關(guān)于Navier-Stokes-Voight 方程的若干探究

孫成峰， 劉星辰，焦小玉

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023)

論文主要研究Navier-Stokes-Voight(NSV)方程.文獻(xiàn)[1-2]將NSV方程作為線性粘彈性流的運(yùn)動(dòng)模型提出，描述了Kelvin-Voight 粘彈性不可壓流體的動(dòng)力學(xué).文獻(xiàn)[3]將非粘性簡(jiǎn)化Bardina模型(非粘性確定NSV方程)看作帶有周期邊界條件的3維無粘歐拉方程的正則化,得到確定系統(tǒng)存在唯一弱解. 文獻(xiàn)[4]研究3維無粘確定性Kelvin-Voight模型生成的半群具有有限維全局吸引子，得到了它的整體正則性. 當(dāng)流體動(dòng)力學(xué)中湍流的影響不能用確定的函數(shù)來描述，引入隨機(jī)因素是合適而且是必然的.文獻(xiàn)[5]研究3維可加噪聲驅(qū)使下的隨機(jī)NSV方程，得到其全局解的適定性，并在此基礎(chǔ)上得出隨機(jī)吸引子的存在性，給出了其Hausdorff維數(shù)的上界估計(jì).

在此基礎(chǔ)上，作者運(yùn)用無窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的Galerkin逼近、Sobolev空間中的嵌入定理以及能量解的一致估計(jì)[6-12]，得出NSV方程全局解的適定性.最后，通過緊性理論及Chebyshev不等式得到隨機(jī)方程不變測(cè)度的存在性.

1 預(yù)備知識(shí)

論文用u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))表示不可壓流體的速度,p(x,t)表示壓力.3維空間下的Navier-Stokes-Voight方程為

其中：Ω是一個(gè)帶有光滑邊界的有界區(qū)域；f(x)=(f1(x),f2(x),f3(x))表示給定的外部壓力，與時(shí)間t相互獨(dú)立；νΔu表示擴(kuò)散項(xiàng)；ν>0是粘性系數(shù)；gk表示隨機(jī)壓力項(xiàng).

定義v=(v1,v2,v3)，u=(u1,u2,u3)，且

定義空間

其模為‖v‖1=‖v‖V=‖v‖.由Poincaré不等式，有V0=H,Pn:(L2(Ω))3→H. Helmholtz-Leray 即正交投射算子，定義

Aw=-PnΔw,?w∈D(A)

為Stokes算子，D(A)=(H2(Ω))3∩V，A的特征向量wj構(gòu)成H的標(biāo)準(zhǔn)正交基且滿足

Awj=λjwj0<λ1≤λ2≤λ3≤….

定義

Hn=span{w1,w2,…,wn}，

并且令Pn是H到Hn的投射，定義Qn=I-Pn.

引理1定義一個(gè)非線性算子b為

b(u,v,w)=-b(u,w,v).

關(guān)于非線性算子b，有如下估計(jì)[2]

|b(u,v,w)|≤C‖u‖1/2‖u‖1/2‖v‖‖w‖,?u,v,w∈V,

|b(u,v,u)|≤C‖u‖1/2‖u‖3/2‖v‖,?u,v,w∈V,

|b(u,v,w)|≤C‖u‖‖v‖‖w‖1/2‖w‖1/2,?u,v,w∈V,

其中：C為實(shí)常數(shù).

下面給出噪聲強(qiáng)度項(xiàng)g(x,t,ω)的一些定義和條件.假設(shè)Y是任意一個(gè)可分的Hilbert空間，通過內(nèi)積定義l2(U)，有

對(duì)任意賦范空間Y，g是一致Lipschitz連續(xù)的，如果存在KY，有

|g(x,t,ω)-g(y,t,ω)|≤KY|x-y|Y，

并且

|g(x,t,ω)|l2(U)≤KY(1+|X|Y)，

其中：KY與t和ω之間相互獨(dú)立.

2 隨機(jī)NSV方程的適定性

先對(duì)NSV方程做一個(gè)Helmholtz-Leray 正交投射

(L2(Ω))3→H,

在上述框架下，Navier-Stokes-Voight 方程可以寫成

(1)

其中：B(U)=B(u,u)，b(u,v,w)=(B(u,v),w)，?u,v,w∈V.壓力項(xiàng)消失是由于在V′空間中p=0.

2.1 Galerkin系統(tǒng)及一致估計(jì)

定義1(Galerkin System) 如果?v∈Hn，有(1)式成立，則隨機(jī)過程u(n)∈C(0,T;Hn)是Galerkin 系統(tǒng)的一個(gè)解

〈u(n)(0),v〉=〈u0,v〉，

(2)

即

u(n)(0)=Pnu0.

(3)

為了表述方便，論文在下面的方程中均用u代替u(n).

定理1假設(shè)u是n階Galerkin的一個(gè)解，并且

g∈Lipu(H,l2(H)),f∈L2(Ω;L2(0,T;V′))，

則

其中：CW是一個(gè)合適的常數(shù)，CW=CW(p,ν,λ1,T,|f|L2(Ω;L2(0,T,V′),KH)).

證明對(duì)(2)式運(yùn)用It公式得到

(4)

(5)

所以，有

d(‖u‖2+α2‖u‖2)+d0(‖u‖2+α2‖u‖2)≤

對(duì)上式的最后一項(xiàng)，運(yùn)用Burkholder-Davis-Gundy(BDG)不等式，有

將上式整理得

2.2 隨機(jī)NSV方程解的全局適定性

定理2假設(shè)u是n階Galerkin系統(tǒng)的解，并且

g∈Lipu(H2,l2(H)),f∈L2(Ω;L2(0,T;V′))，

則

證明對(duì)(2)式運(yùn)用It公式得

d(‖u-α2Δu‖2)=2〈u-α2Δu,ut-α2Δut〉，

化簡(jiǎn)整理得

d(‖u-α2Δu‖2)+2ν(‖u‖2+α2‖Δu‖2)=

對(duì)b(u,u,Δu)進(jìn)行估計(jì)，有

ν‖

令h=min{d0,d1},則整理得到

不等式兩邊取上確界,可得

對(duì)上式化簡(jiǎn)整理得

C(KH,α2)(1+‖f‖2+sup‖u‖2).

由定理1可知sup‖u‖2≤Cw，所以sup‖u-α2Δu‖2≤CW，u∈L2([0,(∞),H2) .

定理3(存在性) 存在一個(gè)u,B*和g*，u∈L2(Ω,L2(0,T;V)∩L∞(0,T;H2)) ，并且

B*∈L2(Ω;L2(0,T;V′))g*∈L2(Ω;H2(0,T;l2(H)))，

使得u,B*,g*對(duì)于任意試驗(yàn)函數(shù)v∈V，滿足

(6)

u(0,v)=u0(v)，

證明因?yàn)?/p>

所以序列{PnB(u(n))}一致有界，可以找到B*∈L2(Ω;L2(0,T;V′))，使得PnB(u(n))弱收斂于B*，有

設(shè)u滿足(2)式，對(duì)于任意一個(gè)可測(cè)集E?Ω×[0,T]，v∈V，有

|(B(U)-PnB(u(n)),v)|=|B(U)-PnB(U)+PnB(U)-PnB(u(n))|≤

|((I-Pn)B(U),v)|+|(PnB(u-u(n),u),v)|+|(PnB(u(n),u-u(n)),v)| ≤

C‖(I-Pn)v‖(‖u‖6+‖u‖2)+‖(u-u(n))‖‖v‖(‖u‖+‖u(n)‖)，

兩邊取期望，得

另外，對(duì)于每一個(gè)k，有

其中

由控制收斂定理，得

d((‖Pnu-u(n)‖2eψ+α2‖(Pnu-u(n))‖2)eψ)+2ν‖(Pnu-u(n))‖2eψdt=

此處ψ為非正函數(shù).

-2(Pnu-u(n),B*-B(un))≤2|(Pnu-u(n),B*-B(un))|=

(B(un-Pnu,Pnu)+(B(Pnu)-B(U))+(B(U)-B*),Pnu-u(n))≤

C‖u(n)-Pnu‖1/2‖(u(n)-Pnu)‖3/2‖Pnu‖+

((B(Pnu)-B(U))+(B(U)-B*),Pnu-u(n))≤

C(ν)‖Pnu‖‖u(n)-Pnu‖2+ν‖(u(n)-Pnu)‖2+(B(Pnu-u.Pnu)+

B(u,Pnu-u),Pnu-u(n))+((B(U)-B*),Pnu-u(n)).

定理得證.

定理4(唯一性) 假設(shè)u1,u2都是方程的解，并且在空間H中幾乎處處u1(0)=u2(0)，有

P(‖u1-u2‖2+α2‖(u1-u2)‖2,?t∈[0,∞))=1.

3 不變測(cè)度的存在性

證明假設(shè)u是方程的弱解，有

‖u‖2+α2‖u‖2=‖u(0)‖2+α2‖u(0)‖2-ν‖u‖2dt-2b(u,u,u)dt+

兩邊取期望，得

E(‖u‖2+α2‖u‖2)≤‖u(0)‖2+α2‖u(0)‖2-νE‖u‖2dt+

因?yàn)镠1嵌入到L2中，有

E‖u‖2≤‖u(0)‖2+α2‖u(0)‖2-νλ1E‖u‖2dt+

(7)

因此，由Gronwall不等式得

(8)

由(7)，(8)式得

(9)

假設(shè)P(t,x.A)是u的轉(zhuǎn)移概率測(cè)度，并且

對(duì)于任意的x∈H,?ε>0，?T>0，存在一個(gè)半徑為R的球，R>0,BR={x∈H;‖x‖≤R}，根據(jù)Chebyshev不等式，由(8)，(9)式得

對(duì)于固定的M>0,?ε>0，當(dāng)R充分大時(shí)，有μT(BR)>1-ε.因此 {μT,T>0}是緊的，并且它的極限是方程(1)弱解的一個(gè)不變概率測(cè)度.