陳實 石昌梅 彭春源 何丁莉
[摘? ? ? ? ? ?要]? 達朗貝爾判別法是判別正項級數(shù)斂散性一種非常方便和常用的方法,這種方法對某些級數(shù)斂散性的判別卻是無效的.主要通過舉例說明達朗貝爾判別法失效的兩種情況,給出了判別這類級數(shù)斂散性的一些方法和思路.
[關? ? 鍵? ?詞]? 正項級數(shù);達朗貝爾判別法;斂散性;失效
[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603(2020)32-0056-02
無窮級數(shù)是數(shù)學分析中的一個重要組成部分,無窮級數(shù)又分為數(shù)值級數(shù)和函數(shù)項級數(shù),數(shù)值級數(shù)是研究函數(shù)項級數(shù)的基礎.函數(shù)項級數(shù)是用于表示函數(shù)的一個重要工具,特別是非初等函數(shù)的表示問題.對某些函數(shù),利用冪級數(shù)可將其表示成無窮項多項式的和,同時通過選取有限項來近似計算時可以估計其誤差等.所以,無窮級數(shù)對于研究函數(shù)起到非常重要的作用.
對無窮級數(shù)最重要的問題是什么呢?對給定的級數(shù),最核心的兩個問題是:(1)判別所給級數(shù)是否收斂;(2)如果級數(shù)收斂,則級數(shù)的和為多少?所以,對一個級數(shù)而言,首當考慮的是其斂散性的判別問題.那么,如何判別一個級數(shù)的斂散性呢?有關級數(shù)斂散的判別法有很多,常用的方法有:(1)利用級數(shù)斂散的定義,將問題轉化為求數(shù)列極限的問題,這種方法的前提是所給級數(shù)的前n項部分和要能夠比較容易地計算出來,這對許多級數(shù)而言都是比較困難的,例如級數(shù);(2)利用級數(shù)斂散性的柯西收斂準則,這種方法是級數(shù)理論上的一個非常重要的結果,但對具體的級數(shù)而言,柯西收斂準則應用起來會比較麻煩,甚至會不易判別;(3)可以借助已知斂散性的級數(shù),以及級數(shù)的運算性質來進行判別;(4)利用級數(shù)相關判別法,例如比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾判別法、萊布尼茨判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法等[1].
正項級數(shù)作為數(shù)值級數(shù)的一類重要類型,其斂散性判別法常用的有比較判別法、柯西判別法和達朗貝爾判別法等,為了使判別法更精細、應用更廣泛,學者們在已有的這些經(jīng)典方法的基礎上,進一步深入地研究和探討正項級數(shù)斂散性的判別方法,例如有關推廣判別法的研究,文獻[2]對拉貝判別法和達朗貝爾判別法進行了進一步的研究,并考慮更精細的級數(shù)作為比較標準,從而將已有方法做了兩個推廣;又有將新的級數(shù)作為比較標準,得到比較判別法的新審斂法,由此總結出:當正項級數(shù)的通項含有l(wèi)n(n)且較復雜時,可以考慮用此審斂法[3];還有基于柯西積分判別法和比較原理,證明了某些正項級數(shù)的斂散性,并將這些結果推廣到更一般的情形[4].關于正項級數(shù)的斂散性問題的研究還有很多,例如文獻[5-11],學者們從不同角度,利用不同的方法和工具對正項級數(shù)的斂散性進行探討,例如文獻[5]是利用函數(shù)的泰勒展開式以及極限的運算性質,再借助已知級數(shù)的斂散性,推導出判別正項級數(shù)斂散性的兩種方法,并在此基礎上得到了通項遞減的正項級數(shù)斂散性的兩種判別法.
本文主要是在判別正項級數(shù)斂散性的達朗貝爾判別法的基礎上,討論該方法的應用問題,其中主要考慮達朗貝爾判別法失效的情形,通過舉例說明達朗貝爾判別法失效的兩種情況,并給出其中某些級數(shù)斂散性判別的一些方法.
一、達朗貝爾判別法
正項級數(shù)作為一類重要的級數(shù),由于級數(shù)理論的復雜性和不確定性,我們看到并不能建立一種萬能的判別方法,因為針對不同類型的級數(shù)可能需要應用不同的判別法,所以,這使級數(shù)斂散性的判別方法有很多.比較判別法是判別正項級數(shù)斂散性一種最基本和最常用的方法.在比較判別法中,當以幾何級數(shù)n作為比較的標準級數(shù)時,得到了柯西(Cauchy)判別法和達朗貝爾(DAlembert)判別法.柯西判別法和達朗貝爾判別法的極限形式敘述如下:
從定理2的敘述可以知道,達朗貝爾判別法是通過考察比來判斷級數(shù)的增長速率的,而且該判別法是具體級數(shù)判別問題中非常便利的一種方法.一般地,當級數(shù)通項中包含有n的階層或n的次冪時,達朗貝爾判別法都是有效的,我們可以通過下面兩個級數(shù)斂散性的判別看到.
從這兩個級數(shù)斂散性的判別操作上可以看到,達朗貝爾判別法在實際應用中是非常方便的.那么,達朗貝爾判別法適用于哪些類型級數(shù)的斂散性判別呢?從理論上來看,由于達朗貝爾判別法是以幾何級數(shù)用,例如,調和級數(shù)就無法用達朗貝爾判別法判斷其斂散性. 因此,對達朗貝爾判別法失效的正項級數(shù),如何判別它們的斂散性便成為一個需要討論的問題.下面,我們將討論達朗貝爾判別法失效的兩種情況,并給出其中某些常見類型級數(shù)斂散性判別的一些方法和思路,通過實例進行解析.由此希望能給讀者在學習正項級數(shù)斂散性判別法時提供一點解題思路和建議.
二、達朗貝爾判別法失效的情況分析
(1)對通項為單調增加數(shù)列的級數(shù),可以考慮其通項極限是否為零.
我們知道,收斂級數(shù)一個重要的必要條件是其通項極限為零,所以,這個命題的逆否命題為真的,即若級數(shù)通項數(shù)列的極限不為零,則級數(shù)是發(fā)散的.因此,如果級數(shù)的通項是單調增加的,而且其首項不為零,則此時級數(shù)的通項的極限不為零,故可以判斷級數(shù)是發(fā)散的.我們來看下面具體的例子.
(2)對斂散性比幾何級數(shù)慢的級數(shù),可以考慮以比幾何級數(shù)斂散更慢的正項級數(shù)作為新的比較標準而得到更精細的判別法,這樣判別法適用范圍也將會有所擴大.例如下面的拉貝(Raabe)判別法即是廣義調和級數(shù)作為比較級數(shù)所得到的判別法.
所以,對斂散性比幾何級數(shù)慢的級數(shù),可以考慮用拉貝判別法,甚至用比拉貝判別法更細致的其他推廣形式,例如文獻[2]中的推廣方法等.
參考文獻:
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◎編輯 馬燕萍