廣東省佛山市順德區(qū)順德德勝學校

特殊角的三角函數(shù)值，是我們比較喜歡在圖形中研究和用來考查同學們應用知識能力的一個重要知識點.筆者在教學中，結合對北師大九年級(下)27頁的復習題第22題的研究和思考，引導學生思考探討：應用銳角三角函數(shù)定義求15°角的三角函數(shù)值問題.

原題如下：

把一條長1.35m的鐵絲彎成頂角為150°的等腰三角形，求此三角形的各邊長(結果精確到0.01m).

圖1

筆者在挖掘教學素材時，總想改編為讓學生不用精確到0.01，而直接保留根號的計算結果.于是結合圖形，引導學生通過構造含30°角的直角三角形加以解決，其關鍵就是解決15°角的三角函數(shù)值的問題.

解如圖1，在ΔABC中.因為AB=AC,∠BAC=150°，所以∠B=∠ACB=15°.過C作CD ⊥AB交BA的延長線于點D,則在RtΔACD中，∠CAD=30°.設CD=1,則AC=2,AD=所以AB=AC=2.BD=AB+AD=2+√所以在RtΔCBD中，tan ∠CBD =即但當要求sin 15°,cos 15°時，需要BC的長度，這時根據(jù)勾股定理可得所以

到此，對BC的進一步化簡技巧，成了絕大部分同學的難以逾越的障礙.由此，大部分同學對sin 15°,cos 15°的函數(shù)值望而卻步.

對這個問題的探討，人教版的九年級(下)教師教學用書(2014年10月第1版，2017年9月第5次印刷)在167頁的拓展性問題也進行了相關研討，原文如下：

1.不查表，你能求15°的三角函數(shù)值嗎？

【答案與提示】構造一個有一個銳角為15°的直角三角形，再利用銳角三角函數(shù)的定義求解.

解如圖2，作ΔABC,使AB=AC,且∠BAC=30°,過點A作AD ⊥ BC于點D,過點C作CE ⊥ AB于點E.

圖2

不妨設AB=AC=2a，則CE=a,AE=所以

在RtΔBCE中，由銳角三角函數(shù)定義，得sin 15°=

教師用書中同樣涉及到的化簡運算技巧問題.

這時，我們自然會想到，當一副三角板疊放在一起時，也有15°的角，能否用平常用的三角板，構造出適當?shù)膱D形，解決上述問題？其實課本也有相應的背景素材，北師大七年級(上)199頁的復習題第29題：利用一副三角尺能畫出下列度數(shù)的角嗎？如何畫？試試看.150°,15°,105°,135°.

拼出15°的方式很多，下圖3是一種，將平常學生用的兩塊三角板疊放在一起，則∠BAD=15°.

圖3

圖4

在這里，發(fā)現(xiàn)∠BAD=15°并不是一件難事，但構造出適當?shù)闹苯侨切螀s不是一件易事.其中的一種方式過程如下：

解：如圖5，延長AD,CB相交于點F,過B作BE ⊥ AF于E,設BC=1.則在RtΔABC中，因為∠BAC=30°，所以AB=在RtΔACD中，因為∠DAC=∠ACD=45°，所以

圖5

在RtΔACF中，因為∠FAC=∠AFC=45°，所以所以1.在RtΔBEF中，BE=EF=所以在RtΔABE中，tan ∠BAE=

顯然，對學生而言，添加3 條輔助線來構造出直角三角形，也不是一件容易的事.于是，在對圖形的觀察和思考后，我通過優(yōu)化三角板，為同學們的學習鋪墊了一個臺階.具體操作如下：

圖6

圖7

如圖6，7，把直角邊一樣長的兩塊三角板重疊放置.對于這樣優(yōu)化了的兩個三角形重疊，同學們比較容易找到并構造出相應的直角三角圖形，就可輕松求出∠BAD的三角函數(shù)值.過程如下：

解：如圖8，過B作BE ⊥AD于E，設BC=1.則在RtΔABC中，因為∠BAC=30°，所以AB=在RtΔADC中，因為∠DAC=∠D=45°,所以CD=所以

圖8

在RtΔBDE中，因為∠D=45°所以BE=DE=所以AE=AD - DE=

所以，tan ∠BAE=

當然，構造15°角的方式比較多，如按圖7，8 擺放和構造適當?shù)闹苯侨切?，也能幫助我們的同學求出15°角的三角函數(shù)值，現(xiàn)簡述如下：

圖9

圖10

解：如圖11，過A作AE ⊥ BD于E,過C作CF ⊥ AE于F.設AC=1.則在RtΔABC中，因為∠ABC=30°，所以AB= 2,BC=在RtΔBCD中，因為∠DCB=∠DBC=45°，所以CD=BD=

圖11

在RtΔACF中，因為∠ACF=∠CAF=45°，所以所以BE=BD -DE=AE=EF+AF=CD+所以tan ∠BAE=

在后來的教學中，源于我本著對課本素材的思考和加工習慣，沿著相關問題的提出，更加巧妙地運用課本素材，進一步讓學生輕松理解并掌握了上述求值問題.具體過程如下：

在北師大九年級(上)173頁的復習題3中：3.已知：如圖12，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E,F分別在BC和CD上.求證：∠CEF=∠CFE.

圖12

本題的解決方案并不算復雜，學生很快通過全等證明到上述結論成立.我對本題的圖形觀察思考后，認為值得深度挖掘，于是提出了下面兩個問題：

(1)若正方形的邊長為1，求CE的長；

(2)在(1)的條件下，求∠BAE的三角函數(shù)值.

學生經過一番思考，計算后，大部分同學都能求出上述的值.現(xiàn)將過程表述如下：

解(1)設CE=x,則BE=1-x,根據(jù)CE=CF,易得在RtΔABE中，由勾股定理得解得所以

(2)由(1) 可得在RtΔABE中，

當學生經歷運算后，讓學生再仔細觀察，發(fā)現(xiàn)：∠BAE=15°！至此，15°的三角函數(shù)值，得到滿意的解決.再向同學們提出新的問題：你會求tan 75°,sin 75°,cos 75°的值嗎？

深入挖掘和研究學習素材，能有效地提升學生對知識的理解和應用，提升解決問題的能力.