位數(shù),AB+CD=198,那么A+B+C+D=(? ?)。

      2. 小王在一個(gè)小山坡上來(lái)回跑。他先從山下跑上山,每分鐘跑200米,再沿原路下山,每分鐘跑240米。然后他又從原路上山,每分鐘跑150米,再?gòu)脑废律剑糠昼娕?00米,求小王的平均速度。

      (答案見(jiàn)下期)

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