陸宗斌
(蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江蘇 太倉(cāng)215400)
在《微積分學(xué)中一個(gè)重要函數(shù)》[1]、《再說(shuō)微積分學(xué)中的這個(gè)重要函數(shù)》[2]、《三說(shuō)微積分學(xué)中的這個(gè)重要函數(shù)》[4]、《四說(shuō)微積分學(xué)中的這個(gè)重要函數(shù)》[5]諸文中,我們對(duì)第一個(gè)重要極限
本文就對(duì)f(x)、F(x)進(jìn)行積分討論。
由于f(x)、F(x)均在定義域內(nèi)連續(xù),所以它們的原函數(shù)均存在,即它們都是可積的,于是不妨設(shè):
當(dāng)冪級(jí)數(shù)引入后,再用逐項(xiàng)積分就有:
由于F(x)為偶函數(shù),所以先考慮[0,a]區(qū)間上的積分:
這是一個(gè)一般項(xiàng)趨于零的交錯(cuò)級(jí)數(shù),是收斂的!
利用計(jì)算機(jī)(電子表格)可以計(jì)算出上面級(jí)數(shù)的具體數(shù)值:
……(限于篇幅,不進(jìn)行更多的積分值計(jì)算了)
由積分區(qū)間可加性公式可得:
這是兩個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)之差,是收斂的。
當(dāng)區(qū)間[a,b]包含x=0 點(diǎn)時(shí),則屬于廣義(瑕)積分范疇。
因?yàn)閤=0 是f(x)的不連續(xù)點(diǎn),且為偶函數(shù),所以只須考察區(qū)間[0,a]上的瑕積分: