例析充分必要性的常見(jiàn)判別方法

許萬(wàn)成

(江蘇省建湖縣第二中學(xué)，224700)

邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一．條件與結(jié)論的充分性與必要性是邏輯推理內(nèi)容的重要組成部分．不少同學(xué)在學(xué)習(xí)這一部分的內(nèi)容時(shí),由于缺少方法的積累出現(xiàn)丟分的現(xiàn)象．為此,筆者根據(jù)平時(shí)的教學(xué)，給同學(xué)們提供三種常見(jiàn)的判斷方法,希望能夠有所幫助．

方法1定義法

如果命題“若p則q”為真命題,則p為q的充分條件,q為p的必要條件.

例1“x=2”是“x2-x-2=0”的______條件.

解易見(jiàn)當(dāng)x=2作為條件時(shí),結(jié)論x2-x-2=0肯定成立，故命題“若x=2,則x2-x-2=0”為真命題,所以“x=2”是“x2-x-2=0”的充分條件.

但是當(dāng)x2-x-2=0作為條件時(shí),可得x=-1或2，x=2作為結(jié)論則不一定成立，即命題“若x2-x-2=0,則x=2”為假命題，所以“x=2”不是“x2-x-2=0”的必要條件.

故答案應(yīng)填寫(xiě)充分不必要.

方法2集合法

設(shè)條件p所對(duì)應(yīng)的集合為A,結(jié)論q所對(duì)應(yīng)的集合為B.若A?B，則p為q的充分條件；若B?A，則p為q的必要條件.

例2“x>2”是“x>1”的______條件.

解因?yàn)閷?duì)任意x∈{x|x>2}，都有x∈{x|x>1},所以命題“若x>2，則x>1”是真命題,故“x>2”是“x>1”的充分條件．又因?yàn)榇嬖趚>1使x<2,所以命題“若x>1，則x>2”是假命題,即“x>2”不是“x>1”的必要條件.

綜上，應(yīng)填寫(xiě)充分不必要.

評(píng)注設(shè)集合A={x|x滿(mǎn)足條件p}，集合B={x|x滿(mǎn)足條件q}.

若A?B,則p是q的充分條件；

若A?B,則p是q的充分不必要條件；

若B?A,則p是q的必要條件；

若B?A，則p是q的必要不充分條件；

若A=B,則p是q的充分條件.

方法3等價(jià)法

因?yàn)樵}與逆否命題的真假性一致,所以當(dāng)條件與結(jié)論中含有的否定較多時(shí),我們可以使用等價(jià)法來(lái)判斷條件與結(jié)論之間的充分性與必要性．

例3“x≠2或y≠8”是“x+y≠10”的______條件.

解因?yàn)樵}與逆否命題的真假性相同,而命題“若x+y=10，則x=2且y=8”是假命題,所以命題“若x≠2或y≠8，則x+y≠10”是假命題.故“x≠2或y≠8”不是“x+y≠10”的充分條件.

因?yàn)槊}“若x=2且y=8，則x+y=10”是真命題,所以命題“若x+y≠10，則x≠2或y≠10”是真命題,所以“x≠2或y≠8”是“x+y≠10”的必要條件.

綜上，答案為必要不充分.