小議二次函數(shù)問(wèn)題中的“降維打擊”

廣東省東莞市黃江中學(xué)

二次函數(shù)問(wèn)題是數(shù)學(xué)中考的熱點(diǎn)對(duì)象，在歷年各地的中考題里面求滿足具體條件的點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn).該類問(wèn)題設(shè)計(jì)情景豐富，問(wèn)法多種多樣，部分學(xué)生面對(duì)這類問(wèn)題時(shí)會(huì)對(duì)情景理解感到困難，或者分析不出解決問(wèn)題的關(guān)鍵，使這部分學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，放棄得分.其實(shí)我們可以在一些中考題中得到一些啟發(fā)，這些二次函數(shù)中的問(wèn)題其實(shí)可以通過(guò)“降維打擊”來(lái)解決.下面就從三個(gè)例子來(lái)說(shuō)明.

例1(2018年黑龍江中考數(shù)學(xué)試題) 如圖1，拋物線y=x2+bx+c與y軸 交于點(diǎn)A(0,2)，對(duì) 稱軸為 直 線x=-2，平行于x軸的直線與拋物線交于B,C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在對(duì)稱軸左側(cè)，BC=6.

(1)求此拋物線的解析式.

(2)點(diǎn)P在x軸上，直線CP將ΔABC面積分成2: 3兩部分，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo).

圖1

圖2

分析第一小問(wèn)：易得二次函數(shù)解析式為y=x2+4x+2.

第二問(wèn)：若學(xué)生設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求出直線CP與AB的交點(diǎn)，來(lái)迎合題目的條件，這樣十分費(fèi)時(shí)費(fèi)力，效果不理想.其實(shí)我們可以引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)對(duì)稱軸x=-2和BC=6 等條件求出點(diǎn)B(-5,7),C(1,7)，再?gòu)拿娣e條件入手，利用面積比在直線AB上找到一個(gè)輔助點(diǎn)M(如圖2)，如何得到M的坐標(biāo)呢？ΔBCA與ΔBCM同底，直線CP將ΔABC面積分成2: 3 兩部分，從而得BM:AB=2: 5或BM:AB=3: 5，于是我們可以過(guò)點(diǎn)M向BC或者y軸作垂線，求出對(duì)應(yīng)垂線段長(zhǎng)度，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)或者橫坐標(biāo)，利用直線AB的解析式，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,4)或(-3,5)，再求出直線CM解析式，就能求出點(diǎn)P的坐標(biāo).我們可以看出第二問(wèn)中多次利用線段長(zhǎng)度和直線解析式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，讓學(xué)生知道尋找合適的輔助點(diǎn)或輔助線來(lái)幫助解決問(wèn)題.

例2(2018年廣東中考數(shù)學(xué)試題) 如圖3，已知頂點(diǎn)為C(0,-3)的拋物線y=ax2+b(a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)，直線y=x+m過(guò)頂點(diǎn)C和點(diǎn)B.(1)求m的值；(2)求函數(shù)y=ax2+b解析式；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P使得∠PCB=15°?若存在，求點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

圖4

第一小問(wèn)：由點(diǎn)C(0,-3)在直線y=x+m即可得m=-3；

第二小問(wèn)：將B(3,0),C(0,-3)代入y=ax2+b中，得二次函數(shù)的解析式為

第三小問(wèn)：部分學(xué)生會(huì)對(duì)∠PCB=15°這個(gè)特殊的條件感到疑惑，努力在腦海中搜索關(guān)于15°的知識(shí)，不得其解.實(shí)際上一些腦筋較靈活的學(xué)生會(huì)想到15°正好是我們常見(jiàn)的30°，45°，60°這三個(gè)特殊角度的差.哪里找到這些角度呢？我們可以從點(diǎn)B,C的坐標(biāo)得OB=OC，就出現(xiàn)了等腰直角三角形OBC，∠BCO這個(gè)45°角就出現(xiàn)了，將CB繞點(diǎn)C順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°與x軸交點(diǎn)M(如圖4)，于是我們這個(gè)問(wèn)題也需要借助輔助點(diǎn)M和輔助線CM，只要根據(jù)條件把點(diǎn)M坐標(biāo)和直線CM的解析式，最后聯(lián)立直線CM和二次函數(shù)解析式就可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

例3(2016年深圳中考數(shù)學(xué)試題) 如圖5，拋物線y=ax2+2x-3與x軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，且B的坐標(biāo)為(1,0).

(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)如圖6，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線y=x平分∠APB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

圖5

圖6

圖7

分析第一小問(wèn)：由點(diǎn)B(1,0) 易得拋物線解析式為y=x2+2x-3，再得點(diǎn)A坐標(biāo)為(-3,0)； 第二小問(wèn)：這個(gè)問(wèn)題情境對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不“友好”，函數(shù)問(wèn)題涉及角度問(wèn)題，通常都會(huì)令學(xué)生難易入手.如何將角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的直線問(wèn)題是關(guān)鍵，這將考查學(xué)生的綜合能力.該問(wèn)題仍然需要輔助點(diǎn)和輔助直線，假定直線y=x上存在點(diǎn)P使∠APO=∠BPO，即直線y=x平分∠APB,我們可以想到會(huì)出現(xiàn)兩種情況，如圖6，圖7.在圖6的情況中，直線AP與y軸交于點(diǎn)M1，直線BP與y軸交于點(diǎn)M2，易證ΔOPM1∽= ΔOPB，于是OM1=OB=1，所以點(diǎn)M1坐標(biāo)為(0,1)，接著利用點(diǎn)A、點(diǎn)M1求出直線AM1的解析式，直線AM1與直線y=x的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.我們也可以從M2出發(fā)，運(yùn)用相同的方法求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

在圖7的情況中，仍然會(huì)有ΔOPM1∽= ΔOPB,∠BPO=∠M1PO,顯然∠OPA ＞∠OPM1，而∠OPA ＞∠OPB不合題意，所以該情況舍去.

上述幾個(gè)例子我們可以看出，中考考查學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)能力，會(huì)在常規(guī)的知識(shí)上套一層應(yīng)用情景的外衣，使問(wèn)題增加了不少的難度.通過(guò)上面3個(gè)中考題目的分析，我們需要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律，將這些難題“降維打擊”，把“高階問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“低階問(wèn)題”.首先，遇到不熟悉的問(wèn)題情景，不要慌張，總有方法解決，可以大膽假設(shè)，細(xì)心分析，要善于發(fā)現(xiàn)題目當(dāng)中的隱含條件，在函數(shù)作為背景的大環(huán)境中，通常都需要從題目條件中得到一些有價(jià)值的點(diǎn)，得到一些線段的長(zhǎng)度，于是可能會(huì)出現(xiàn)相等的線段，相等的角，全等三角形，相似三角形等隱含條件，為問(wèn)題的轉(zhuǎn)化提供支持.

再者，這類問(wèn)題的解決離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合思想，一些常見(jiàn)解題思路可以適當(dāng)使用.這里舉三個(gè)例子：(1) 將“一般轉(zhuǎn)特殊”，如例2中15°角的出現(xiàn)是15°,45°,60°這三個(gè)常見(jiàn)特殊角度的差；(2)“高階條件”轉(zhuǎn)“低階條件”，如例1中三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為高之比，實(shí)現(xiàn)了“二維”轉(zhuǎn)“一維”；(3) 圖形分析離不開(kāi)“點(diǎn)、線、角、三角形”條件的相互轉(zhuǎn)化，如例2中從點(diǎn)O,B,C的坐標(biāo)得OB=OC，再得等腰ΔOBC，最后得45°角，再如例3中從條件中易得ΔOPM1∽= ΔOPB，再得OM1=OB=1,最后得點(diǎn)M坐標(biāo)為(0,1)，這樣的思路鏈條十分常見(jiàn)，更加值得讓學(xué)生掌握.

最后，本人認(rèn)為上述的思路不僅適用于二次函數(shù)問(wèn)題中，還可以拓展于其他的函數(shù)的解決.數(shù)學(xué)思想中的轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思維皇冠上的寶石，我們?nèi)绾尾拍芨咏菐熒鷤儾粩嘧巫巫非蟮哪繕?biāo).“降維打擊”也是著重于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)轉(zhuǎn)化規(guī)律，堅(jiān)定信心更好地應(yīng)對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題情境.