史麗晨，李 坤，王海濤，劉 洋

（西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710055）

1 引言

行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)具有傳動(dòng)比大、承載能力強(qiáng)、體積小等諸多優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于風(fēng)力發(fā)電、工程機(jī)械、直升機(jī)等領(lǐng)域[1]。由于其惡劣的工作環(huán)境，工作時(shí)常常發(fā)生輪齒故障，特別是斷齒故障的發(fā)生造成整機(jī)工作不平穩(wěn)甚至停機(jī)，從而造成難以估量的損失。因此對(duì)行星齒輪箱進(jìn)行故障機(jī)理研究，并基于動(dòng)力學(xué)建模來(lái)研究其故障特性至關(guān)重要。國(guó)內(nèi)外目前對(duì)行星減速輪系的建模分析大多都是建立在正常狀態(tài)下，缺乏對(duì)故障狀態(tài)下的行星輪系建模研究[2-3]；對(duì)行星輪系進(jìn)行故障特性分析時(shí)，缺乏振動(dòng)機(jī)理方面的研究[4-5]；并且在對(duì)行星輪系建模分析時(shí)，沒(méi)有考慮運(yùn)行過(guò)程中振動(dòng)傳遞路徑時(shí)變效應(yīng)的影響[6-7]。針對(duì)現(xiàn)有研究的不足，建立考慮振動(dòng)傳遞路徑時(shí)變效應(yīng)的行星齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，模型考慮齒輪副嚙合綜合誤差、齒側(cè)間隙等因素；推導(dǎo)太陽(yáng)輪斷齒故障下齒輪副的時(shí)變嚙合剛度傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式；通過(guò)對(duì)行星齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的求解，分析得到太陽(yáng)輪斷齒時(shí)系統(tǒng)的頻譜響應(yīng)特性；最后通過(guò)試驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。

2 行星輪系動(dòng)力學(xué)建模

行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，系統(tǒng)由太陽(yáng)輪、行星架、內(nèi)齒圈及 3 個(gè)行星輪組成，如圖 1 所示。圖中：θc、θs、θpi—行星架、太陽(yáng)輪及各行星輪的自轉(zhuǎn)角度；Kspi、Krpi、Cspi、Crpi—太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈與各行星輪的嚙合剛度及嚙合阻尼系數(shù)；2bspi、2brpi—嚙合齒輪副側(cè)隙；TD、TL—輸入轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

圖1 行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic Model of Planetary Transmission System

由Lagrange方程，可得圖1所示動(dòng)力學(xué)模型的微分方程：

式中：Jpi—行星輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jc—行星架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rbs—太陽(yáng)輪基圓半徑；rbpi—行星輪基圓半徑；rc—行星架半徑；mpi—行星輪質(zhì)量；α0—壓力角。

式中：espi（t）、erpi（t）—各齒輪副的綜合嚙合誤差；f（x，b）—間隙非線性函數(shù)。為了便于求解，引入相對(duì)位移坐標(biāo)：

定義時(shí)間標(biāo)稱尺度ωn及位移標(biāo)稱尺度bc，得量綱一動(dòng)力學(xué)微分方程為：

式中：rbc—行星架當(dāng)量半徑；

ζspi—行星輪i與太陽(yáng)輪的嚙合阻尼比；

ζrpi—行星輪i與內(nèi)齒圈的嚙合阻尼比；

Ms、Mp—太陽(yáng)輪、行星輪在各自基圓半徑上的等效質(zhì)量。

在測(cè)量行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)時(shí)，傳感器一般固裝在與內(nèi)齒圈相連的箱體上，因此行星輪的公轉(zhuǎn)會(huì)對(duì)測(cè)試信號(hào)產(chǎn)生調(diào)幅作用，這種調(diào)制作用稱之為振動(dòng)傳遞路徑時(shí)變效應(yīng)[8]。振動(dòng)傳遞路徑時(shí)變效應(yīng)可用基頻為行星架旋轉(zhuǎn)頻率fc的漢寧窗函數(shù)表示[9]，即在模型響應(yīng)信號(hào)中引入傳遞路徑函數(shù)C（t）：

3 太陽(yáng)輪斷齒故障嚙合剛度表示

當(dāng)齒輪發(fā)生斷齒故障時(shí)，故障齒處剛度會(huì)減弱，其他齒處剛度不變。以傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示齒輪副時(shí)變嚙合剛度，先推導(dǎo)單對(duì)齒輪系統(tǒng)嚙合剛度表達(dá)式，然后推廣到行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，得到太陽(yáng)輪斷齒時(shí)各嚙合副的時(shí)變剛度表達(dá)式。

3.1 單對(duì)齒輪系統(tǒng)斷齒故障嚙合剛度表示

正常狀態(tài)下齒輪副嚙合剛度曲線，T為嚙合周期，ka為剛度變化峰峰值，kav為平均嚙合剛度，如圖2所示。

圖2 正常齒輪嚙合剛度曲線Fig.2 Gear Pairs Meshing Stiffness Curve Under Healthy Condition

由圖2可得正常狀態(tài)下的嚙合剛度傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：

設(shè)單對(duì)齒輪系統(tǒng)某個(gè)齒輪有z個(gè)齒，其中一個(gè)齒發(fā)生斷齒故障，嚙合剛度曲線，如圖3所示。其中，T1—故障齒輪旋轉(zhuǎn)周期；kav1—斷齒狀態(tài)下的平均嚙合剛度。

圖3斷齒故障時(shí)的嚙合剛度曲線Fig.3 Gear Pairs Meshing Stiffness Curve Under Tooth Broken Condition

圖2 和圖3做差可得圖4，即為斷齒處嚙合剛度的峰峰值圖，如圖4所示。

圖4 斷齒處嚙合剛度變化的峰峰值圖Fig.4 Peak-to-Peak Value Curve of Meshing Stiffness at Broken Tooth

故可得圖3的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式，即斷齒故障下齒輪副的時(shí)變嚙合剛度表達(dá)式為：

令kav-kav1=kb，則圖4用傅里葉級(jí)數(shù)可表示為：

3.2 行星輪系太陽(yáng)輪斷齒故障嚙合剛度表示

在行星齒輪箱中，內(nèi)齒圈、太陽(yáng)輪分別與3個(gè)行星輪嚙合，共有 6 組嚙合對(duì)，故對(duì)應(yīng) 6 組嚙合剛度[10]，即 Ksp1，Ksp2，Ksp3，Krp1，Krp2，Krp3。設(shè)三個(gè)行星輪均勻承載，具有相同的物理、幾何參數(shù)，則正常狀態(tài)下各齒輪副的嚙合剛度表達(dá)式均，如式（7）所示。

設(shè)行星齒輪箱中太陽(yáng)輪的某個(gè)輪齒發(fā)生斷齒故障，則6組嚙合剛度中Ksp1，Ksp2，Ksp3減弱，其余三種嚙合剛度不變。此時(shí)Ksp1，Ksp2，Ksp3的峰峰值，如圖 5 所示。

圖5 太陽(yáng)輪斷齒故障時(shí)嚙合剛度Ksp1，Ksp2，Ksp3的峰峰值Fig.5 Peak-to-Peak Value Curve of Meshing Stiffness Ksp1，Ksp2，Ksp3at Broken Tooth of Sun Gear

圖中：kfsp1（t），kfsp2（t），kfsp3（t）—斷齒嚙合剛度Ksp1，Ksp2，Ksp3的峰峰值；zs—太陽(yáng)輪輪齒數(shù)；Ts—太陽(yáng)輪故障周期。

由式（6），得kfsp1（t）=kf（t），則：

式中：a=1，2，3，…

因此太陽(yáng)輪斷齒故障下，各組嚙合剛度的表達(dá)式為：

4 模型響應(yīng)分析與試驗(yàn)驗(yàn)證

行星齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的參數(shù)設(shè)置，如表1所示。

表1 行星齒輪箱參數(shù)Tab.1 Planetary Gearbox Configuration Parameters

將表1中的參數(shù)與求得的齒輪時(shí)變嚙合剛度代入動(dòng)力學(xué)模型中，求解得到模型響應(yīng)信號(hào)，經(jīng)傳遞路徑函數(shù)調(diào)幅得到最終的模型響應(yīng)信號(hào)，并對(duì)該信號(hào)作進(jìn)一步分析，得到行星輪系的模型響應(yīng)特性。

4.1 模型響應(yīng)分析

通過(guò)動(dòng)力學(xué)仿真，太陽(yáng)輪斷齒故障下模型響應(yīng)的頻譜圖，如圖6（a）所示。嚙合頻率附近局部放大的頻譜圖，如圖6（b）所示。

圖6 太陽(yáng)輪斷齒時(shí)的模型振動(dòng)響應(yīng)頻譜圖Fig.6 Spectrum of Model Vibration Response for Sun Gear Broken

由圖6可知，太陽(yáng)輪發(fā)生斷齒故障時(shí)，由于行星輪公轉(zhuǎn)的調(diào)幅效應(yīng)，頻譜圖中會(huì)出現(xiàn)調(diào)制頻率為行星架轉(zhuǎn)頻的邊頻帶，即處幅值較明顯（k，n均為整數(shù)），如在歸一化頻率約0.009041）約0.008916）約0.009166）處的峰值較大。同時(shí)頻譜中還出現(xiàn)了以太陽(yáng)輪故障頻率為調(diào)制頻率的邊頻，如在歸一化頻率約0.009416）約0.009541）約0.009791）約0.009916）處邊帶峰值較明顯，即頻譜圖中的幅值出現(xiàn)在歸一化頻率處（k，m，n均為整數(shù)）。

4.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所建立動(dòng)力學(xué)模型分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，使用的行星齒輪箱故障診斷試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，如圖7所示。行星齒輪箱的參數(shù)與表1中的模型參數(shù)一致，信號(hào)的采樣頻率為20.48kHz。試驗(yàn)測(cè)得的太陽(yáng)輪斷齒故障下響應(yīng)信號(hào)的頻譜圖，如圖8所示。試驗(yàn)實(shí)際嚙合頻率約為216Hz。

圖7 行星齒輪箱故障診斷試驗(yàn)臺(tái)Fig.7 Planetary Gearbox Fault Diagnosis Test Rig

圖8 太陽(yáng)輪斷齒時(shí)的試驗(yàn)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)頻譜圖Fig.8 Spectrum of Test Vibration Response for Sun Gear Broken

由圖8可知，在太陽(yáng)輪斷齒故障下，響應(yīng)信號(hào)同時(shí)受到太陽(yáng)輪故障頻率fs和行星架轉(zhuǎn)頻fc的調(diào)制作用，嚙合頻率及其倍頻附近出現(xiàn)調(diào)制頻率為fc和fs的邊頻帶，如在頻率fm-fs（約204.3Hz），fm-fc（約213Hz），2fm-4fs-fc（約381.9Hz），2fm-2fc（約426.4Hz），2fm+fc（約435.1Hz），2fm+fs（約444.1 Hz），2fm+2fs+fc（約458.8Hz）等處幅值比較明顯。對(duì)比圖6和圖8可得，動(dòng)力學(xué)模型所得頻譜的邊頻帶較小，這是因?yàn)樾行驱X輪系統(tǒng)模型復(fù)雜、參數(shù)眾多，雖然對(duì)模型及參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，但仍會(huì)與實(shí)際有一定差距，但動(dòng)力學(xué)模型的頻譜響應(yīng)特性與試驗(yàn)所得結(jié)果基本一致，能夠反映太陽(yáng)輪斷齒的實(shí)際故障狀態(tài)。

5 結(jié)論

（1）建立了考慮振動(dòng)傳遞路徑時(shí)變效應(yīng)的行星齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，模型考慮了齒輪副嚙合綜合誤差、齒側(cè)間隙等因素的影響；（2）推導(dǎo)了太陽(yáng)輪斷齒故障下齒輪副的時(shí)變嚙合剛度傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式，并對(duì)所建模型進(jìn)行求解，得到了太陽(yáng)輪斷齒時(shí)系統(tǒng)的頻譜響應(yīng)特性，即太陽(yáng)輪斷齒故障時(shí)，頻譜幅值出現(xiàn)在kfˉm±（k，m，n為整數(shù)）位置處；（3）通過(guò)行星齒輪箱故障診斷試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)，將模型結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所建立動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性，為行星輪系統(tǒng)的健康監(jiān)測(cè)及故障診斷提供了一定的理論依據(jù)。