含隱藏吸引子的分?jǐn)?shù)階Sprott E系統(tǒng)動力學(xué)分析及投影同步

張盟琦，張宏立，王 聰

(新疆大學(xué) 電氣工程學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830047)

混沌是非線性動力系統(tǒng)出現(xiàn)的一種隨機(jī)現(xiàn)象,廣泛存在于工程領(lǐng)域[1].混沌系統(tǒng)中,主要存在兩種吸引子:自激吸引子和隱藏吸引子.隱藏吸引子具有與自激吸引子完全不同的動力學(xué)特征, 得到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注[2-5].文獻(xiàn)[6]在Chua系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了隱藏吸引子，并對其進(jìn)行了動力學(xué)分析. 文獻(xiàn)[7]構(gòu)造了無任何平衡點的混沌狀態(tài),調(diào)整參數(shù)使4維憶阻自激振蕩系統(tǒng)含有隱藏吸引子.文獻(xiàn)[8]分析了一類具有隱藏吸引子的Jerk混沌系統(tǒng),證明系統(tǒng)存在穩(wěn)定平衡點. 文獻(xiàn)[9]研究了高維非線性系統(tǒng)的隱藏吸引子.文獻(xiàn)[10]研究了一種具有隱藏吸引子的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為及有限時間同步.文獻(xiàn)[11]對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)進(jìn)行了研究,主要集中在函數(shù)投影同步方面,使系統(tǒng)在不同階次上實現(xiàn)投影同步.文獻(xiàn)[12]對整數(shù)階Sportt E系統(tǒng)的混沌動力學(xué)行為進(jìn)行了研究,但未涉及分?jǐn)?shù)階.筆者采用分?jǐn)?shù)階時域求解的方法，對分?jǐn)?shù)階Sprott E系統(tǒng)的動力學(xué)行為進(jìn)行研究,使用投影同步的方法設(shè)計控制器,實現(xiàn)同步控制.

1 分?jǐn)?shù)階Sprott E系統(tǒng)及動力學(xué)分析

1.1 分?jǐn)?shù)階微分概述

根據(jù)不同的研究背景和意義,分?jǐn)?shù)階微分賦予了多種形式的定義，目前使用較多的有Riemann-Liouvile、Caputo和Grunwald-Letnikov定義[13-14]. 在工程應(yīng)用中，Caputo定義的物理含義更加明確,對分?jǐn)?shù)階微分方程初始值問題的描述更有意義，因此該文采用Caputo定義.

定義1Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義式為

(1)

其中：q為階數(shù),n為大于q的最小整數(shù)，且n-1

令

(2)

分?jǐn)?shù)階微分方程可描述為

(3)

該方程的通解為x(t)=x(0)Eq(Atq)，其中

(4)

1.2 系統(tǒng)模型及平衡點

整數(shù)階Sprott E系統(tǒng)是最簡單的3維混沌系統(tǒng), 由2個2次非線性5項多項式組成，由J. C. Sprott通過計算機(jī)窮舉法發(fā)現(xiàn)[15]. 整數(shù)階Sprott E系統(tǒng)定義為

(5)

將整數(shù)階Sprott E系統(tǒng)推廣到分?jǐn)?shù)階，構(gòu)造的含隱藏吸引子的分?jǐn)?shù)階Sprott E系統(tǒng)為

(6)

其中：a為系統(tǒng)參數(shù)；q為系統(tǒng)的階次,且0

定理1[12]當(dāng)a=0.005時,分?jǐn)?shù)階Sprott E系統(tǒng)(6)具有唯一穩(wěn)定平衡點.

證明令式(6)右側(cè)為0, 得到系統(tǒng)的平衡點方程為

(7)

解式(7)得到系統(tǒng)僅有的平衡點O為

(0.25,0.062 5,-0.08).

(8)

在此平衡點，系統(tǒng)的雅可比矩陣為

(9)

令其特征多項式det(λI-J)=0,得到對應(yīng)的特征值為

(10)

由式(10)可知，3個特征值均有負(fù)實部，可知該平衡點具有穩(wěn)定性.

1.3 動力學(xué)分析

分岔圖在觀察系統(tǒng)參數(shù)變化方面獨具優(yōu)勢,可直觀顯示參數(shù)變化軌跡.以階次q為變量,取x(0)=0,y(0)=0.5,z(0)=0.2，進(jìn)行數(shù)值仿真分析,得到狀態(tài)變量x隨階次q變化的分岔圖如圖1所示.

圖1 變量x隨階次q變化的分岔圖

由圖1可知,當(dāng)q<0.987時,系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)0.987

通過相軌跡、時域圖、龐加萊截面、功率譜進(jìn)一步分析系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特征.取仿真時間為500 s、步長為0.005,利用預(yù)估校正數(shù)值算法,得到系統(tǒng)的相軌跡如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)的相軌跡

由圖2可知,3維吸引子相圖看起來雜亂無章但其中也有規(guī)律性.2維吸引子相圖呈現(xiàn)如下混沌特性:單渦卷特性、伸展的螺旋運動和折返的單向運動，其吸引子的隨機(jī)性主要表現(xiàn)為折返運動的不確定性,表明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).圖3為系統(tǒng)的x時域圖.

圖3 系統(tǒng)的x時域圖

從圖3可看出,隨著時間遞增系統(tǒng)狀態(tài)變量的變化看起來雜亂但其中也呈現(xiàn)有序的情形,可見系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

根據(jù)龐加萊映射,得到系統(tǒng)z=0的龐加萊截面如圖4所示.從圖4可看出，龐加萊截面由密集的點構(gòu)成，對應(yīng)著吸引子伸展的螺旋運動,具有分形結(jié)構(gòu)的密集分布特征.取采樣頻率為0.2 Hz,仿真時間為500 s,得到系統(tǒng)的功率譜如圖5所示.從圖5可看出，功率譜是連續(xù)譜，且沒有明顯的峰值.根據(jù)龐加萊截面和功率譜的特征，可知系統(tǒng)處于明顯的混沌狀態(tài).

圖4 系統(tǒng)z=0的龐加萊截面圖 圖5 系統(tǒng)的功率譜

2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的投影同步

2.1 投影同步

所謂投影同步是通過調(diào)整常數(shù)尺度因子,使響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動系統(tǒng)實現(xiàn)完全同步,即各狀態(tài)變量在相同比例下同步. 該同步方法具有不同于傳統(tǒng)控制的優(yōu)點,可對兩種系統(tǒng)(驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng))狀態(tài)變量間的尺度因子進(jìn)行任意調(diào)整.

筆者在文獻(xiàn)[11]基礎(chǔ)上,將Rossler系統(tǒng)和Sprott E 系統(tǒng)分別作為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng),設(shè)計控制器以實現(xiàn)同步控制.

定理2將Rossler系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)，其可描述為

(11)

其中：xd，yd，zd為驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)變量；q=0.99.

將Sprott E系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng),其可描述為

(12)

其中：xr，yr，zr為響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量；u1，u2，u3為非線性控制項；q=0.99.

存在控制器

(13)

使Sprott E系統(tǒng)與Rossler系統(tǒng)完全同步.

證明當(dāng)a=0.2,b=0.2,c=5.7時,驅(qū)動系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.

定義投影同步誤差為

(14)

其中：α(t)為尺度函數(shù).對式(14)兩端求導(dǎo)得

(15)

整理得

(16)

引入如下Lyapunov函數(shù)

(17)

通過計算得

-e12-e22-e32≤0.

(18)

2.2 數(shù)值仿真

為驗證控制器的有效性,采用Matlab進(jìn)行仿真.取h=0.005,T=200 s,α(t)=1.2，xd(0)=-1,yd(0)=-2,zd(0)=1,xr(0)=4，yr(0)=-4，zr(0)=4，得到系統(tǒng)誤差、狀態(tài)變量的仿真圖,分別如圖6，7所示.

圖6 系統(tǒng)誤差曲線

圖7 狀態(tài)變量

由圖6可知,控制器使系統(tǒng)達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài),且達(dá)到穩(wěn)態(tài)所用時間短暫；5 s時誤差系統(tǒng)就趨近零點并達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).由圖7可知,在控制器的作用下，Sprott E系統(tǒng)的xd和Rossler系統(tǒng)的xr在開始的一段時間略有波動,但4 s時就趨于同步; Sprott E系統(tǒng)的yd和Rossler系統(tǒng)的yr于2.8 s達(dá)到同步; Sprott E系統(tǒng)的zd和Rossler系統(tǒng)的zr于5 s達(dá)到同步.綜上可知,設(shè)計的控制器具有有效性.

3 結(jié)束語

筆者將整數(shù)階Sprott E系統(tǒng)推廣到分?jǐn)?shù)階, 根據(jù)分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定理論，分析了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性，證明了隱藏吸引子的存在.使用分岔圖、相軌跡、功率譜、時序圖、龐加萊截面，分析了分?jǐn)?shù)階Sprott E系統(tǒng)的豐富且復(fù)雜的動力學(xué)行為.基于分?jǐn)?shù)階投影同步控制理論和定理2,設(shè)計了控制器,對含隱藏吸引子的分?jǐn)?shù)階Sprott E系統(tǒng)實現(xiàn)了同步控制.數(shù)值仿真結(jié)果表明，該控制器具有有效性.該文研究結(jié)果對完善分?jǐn)?shù)階Sprott E系統(tǒng)、使其應(yīng)用于混沌領(lǐng)域，具有一定的價值.