難題的“克星”

黃旭軍

今天的數(shù)學(xué)課，老師把知識(shí)教完后，離下課還有十分鐘。于是老師突發(fā)奇想，出了道題目考大家：AB、CD分別表示兩位數(shù)，AB+CD=149，那么A+B+C+D=（? ?）。

這種條件少的題目，最傷腦筋。膽子大的班長(zhǎng)先舉手了，班長(zhǎng)說(shuō)：“我把題目中的‘AB+CD=149設(shè)成‘74+75=149，求得A+B+C+D=23。后來(lái)再將其設(shè)成‘80+69=149，結(jié)果也是23。我猜測(cè)，這個(gè)題目的結(jié)果就是23！”

“好！”數(shù)學(xué)老師帶頭鼓掌，“其實(shí)這道題目想考的是‘進(jìn)位后數(shù)字和少9，所以‘1+4+9需要再加個(gè)‘9，才正好是各個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和。可是，班長(zhǎng)另辟蹊徑，巧妙運(yùn)用設(shè)數(shù)法解決了這道難題！設(shè)數(shù)法可以說(shuō)是難題的‘克星?！?/p>

同學(xué)們紛紛向班長(zhǎng)投來(lái)崇拜的目光。

數(shù)學(xué)老師接著說(shuō)：“設(shè)數(shù)法，經(jīng)常用來(lái)解決那些看上去缺少條件的題目。我們可以在設(shè)數(shù)中找到規(guī)律及方法，從而達(dá)到事半功倍的效果，‘攻克大多數(shù)的難題?！?/p>

例1 現(xiàn)有一桶水，一頭牛15天喝完，一頭牛和一匹馬一起喝，10天喝完。請(qǐng)問(wèn)：一匹馬喝這桶水，可以喝幾天？

觀察

開(kāi)始

細(xì)細(xì)讀題，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)整個(gè)題目只有“天數(shù)”，沒(méi)有其他條件。所以我們可以把它看成工程問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解。

一頭牛喝一桶水需要15天，那么一頭牛每天喝這桶水的1

15。一頭牛和一匹馬一起喝這桶水，它們每天一共喝這桶水的1

10，則1

10-1

15=1

30。

所以，一匹馬每天喝這桶水的1

30，1÷1

30=30（天），所以一匹馬喝這桶水能喝30天 。

這樣做起來(lái)方便多了！

我們可以設(shè)這桶水有30千克，“30”這個(gè)數(shù)既是15的倍數(shù)，也是10的倍數(shù)，并且還是一個(gè)整數(shù)，也就是說(shuō)，30是15和10的公倍數(shù)。

一頭牛喝完這桶水需要15天，即每天喝30÷15=2（千克）。一頭牛和一匹馬一起喝，10天喝完，它們每天一共喝30÷10=3（千克）。那么，一匹馬每天喝3-2=1（千克）的水。30÷1=30（天）。

答：一匹馬喝這桶水，可以喝30天。

例2 小米上學(xué)時(shí)每分鐘走60米，放學(xué)時(shí)每分鐘走40米。小米往返的平均速度是多少？

平均速度=總路程÷總時(shí)間。這道題的已知條件里，一個(gè)與之相關(guān)的都沒(méi)有，條件極少。面對(duì)此類問(wèn)題我們?cè)趺崔k？

結(jié)合所學(xué)的單位“1”的思想來(lái)解決這道題。我們可以把“從家到學(xué)校的路程”看作單位“1”，那么，小米上學(xué)和放學(xué)走的總路程就是“2”。上學(xué)走路所花的時(shí)間是1÷60=1

60，放學(xué)走路所花的時(shí)間是1÷40=1

40。小米上學(xué)和放學(xué)所花的總時(shí)間就是1

60+1

40=1

24。根據(jù)“總路程÷總時(shí)間”就能把小米的平均速度求出來(lái)，即2÷1

24=48（米/分）。

答：小米往返的平均速度是48米/分。

我們還可以用設(shè)數(shù)法來(lái)求解。設(shè)上學(xué)所走路程為120米，（只要能被60和40整除的數(shù)都可以，因?yàn)橛?jì)算起來(lái)方便），這樣就可以求出小米往返的時(shí)間了。

小米上學(xué)所花時(shí)間為120÷60=2（分鐘），放學(xué)所花時(shí)間為120÷40=3（分鐘），往返的總路程為120+120=240（米），小米的平均速度=240÷（2+3）=48（米/分）。

答：小米往返的平均速度是48米/分。

例3 一場(chǎng)聯(lián)歡會(huì)共有50名學(xué)生參加，第一個(gè)到會(huì)的女生和每個(gè)男生都握過(guò)手，第二個(gè)到會(huì)的女生只差1個(gè)男生沒(méi)握手，第三個(gè)到會(huì)的女生只差2個(gè)男生沒(méi)握手……最后一個(gè)到會(huì)的女生和7個(gè)男生握過(guò)手，那么這50名學(xué)生中有幾名男生？

根據(jù)題目所給條件，已知總?cè)藬?shù)是50人，如果我們能知道男女生的人數(shù)相差多少，就能將題目解出了。

常規(guī)

思路

我們?cè)囍蟹匠虂?lái)解出題目。首先，設(shè)男生x人，女生y人。由總?cè)藬?shù)為50人可得，x+y=50。根據(jù)其他已知條件可得，x-（y-1）=7。把兩個(gè)式子相加可得，x+y+x-（y-1）=57，x=28。

答：50名學(xué)生中有28名男生。

另辟

蹊徑

如果用設(shè)數(shù)法來(lái)解這道題，能行嗎？我們一起來(lái)試一下。假設(shè)男生6人，女生6人，那么，第1個(gè)女生和6個(gè)男生握過(guò)手;第2個(gè)女生和5個(gè)男生握過(guò)手;第3個(gè)女生和4個(gè)男生握過(guò)手;第4個(gè)女生和3個(gè)男生握過(guò)手;第5個(gè)女生和2個(gè)男生握過(guò)手;第6個(gè)女生和1個(gè)男生握過(guò)手。

當(dāng)男生和女生人數(shù)一樣多時(shí)，最后一個(gè)女生會(huì)和1個(gè)男生握過(guò)手。而題目中最后一個(gè)女生和7個(gè)男生握過(guò)手，可知男生比女生多了7-1=6（人）。

所以，（50+6）÷2=28（人）。

答：50名學(xué)生中有28名男生。

原來(lái)設(shè)數(shù)法不僅可以幫助我們解題，還可以幫助我們找到題目中的規(guī)律！

訓(xùn)練一二一

1. AB、CD分別表示兩位數(shù)，AB+CD=198，那么A+B+C+D=（? ?）。

2. 小王在一個(gè)小山坡上來(lái)回跑。他先從山下跑上山，每分鐘跑200米，再沿原路下山，每分鐘跑240米。然后他又從原路上山，每分鐘跑150米，再?gòu)脑废律剑糠昼娕?00米，求小王的平均速度。

（答案見(jiàn)下期）