二次開發(fā)數(shù)學教材的創(chuàng)新實踐探究

張昆 鄭蕾聰

【摘要】在教學中，教師如何設(shè)計指向數(shù)學探究發(fā)現(xiàn)或理解式的教學過程。研究者以人教A版高中數(shù)學“兩角差的余弦公式”教學為例，通過分析教材中體現(xiàn)具體數(shù)學知識的素材，以及與學生發(fā)生這一具體知識的個性心理特點，對教材進行二次開發(fā)，提高數(shù)學課堂教學的有效性。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學教材;二次開發(fā);教學價值

【作者簡介】張昆，高級教師，博士，主要研究方向為數(shù)學教學論、數(shù)學課程論、數(shù)學教育哲學、數(shù)學史等;鄭蕾聰，淮北師范大學在讀碩士研究生。

一、引言

“兩角差的余弦公式”是人教A版高中數(shù)學必修4第三章“三角恒等變換”的一個知識點。從知識內(nèi)容上看，學生已經(jīng)掌握了三角函數(shù)和平面向量（數(shù)量積）的相關(guān)知識，為猜想、探索和推導兩角差的余弦公式提供了知識上的立足點和生長點;從知識結(jié)構(gòu)上看，三角恒等變換是三角函數(shù)與數(shù)學變換的結(jié)合點和交匯點，“兩角差的余弦公式”是學生前面所學的三角函數(shù)知識的延續(xù)與發(fā)展，也是接下來學習兩角和、倍角或半角公式，以及其他三角恒等變換、三角恒等關(guān)系式證明的基本依據(jù)，是培養(yǎng)學生邏輯推理、運算能力和數(shù)學思想方法的重要素材。因此，“兩角差的余弦公式”的學習對提高學生處理三角恒等變換的變式問題的能力，以及萌生遷移、類比、猜想等數(shù)學思想方法有著重要的作用。筆者在聽了一些數(shù)學教師執(zhí)教“三角恒等變換”的起始課——“兩角差的余弦公式”時發(fā)現(xiàn)，他們基本上不加改變地使用教材所提供的教學內(nèi)容及其提示的教學途徑，于是便想到了二次開發(fā)教材，尋找更適合學生理解“兩角差的余弦公式”的途徑。

二、基于二次開發(fā)教材的教學設(shè)計

兩角差的余弦公式是數(shù)學原理性知識。在一般情況下，原理性知識的教學需要經(jīng)過兩個步驟：首先，設(shè)置初始問題，啟發(fā)學生探究知識、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想;其次，針對得到的猜想進行邏輯推理的演繹。其中數(shù)學問題是數(shù)學思維的載體，好的初始問題能引起學生共鳴，提高學生的學習興趣和注意力。

通過分析一些教師關(guān)于“兩角差的余弦公式”的教學實踐，以及對探究發(fā)現(xiàn)或理解式的數(shù)學學習內(nèi)容及其教學價值的探究，筆者認為，探究發(fā)現(xiàn)或理解式的數(shù)學學習是本真意義上的數(shù)學學習方式，旨在學習主體在獲得探究發(fā)現(xiàn)或理解式的數(shù)學學習內(nèi)容的基礎(chǔ)上，體驗數(shù)學學習過程進而基于此激發(fā)或增強數(shù)學的學習興趣等。那么，在實際教學中，教師如何設(shè)計指向數(shù)學探究發(fā)現(xiàn)或理解式的教學過程呢？下文以“兩角差的余弦公式”的課堂教學為例進行說明。

環(huán)節(jié)一：提出初始問題

師（復習板書）：cosπ2-β=sinβ①;cos（π-β）=-cosβ②;cos3π2-β=-sinβ③;cos（2π-β）=cosβ④。大家從這四個誘導公式中，可以提出哪些一般性問題呢？

生：對于這四個誘導公式中的π2，π，3π2，2π的變動性進行抽象，可使用一個一般性的角α替換這四個具體數(shù)值的角，就能夠得到一個一般性的問題，即如何求cos（α-β）的值？[1]

一般地，初始問題的提出具有兩種方式：其一，教師向?qū)W生提供相關(guān)的合適信息，啟發(fā)學生對這些信息提出初始問題，這是一種比較好的方式，但是在實際教學中，這種途徑是很難實現(xiàn)的;其二，當?shù)谝环N方式難以提出初始問題時，教師可以對某個知識的教學直接地提出初始問題。綜上所述，對于兩角差的余弦公式，筆者找到了第一種方式提出初始問題的合適信息。

環(huán)節(jié)二：由初始問題引發(fā)的探究活動

師：那么，關(guān)于cos（α-β）⑤，可能存在什么樣的表達式呢？

生：……

師：大家仔細觀察前述的誘導公式①②③④與所要求的公式⑤的表達式，這兩者之間是否存在某種具體的聯(lián)系？

生：我猜想公式⑤的表達式中一定含有sinβ與cosβ這兩個元素。

師：請說一說你的理由。

生：因為將公式⑤中的α分別替換為具體的π2，π，32π，2π，就產(chǎn)生了誘導公式①②③④，而誘導公式①②③④存在sinβ與cosβ，因此，在公式⑤的表達式中，sinβ與cosβ必然會存在其中。

以上教學設(shè)計，一方面，學生能比較容易地聯(lián)想到數(shù)學現(xiàn)實中的幾個誘導公式，利用其產(chǎn)生公式⑤的一個表達式，將學生已經(jīng)掌握的知識框架與外在數(shù)學化問題信息聯(lián)系起來，從而為理解式的數(shù)學學習奠定基礎(chǔ);另一方面，從辯證法的觀點來說，一般性寓于特殊性之中，設(shè)計這樣的課堂教學活動，正是辯證思想的體現(xiàn)。

師：很好，老師也是這樣想的。那么，除了含有sinβ與cosβ，公式⑤的表達式中還可能含有其他元素嗎？

生1：應該還含有sinα與cosα這兩個元素。

師：為什么？

生1：因為在公式⑤中，由于cos（α-β）=cos[JB（[]-（β-α）[JB）]]=cos（β-α），由此可知，α與β具有對等性，于是，只要取β=π2，π，32π，2π，就一定可以得到與sinβ、cosβ相似的結(jié)果，只不過將這些結(jié)果中的β?lián)Q成了α而已。

師：好。由此分析發(fā)現(xiàn)，在公式⑤的表達式中，一定包含sinα，cosα，sinβ與cosβ這些元素。那么，這四個要素可能會構(gòu)成怎樣的運算結(jié)構(gòu)呢？

生2：經(jīng)過賦值法我發(fā)現(xiàn)，這四者完全相加或相乘都不行，同時，我認為，它們之間不可能形成相除的結(jié)果，因此，我想它的運算結(jié)構(gòu)應該是其中部分元素相乘，然后將相乘的結(jié)果再相加或相減。

（這種直覺過程非常有意義，但由于課堂時間限制，教師沒有進行相應的討論。）

師：你說的我還不大明白，哪位同學能具體解釋一下嗎？

生3：首先我注意研究誘導公式①，如果上面討論的結(jié)果正確的話，那么就知道對于cosπ2-β的表達式中就應該含有sinβ，cosβ，sinπ2=1與cosπ2=0這四個元素的組合，而cosπ2-β=sinβ①就意味著……

師：同學3果然驗證了同學2的發(fā)現(xiàn)是正確的，即完全相加或相乘，在其結(jié)論的組成結(jié)構(gòu)要素中，要么結(jié)論是0，要么必然出現(xiàn)1作為它的一項，都不是sinβ這樣的結(jié)果。現(xiàn)在的問題是，由①式可知，需要探討的是sinβ，cosβ，1，0這四個元素經(jīng)過怎樣的組合形成sinβ這樣的結(jié)論？

生4：按理說cosπ2-β的表達式中應該出現(xiàn)cosβ，之所以沒有出現(xiàn)，可能由于cosβ與cosπ2（即0）相乘的緣故;同樣，出現(xiàn)sinβ，是因為sinβ與sinπ2（即1）相乘的結(jié)果，并且這個積取了正號的緣故。因此，我猜測的結(jié)果如果不錯的話，應該是cosπ2-β=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ⑥這樣的表達式。

學生為了“封裝”已經(jīng)揭示出來的外在數(shù)學化信息，他們必須使用數(shù)學思維方法，如觀察與實驗、歸納、類比、猜想與想象、一般與特殊等。在對于某個原理性知識的形式命題的發(fā)現(xiàn)過程中，鑒于知識特點的不同，這些數(shù)學思維方法或者部分用到，或者全部用到。因此，學生需要進行動手、動眼、動腦等一系列的活動，進而理解這條知識鏈條上知識點的來龍去脈。只有經(jīng)由數(shù)學思維方法的探究，才能達到理解數(shù)學知識的目的。與此同時，數(shù)學課程中一個非常重要的目標就是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力與創(chuàng)新思維，這樣的課堂教學活動正是培養(yǎng)了學生創(chuàng)新思維的途徑之一。

生1：對②式進行觀察，我發(fā)現(xiàn)cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ⑦也應該成立。

生2：對③④式進行探究，我發(fā)現(xiàn)cos32π-β=cos32πcosβ+sin32πsinβ⑧與cos（2π-β）=cos2πcosβ+sin2πsinβ⑨也都是成立的。

師：⑥⑦⑧⑨的表達式說明了什么？

生3：將⑥⑦⑧⑨四個式子一般化，就可以得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ⑩。

在合適的初始問題的刺激下，學生形成了定向的探究活動。筆者經(jīng)過深思熟慮后，通過向?qū)W生提供合適的素材，啟發(fā)學生自己提出初始問題。該教學方式的特點在于，所提供的數(shù)學化信息就是探究獲得“兩角差的余弦公式”命題的“先行組織者”，其實就是為學生的探究過程提供了鮮活的材料。由此可以啟動學生探究活動的動力，形成探究的思路，而這又主要由數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)性特點決定的，從而保證了學生在有限的課堂時間內(nèi)完成探究的可能性。像這樣在課堂上引導學生探究“兩角差的余弦公式”的教學過程，體現(xiàn)了學生理解“兩角差的余弦公式”的知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程，較好地實現(xiàn)了課堂教學的有效性。

環(huán)節(jié)三：猜想結(jié)論的證明

師：等式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ⑩是正確的嗎？

生：應該正確。

師：但它畢竟只是一種猜想，大家是怎么證明的？

生：由于等式⑩右邊的表達形式是關(guān)于兩個坐標向量（cosα，sinα）與（cosβ，sinβ）的數(shù)量積的形式，而角的正弦與余弦都表示圓周的周期運動，因此OP3=（cosα，sinα）與OP2=（cosβ，sinβ）的坐標都是源于單位圓，所以構(gòu)造如圖1的單位圓。由圖1可知P3（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），只要直接使用向量的數(shù)量積公式進行計算，就可以得到OP3·OP2=OP3OP2cos（α-β）=cos（α-β）B11，使用向量數(shù)量積的坐標表示公式計算，知OP3·OP2=cosαcosβ+sinαsinβB12，由B11B12，知等式⑩成立。

三、結(jié)語

要發(fā)揮數(shù)學知識的教學價值，對數(shù)學教師來說不是一件輕而易舉的事情，因為它需要實現(xiàn)理解的教學，以提升學生數(shù)學學習的有效性。因此對數(shù)學教師提出了這三個方面的要求：其一，教師對屬于某一個結(jié)構(gòu)鏈上的知識點（環(huán)節(jié)）的來龍去脈要了如指掌;其二，在知識分析的前提下，能據(jù)此推測出學生發(fā)生具體環(huán)節(jié)時所需要的數(shù)學現(xiàn)實中的知識框架，通過設(shè)計促使學生的這個知識框架在“封裝”信息時發(fā)揮作用;其三，依據(jù)前面兩點，選擇材料設(shè)計合適的初始問題。對于這三個方面的要求，教師必須要同時達到，才有可能實現(xiàn)指向數(shù)學理解的課堂教學的有效性，才能發(fā)揮二次開發(fā)數(shù)學教材的真正作用。

參考文獻：

[1]張昆，張乃達. 設(shè)計結(jié)構(gòu)性初始問題的實踐與探索：數(shù)學教師專業(yè)成長的視點[J]. 中學數(shù)學（初中版），2017（6）：58-61.