試論APOS理論與銳角三角函數(shù)概念的形成

朱炎

【摘要】認知是一個過程，無論對象存在何種特點，在對其進行觀察和了解的過程中，都需要掌握合理的方式方法.基于此，本文以基于APOS理論的認知過程為切入點，簡述該理論下從形象到抽象、從實踐到理論的認知特點，再以此為基礎(chǔ)，論述APOS理論與銳角三角函數(shù)概念的形成過程，最后給出基于心理學(xué)的APOS理論應(yīng)用分析，以期通過分析，明晰理論，為后續(xù)相關(guān)工作提供參考.

【關(guān)鍵詞】APOS理論;銳角三角函數(shù);循序漸進;自我理解

APOS理論最初提出于美國，杜賓斯基等人創(chuàng)立了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論模型，相關(guān)學(xué)者認為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是要進行心理建構(gòu)的，此建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下四個階段，即活動（Action）階段、過程（Process）階段、對象（Object）階段、概型（Schema）階段.每一個階段都是相互對獨立的，但又是下一個階段認知的前提，整個認知過程建立在實踐和理解、重構(gòu)的基礎(chǔ)上，具有自主的特點.

一、基于APOS理論的認知過程

（一）從形象到抽象

任何一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論與概念模型，都應(yīng)該加強對“如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”和“什么樣的教學(xué)計劃可以為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供幫助”的理解，只是陳述事實并不能對教學(xué)活動產(chǎn)生幫助.二十世紀九十年代開始，人們就將APOS理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)互動中，并應(yīng)用該理論完成數(shù)學(xué)概念的解讀，這一概念的成功應(yīng)用也彌補了當時數(shù)學(xué)概念教學(xué)中教學(xué)方式存在的不足.

在APOS理論下，認知的過程既帶有常規(guī)的漸進特點，也帶有一定的逆向特征.在該理論下，學(xué)生嘗試理解對象目標，無須進行大量的理論分析，首先以活動（Action）使對象的基本特征得到明確，這一階段的認知是形象的、可視的.進入過程（Process）階段，認知開始變得系統(tǒng)，對象的特點信息將起到推動認知的作用.進入對象（Object）階段，目標在學(xué)生的大腦中已經(jīng)很明確，具有與眾不同的特色，但也越發(fā)抽象.進入概型（Schema）階段，學(xué)生已經(jīng)擺脫了認知對象外觀的限制，能夠在腦海中任意構(gòu)建相同的形象，認知徹底抽象化，也標志著APOS理論下的認知過程進入結(jié)束階段.

（二）從實踐到理論

實踐是一切學(xué)習(xí)、認知過程的最初形式，在科學(xué)發(fā)展乃至文明社會出現(xiàn)的早期，所有認知方式都是以實踐形式開展的，在APOS理論下，實踐依然是認知的基本方式.無論目標對象存在何種差別，嘗試了解其規(guī)律、屬性，都必須對其進行具體分析，這一過程是主觀對客觀進行的、有目的的分析探索[1].

（三）從觀察到理解

觀察與理解是認知的兩個關(guān)聯(lián)性步驟，理解的方式可以分為很多種.在APOS理論下，觀察實際上是活動（Action）的具體表現(xiàn)，即包括簡單的外觀觀察，也包括觀察后的分析解讀，在此過程中，學(xué)生需要通過觀察將尚未形成系統(tǒng)認知的事物進行拆解，使其不斷系統(tǒng)化、概念化、結(jié)構(gòu)化.如學(xué)生嘗試理解“不同三角形的特點”，首先通過觀察抓住理解的重點，之后以自己此前所學(xué)進行思考，進入過程（Process）階段，獲取了自身理解后，無論成果如何，均進入下一階段，即對象（Object）階段，當學(xué)生對“不同三角形的特點”的理解沒有被后續(xù)吸收的知識推翻，即進入概型（Schema）階段，形成了最終的理解.

二、APOS理論與銳角三角函數(shù)概念的形成過程

（一）活動（Action）階段

銳角三角函數(shù)概念的理解，同樣是認知過程的一種具體化，在初始階段，也即活動（Action）階段，概念的形成是非結(jié)構(gòu)化的、模糊化的.如中學(xué)生可以分辨銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，但對如何通過函數(shù)進行表達，大部分學(xué)生都缺乏認知.在APOS理論下，認知的形成以具體的實踐方式為起點.學(xué)生對各類函數(shù)進行解析，構(gòu)建不同的圖像，持續(xù)進行實踐，由于函數(shù)的多樣性，實踐過程很可能是漫長的，經(jīng)歷多重失敗后，學(xué)生會自發(fā)總結(jié)規(guī)律，如函數(shù)某一個值的變大總是導(dǎo)致三角形角度增加，產(chǎn)生了角度更大的鈍角三角形，那么嘗試將該數(shù)值縮小，就有可能獲取直角或者銳角三角形，在此理論的引導(dǎo)下，學(xué)生可自然而然地優(yōu)化認知行為，并在持續(xù)進行活動（Action）的情況下，順利進入下一階段.

（二）過程（Process）階段

當學(xué)生嘗試通過縮小某一固定值獲取銳角三角形時，其認知行為進入了過程（Process）階段，該階段的認知變化是對活動（Action）階段的無限次重復(fù).假定學(xué)生本身的敏銳程度、總結(jié)能力不強，可能持續(xù)對數(shù)值進行推敲，每次減少少量值，使認知的過程枯燥煩瑣，直到無數(shù)次實驗后，才能獲取認知上的突破，這是APOS理論下，學(xué)生形成銳角三角形概念的最常見過程.此外，還有兩種認知行為也提升概念形成的效率，一種為結(jié)構(gòu)化知識引導(dǎo)，另一種為半結(jié)構(gòu)化知識引導(dǎo).結(jié)構(gòu)化知識引導(dǎo)，是指學(xué)生獲取了直接的教導(dǎo)，能夠以規(guī)律的形式快速摸索出最有效的實踐方法，這是APOS理論被發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用的初衷，最典型的就是教學(xué)工作.半結(jié)構(gòu)化的知識引導(dǎo)體現(xiàn)在認知過程中，學(xué)生能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)認知規(guī)律，從而提升認知過程的效率.無論以何種方式完成銳角三角函概念過程（Process）階段的認知，都會自然進入第三個階段，即對象（Object）階段[2].

（三）對象（Object）階段

簡單地說，當個體意識可以將過程看作是一個整體，并對其進行變形或者轉(zhuǎn)換操作時，就會將整個過程當作為一般意義上的數(shù)學(xué)對象.過程就會凝聚為對象.這樣做，可以讓對象階段的過程更加精致化，以自身的特性形成獨立對象，并參與數(shù)學(xué)活動，對象階段不僅可以操作其他對象，還能夠被比它層次更高的運算操作，從而為對方進行服務(wù)，為數(shù)學(xué)深入研究創(chuàng)造有利條件.

在對象（Object）階段內(nèi)，以APOS理論為視角，學(xué)生開始形成了對銳角三角函數(shù)的初步認知，這種認知很大程度上是片面的，如學(xué)生通過不斷的參數(shù)代入，在無數(shù)次的實踐過程中，獲取了第一個銳角三角函數(shù)公式，在沒有進一步探索的情況下，學(xué)生對銳角三家函數(shù)的認知可能會長時間停留在這一階段，形成認知上的“坐井觀天”效應(yīng).對象（Object）階段可視作為認知的第一個階段性目標，為避免“坐井觀天”效應(yīng)，就需要重復(fù)上述兩個階段的工作，即持續(xù)的活動（Action）、過程（Process），不斷進行認知上的積累，學(xué)生對銳角三角函數(shù)的理解也會更加全面化、系統(tǒng)化.如果在對象（Object）階段獲得了理論指導(dǎo)（包括結(jié)構(gòu)化理論指導(dǎo)和半結(jié)構(gòu)化理論指導(dǎo)），可以使該階段的認知快速提升.如學(xué)生通過摸索獲取了一個能夠生成銳角三角函數(shù)的等式，給予半結(jié)構(gòu)化引導(dǎo)，使學(xué)生獲知極限值理論，在等式的極限值（角度90°）下，任何參數(shù)的變化都可以保證生成銳角三角形圖像，學(xué)生對該函數(shù)的認知生成了第一個重要規(guī)律，以此類推，其在對象（Object）階段的認知會持續(xù)完善.

（四）概型（Schema）階段

概型（Schema）階段，也即學(xué)生形成了認知的結(jié)束階段，該階段內(nèi)，學(xué)生通過多次的活動（Action）、過程（Process），進入對象（Object）階段，并形成了明確的認知，明確銳角三角函數(shù)概念以及其多種變化特點，已經(jīng)較為清晰的、牢固的被學(xué)生掌握.學(xué)生面對函數(shù)等式時，也能相應(yīng)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的銳角三角形圖像.在APOS理論下，概型（Schema）階段的認知能力提升事實上不是一成不變的，學(xué)生可能在知識疏于應(yīng)用、學(xué)習(xí)懈怠的情況下失去對固有認知的掌握，喪失對銳角三角函數(shù)概念的認識，在此情況下，嘗試重新獲取知識，可以進入此前的認知循環(huán)，從活動（Action）階段重新開始.如果學(xué)生嘗試理解更高深的知識，也可以以概型（Schema）結(jié)果為基礎(chǔ)，進行深入學(xué)習(xí)，提升認知水平.

三、基于心理學(xué)的APOS理論應(yīng)用分析

APOS理論，本質(zhì)上是循序漸進的認知過程，強調(diào)以自我理解能力的深入優(yōu)化提升認知水平，這一過程是循序漸進的，也是APOS理論后續(xù)應(yīng)用的基本要求.如嘗試進行宣傳工作，但目標群體對宣傳內(nèi)容的理解十分有限，依然強調(diào)結(jié)構(gòu)化宣傳，結(jié)果可能并不理想.可以利用受眾心理構(gòu)建的基本特點，首先傳遞基礎(chǔ)知識，如宣傳內(nèi)容的某一個要素，當受眾能夠理解這一要素后，再大范圍開展其中內(nèi)容的宣傳，使受眾的認知過程漸進化，逐步完善.此外，APOS理論還強調(diào)自我理解和消化，這即是說，不能一味進行結(jié)構(gòu)化知識的傳遞，也不能在學(xué)生尚未進入認知的下一階段時，盲目推進認知過程.應(yīng)確保學(xué)生在活動（Action）階段、過程（Process）階段進行了足夠完善的實踐，再嘗試進入對象（Object）階段，并將該階段作為重點，使學(xué)生持續(xù)進行認知積累，最終自然步入概型（Schema）階段，自行掌握結(jié)構(gòu)化的知識.

以“直線的斜率”教學(xué)設(shè)計為案例加以分析，探究APOS理論的有效應(yīng)用.在活動階段時，需要感受概念的直觀背景，通過對背景的解析形成感性認識.無論是人們常見的拱橋，還是太空中行星軌跡，都是以曲線的形式完成運動，如果從數(shù)學(xué)角度去探索曲線運動軌跡，就需要加以量的刻畫，人們也因此創(chuàng)造了解析幾何學(xué).過程階段內(nèi)，教師提問：“大家小時候玩過蹺蹺板嗎？如果將蹺蹺板想象為一條直線，蹺蹺板運動的時候就會出現(xiàn)一系列直線，這些直線都有什么共同之處？”隨后，學(xué)生就會指出這些直線都會經(jīng)過同一個點，教師再次提問：“這些直線方向不同，如果將方向統(tǒng)一確定為一個方向，那么蹺蹺板運動過程中直線是不是就確定了？”得到了學(xué)生的肯定回答之后，教師總結(jié)出：直線的確定需要一個點與一個方向.

斜拉橋拉鎖也可以按照上述的蹺蹺板案例進行分析，拉鎖可以看成是方向不同的直線，對橋面來說，這些直線的存在只能代表傾斜度不相同.想要用數(shù)學(xué)方法刻畫直線傾斜度，需要思考以下兩個問題：（1）為什么大橋的引橋很長？（2）為什么人會感覺從很高的地方滑下來會更加刺激？通過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)傾斜程度與高度、寬度的比有關(guān)系.于是教師提問：“如果任意畫出兩條直線，如何判斷出兩條直線的傾斜程度？”隨后，學(xué)生提出了參考系，將其引入直角坐標系.由此可見，APOS理論對目前數(shù)學(xué)概念教學(xué)來說，有著一定的借鑒意義，教師在課堂實踐活動中可以將實際與理論相結(jié)合，利用客觀實際分析概念理論，通過總結(jié)與反思設(shè)計數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動，只有這樣才能夠讓學(xué)生對概念知識有充分的了解，進而優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，完善知識體系.

綜上，在APOS理論下，銳角三角函數(shù)概念的形成是一個典型的、漸進式的認知過程，與常規(guī)認知的思路不同，APOS理論強調(diào)以實踐為基礎(chǔ)和引導(dǎo)，使認知過程更加具體化，實現(xiàn)了從形象到抽象、從實踐到理論、從觀察到理解的認知過程.這也為其后續(xù)應(yīng)用提供了更多思路，包括強調(diào)循序漸進、強調(diào)實踐認知、強調(diào)自我理解等，進一步發(fā)揮心理引導(dǎo)作用，提升認知效果.

【參考文獻】

[1]趙紅霞，李丹.基于APOS理論的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究——以《軸對稱圖形》教學(xué)為例[J].兵團教育學(xué)院學(xué)報，2018（2）：61-65.

[2]劉洪霞，趙文才，包云霞.基于APOS理論的高等數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)設(shè)計與實踐[J].統(tǒng)計與管理，2018（1）：96-98.