分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的有限時間滑模同步控制

王戰(zhàn)偉，王建軍

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 450015)

自同步方法被提出以來, 混沌同步及其應(yīng)用已成為研究的熱點, 并取得了很多成果[1-6]. 學(xué)者們采用不同的控制方法取得了混沌系統(tǒng)的有限時間同步[7-9].文獻(xiàn)[10-11]分別討論了具有非線性耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和具有分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)的有限時間混沌同步及魯棒混沌同步問題.滑模控制能夠處理來自系統(tǒng)的非線性和不確定性,是處理非線性系統(tǒng)的強有力的工具.文獻(xiàn)[12]研究了分?jǐn)?shù)階Rayleigh-Duffling-like系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤廣義投影同步問題.文獻(xiàn)[13]研究了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的主動滑?？刂?給出了滑模切換函數(shù)的構(gòu)造.

論文主要研究一類分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的有限時間滑模同步控制問題，通過Lyapunov穩(wěn)定性理論給出了系統(tǒng)取得同步的兩個充分性條件，結(jié)果表明在適當(dāng)?shù)倪x取控制律下，系統(tǒng)取得有限時間滑?；煦缤?

定義1[14]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

1 系統(tǒng)描述

考慮如下分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)

Dqxi(t)=Ax(t)+fi(x(t)),

(1)

以上述系統(tǒng)為主系統(tǒng)，從系統(tǒng)設(shè)計為

Dqyi(t)=By(t)+gi(y(t))+ui(t)，

(2)

其中：x(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量；A、B為常數(shù)矩陣；fi(x(t))=[fi1(x(t)),fi2(x(t)),…,fin(x(t))]T∈Rn為連續(xù)非線性函數(shù)；y(t)=[y1(t),y2(t),…,yn(t)]T∈Rn為響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)向量；gi(y(t)) 為響應(yīng)系統(tǒng)連續(xù)非線性函數(shù)；ui(t)=[u1(t),u2(t),…,un(t)]T∈Rn為控制輸入向量.

(2)式減去(1)式得到誤差系統(tǒng)方程

Dqei(t)=By(t)-Ax(t)+gi(y(t))-fi(x(t))+ui(t).

(3)

2 滑模設(shè)計

設(shè)計滑模面si(t)=ei(t)+μiD-1ei(t),i=1,2,…,n，其中μi為正常數(shù). 誤差系統(tǒng)滿足滑動面方程si(t)=0,si′(t)=0?Dqsi(t)=0, 得到

Dqei(t)=-μiDq-1ei(t).

(4)

由式(3)，(4)不難得到

By(t)-Ax(t)+gi(y(t))-fi(x(t))+ui(t)=-μiDq-1ei(t).

(5)

等效控制為

ueqi(t)=-By(t)+Ax(t)-gi(y(t))+fi(x(t))-μiDq-1ei(t).

(6)

切換控制為

uswi(t)=-Dq-1[λisign(si(t))]，

(7)

ui(t)=ueqi(t)+uswi(t)=

-By(t)+Ax(t)-gi(y(t))+fi(x(t))-μiDq-1ei(t)-Dq-1[λisign(si(t))].

(8)

3 穩(wěn)定性分析

定理1誤差動態(tài)系統(tǒng)(4)是有限時間穩(wěn)定的，系統(tǒng)的狀態(tài)軌線在有限時間內(nèi)趨近于零點.

證明構(gòu)造函數(shù)Vi(t)=ei(t)2, 根據(jù)引理, 沿誤差動態(tài)系統(tǒng)(4)的系統(tǒng)軌線求導(dǎo)得到

Vi′(t)=2ei(t)D1-q(Dqei(t))=-2μiei(t)2=-2μiVi(t).

定義μ=min{μi}, 有

上式兩邊從0到T積分得到

Vi′(t)=si(t)si′(t)=si(t)(D1-qDqei(t)+μiei(t)).

根據(jù)式(3)不難得到

Vi′(t)=si(t)[D1-q(By(t)-Ax(t)+gi(y(t))-fi(x(t))+ui(t))+μiei(t)]≤-λi|si(t)|<0，

從上式可得

所以，有

上式兩邊從0到T積分得到

以下考慮如下不確定分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)

Dqxi(t)=Ax(t)+fi(x(t))+Δfi(x(t)).

(9)

以上述系統(tǒng)為主系統(tǒng)，從系統(tǒng)設(shè)計為

Dqyi(t)=By(t)+gi(y(t))+Δgi(y(t))+ui(t).

(10)

假設(shè)1存在正常數(shù)γi，滿足

‖D1-q(Δgi(y(t))-Δfi(x(t)))‖<γi‖ei(t)‖.

(11)

定義系統(tǒng)誤差為ei(t)=yi(t)-xi(t) ，其中e(t)=[e1(t),e2(t),…,en(t)]T∈Rn為誤差向量.

(10)式減去(9)式得到誤差系統(tǒng)方程

Dqei(t)=By(t)-Ax(t)+gi(y(t))-fi(x(t))+Δgi(y(t))-Δfi(x(t))+ui(t).

(12)

設(shè)計滑模面

si(t)=ei(t)+μiD-1ei(t),i=1,2,…,n，

其中：μi為正常數(shù).

誤差系統(tǒng)滿足滑動面方程

si(t)=0,si′(t)=0?Dqsi(t)=0.

由此容易得到

Dqei(t)=-μiDq-1ei(t)，

By(t)-Ax(t)+gi(y(t))-fi(x(t))+Δgi(y(t))-Δfi(x(t))+ui(t)=-μiDq-1ei(t).

等效控制為

ueqi(t)=-By(t)+Ax(t)-gi(y(t))+fi(x(t))-μiDq-1ei(t).

切換控制為

uswi(t)=-Dq-1[λi|ei|sign(si(t))+γisi(t)].

ui(t)=ueqi(t)+uswi(t)=

-By(t)+Ax(t)-gi(y(t))+fi(x(t))-μiDq-1ei(t)-Dq-1[λi|ei(t)|sign(si(t))+γisi(t)].

(13)

假設(shè)2λi>μi+γi.

Vi′(t)=si(t)si′(t)=si(t)(D1-qDqei(t)+μiei(t)).

根據(jù)(12)式以及假設(shè)1，2,得到

Vi′(t)=si(t)[D1-q(By(t)-Ax(t)+gi(y(t))-fi(x(t))+Δgi(y(t))-Δfi(x(t))+

ui(t))+μiei(t)]≤γi|ei||si|+μi|ei||si|-λi|ei||si|-γi|si|2<-γi|si|2，

得到

所以，有

上式兩邊從0到T積分得到

4 結(jié)束語

論文通過Lyapunov穩(wěn)定性理論和分?jǐn)?shù)階微積分理論，研究一類分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的有限時間滑模同步控制問題，給出了系統(tǒng)取得有限時間同步的兩個充分性條件、控制器的設(shè)計以及滑模面的構(gòu)造，證明了在一定條件下誤差系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)趨近于原點．