數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的大單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)

[摘 ?要] 平面向量作為高中數(shù)學(xué)的核心概念，集數(shù)、形于一身，是數(shù)形結(jié)合的最好體現(xiàn)，它溝通了代數(shù)、幾何、三角之間的聯(lián)系，是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容.文章中筆者根據(jù)自己的課堂教學(xué)實(shí)踐來(lái)談平面向量的單元復(fù)習(xí)，使平面向量復(fù)習(xí)做到既能梳理鞏固已學(xué)知識(shí)，又能發(fā)展數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生從中體會(huì)研究數(shù)學(xué)對(duì)象的心路歷程，領(lǐng)悟用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待和認(rèn)識(shí)世界的思想真諦.

[關(guān)鍵詞] 平面向量;單元復(fù)習(xí)課;大單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)

任何系統(tǒng)都有結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)只有開(kāi)放，與外界有信息交換，才可能使結(jié)構(gòu)有序. 數(shù)學(xué)教學(xué)也不例外.數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的一種思維形式，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理、法則的基礎(chǔ). 準(zhǔn)確領(lǐng)悟核心概念是學(xué)生獲得系統(tǒng)數(shù)學(xué)知識(shí)的源泉，是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵. 數(shù)學(xué)核心概念作為一個(gè)本源概念時(shí)，當(dāng)它蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想時(shí)，它所涉及的內(nèi)容將更為廣泛，有著不可或缺的指引作用;當(dāng)它預(yù)示著數(shù)學(xué)方法的重大變革時(shí)，主要體現(xiàn)在方法的應(yīng)用上.具體地說(shuō)，數(shù)學(xué)核心概念嵌入在完整的概念體系中，起著核心關(guān)鍵作用，廣泛地與其他的概念聯(lián)系在一起，建構(gòu)起良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成完整有序的系統(tǒng). 教學(xué)時(shí)要厘清數(shù)學(xué)概念的發(fā)展脈絡(luò)，樹立“整體觀”和“系統(tǒng)觀”.

平面向量作為高中數(shù)學(xué)的核心概念，與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、不等式等知識(shí)都有內(nèi)在聯(lián)系，是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容. 如何使平面向量復(fù)習(xí)做到既能梳理鞏固已學(xué)知識(shí)，又能發(fā)展數(shù)學(xué)思維、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，是擺在教師面前的一道難題. 本文筆者就自己的課堂教學(xué)實(shí)踐談?wù)勂矫嫦蛄康膹?fù)習(xí). 筆者以為本節(jié)課的復(fù)習(xí)，重要的不是回顧向量的形式化定義及幾個(gè)相關(guān)概念，而是再次體會(huì)獲得數(shù)學(xué)研究對(duì)象、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本方法，蘊(yùn)含了用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)刻畫和研究現(xiàn)實(shí)事物的方法和途徑，這是一個(gè)帶有本源性質(zhì)的再認(rèn)識(shí)過(guò)程.

平面向量單元復(fù)習(xí)（一）

執(zhí)教：秦國(guó)清

學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解平面向量中的相關(guān)概念;掌握平面向量的基本運(yùn)算;體會(huì)向量研究問(wèn)題的思想方法.

學(xué)習(xí)過(guò)程

活動(dòng)一：復(fù)習(xí)回顧

教者提問(wèn)向量概念，舉實(shí)例引入復(fù)習(xí).

向量是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型，與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，在解決實(shí)際問(wèn)題中有廣泛應(yīng)用，生活中有向量，生活中用向量. 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)世界，去解決日常生活和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問(wèn)題.

1. 已知點(diǎn)D為△ABC邊BC的中點(diǎn)，設(shè) =a， =b，則 =________. （用a，b表示）

2. 已知a=（1，0），b=（2，1），若ma-b與a+3b共線，則實(shí)數(shù)m=________.

3. 已知e1，e2是夾角為 π的兩個(gè)單位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a⊥b，則k的值為_(kāi)_______.

4. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P1（x1，y1）是單位圓上的一點(diǎn)，P，P2分別是單位圓與x軸正半軸、y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，設(shè)∠POP1為α. 若α= ，則 · =________.

活動(dòng)一的實(shí)施，為學(xué)生課前預(yù)習(xí)，并小組討論，形成章節(jié)知識(shí)框架，課上小組代表展示，其他小組成員補(bǔ)充，教師總結(jié)提升完成.

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)一設(shè)置了4個(gè)小題，幫學(xué)生復(fù)習(xí)回顧本章節(jié)的基本知識(shí). 在復(fù)習(xí)回顧過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征，類比數(shù)的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數(shù)的集合認(rèn)識(shí)向量的集合，類比直線（段）的基本關(guān)系認(rèn)識(shí)向量的基本關(guān)系.要使學(xué)生從中體會(huì)到認(rèn)識(shí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念的基本，為學(xué)生自覺(jué)、有序、有效地研究向量問(wèn)題提供固著點(diǎn).

第1、2小題在明確向量的概念特征后，著重從向量幾何表示和代數(shù)表示出發(fā)，通過(guò)向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算，如利用向量的數(shù)乘運(yùn)算可以刻畫平行和伸縮，引出向量共線定理;通過(guò)向量的加、減的基底運(yùn)算引出平面向量基本定理. 通過(guò)研究向量運(yùn)算，可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)算對(duì)象的不斷擴(kuò)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索.從數(shù)到字母，到向量運(yùn)算又是一次跳躍.從而加深和拓展了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解，有助于學(xué)生發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力，讓其體會(huì)到數(shù)學(xué)運(yùn)算在建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的作用.

第3、4小題通過(guò)研究向量數(shù)量積運(yùn)算的兩種方式（基底和坐標(biāo)），進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)向量有方向，可以刻畫角度、直線、平面等幾何對(duì)象及它們的位置關(guān)系;向量有長(zhǎng)度，可以刻畫長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問(wèn)題運(yùn)算及其規(guī)律.而向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫垂直、角度、距離、三角函數(shù)等.當(dāng)然長(zhǎng)度、角度等度量問(wèn)題只有有向線段是不夠的，必須通過(guò)向量坐標(biāo)化的代數(shù)運(yùn)算，使相關(guān)的運(yùn)算化歸為實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特別指出的是，平面向量基本定理轉(zhuǎn)化為直線坐標(biāo)系、平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系的基本定理，它們實(shí)即解析幾何發(fā)明的本源之一. 至此，向量作為數(shù)形轉(zhuǎn)化橋梁的核心作用躍然紙上.數(shù)形結(jié)合不但是探究數(shù)學(xué)的思想，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，其實(shí)也是數(shù)學(xué)命題的一種根據(jù)和來(lái)源，更應(yīng)是探索創(chuàng)新的思維方式.

另外，第4小題的選擇著重于向量的應(yīng)用研究，形式上題目的選取后面有三角形、四邊形，選擇一個(gè)圓作為背景，選題更全面.更主要的是向量的應(yīng)用為解決三角形問(wèn)題（平面問(wèn)題）提供新的視角.教材在安排必修4的內(nèi)容，非常巧妙精致，三個(gè)章節(jié)之間存在緊密的聯(lián)系，向量位于本模塊中間章節(jié)，充分體現(xiàn)向量雙重特性，同時(shí)為利用向量數(shù)量積推導(dǎo)出三角恒等變換核心（知識(shí)的起點(diǎn)）——兩角差的余弦公式奠定基礎(chǔ)，其中向量運(yùn)算中的“算兩次”的思想方法得以體現(xiàn).

知識(shí)梳理

如圖2所示：

設(shè)計(jì)意圖：知識(shí)梳理時(shí)可以從三個(gè)方面展開(kāi)，一是向量概念的本質(zhì)特征（大小和方向）引發(fā)后面的運(yùn)算以及應(yīng)用的方式、方法，上面已談到. 二是從整體的角度，研究與向量密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念，它們通常都是以一定的數(shù)學(xué)思想或方法聯(lián)系在一起的，如三角函數(shù)與向量的交匯，促成了向量、坐標(biāo)、復(fù)數(shù)三位一體，使相關(guān)的運(yùn)算化歸為實(shí)數(shù)的運(yùn)算;明晰了長(zhǎng)度與角度的轉(zhuǎn)化聯(lián)系，促成了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化;使直線斜率（傾斜角）等解析幾何問(wèn)題的研究更趨于本質(zhì)化. 三是從學(xué)生獲得研究數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本方法入手，通過(guò)類比的方法， 引導(dǎo)學(xué)生找到用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)刻畫和研究現(xiàn)實(shí)事物的方法和途徑，突出了數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的根本價(jià)值——學(xué)科育人.

活動(dòng)二：典型例題

例1：如圖3，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=2，且 = ， = ?，求 · 的值.

（可在例1的基礎(chǔ)上，即時(shí)變角，把直角變?yōu)槠渌厥饨?，再讓學(xué)生研究）

變式1：如圖4，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3 ， · =2，求 · 的值.

設(shè)計(jì)意圖：變式1和例1在形式上都是基本幾何圖形，從小題1的三角形，到例題的矩形，再到變式中的平行四邊形，把角的條件、邊的條件逐步換掉后，在陌生背景下再來(lái)訓(xùn)練學(xué)生，本質(zhì)上都是研究向量數(shù)量積的兩種基本方法，力求讓高一的學(xué)生能夠牢固掌握.這也符合高考命題的要求，重要的知識(shí)反復(fù)考.在這里教者要賦予學(xué)生更多地參與學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)和權(quán)利，讓每一個(gè)學(xué)生在自主獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生多思善問(wèn)，讓學(xué)生在鼓勵(lì)中不斷調(diào)整思維方向. 要給他們充分的時(shí)間和機(jī)會(huì)表達(dá)、反思，辨析和體會(huì)，讓學(xué)生養(yǎng)成自動(dòng)矯正、調(diào)節(jié)自己的學(xué)習(xí)行為的能力.使學(xué)生的學(xué)習(xí)始終處于一種有準(zhǔn)備的狀態(tài)，更容易進(jìn)入“自主學(xué)習(xí)”的境界.培養(yǎng)自覺(jué)、自主、自立的學(xué)習(xí)者，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例2：在△ABC中，∠C=60°，AC=1，BC=2，2 = ，求CE的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：筆者認(rèn)為，本題能完美地展示解決向量問(wèn)題的各種方法，但對(duì)于高一學(xué)生來(lái)講，主要還是從幾何和代數(shù)的視角，緊緊抓住基底法和坐標(biāo)法，夯實(shí)基礎(chǔ). 教者要站在學(xué)生的立場(chǎng)，貼近學(xué)生的思維發(fā)展區(qū)，剖析反映數(shù)學(xué)知識(shí)，演化邏輯的知識(shí)序、反映學(xué)生學(xué)習(xí)心理活動(dòng)的思維序、反映教學(xué)流程時(shí)空推進(jìn)的教學(xué)序，在“三序合一”中化知為識(shí)、化識(shí)為能、化能為慧.

變式2：在△ABC中，∠C=60°，AC=1，BC=2，2 = ，D是BC的中點(diǎn)，AD與CE交于點(diǎn)O. 求 .

拓展：如圖5，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn)O. 若 · =6 · ，求 的值.

設(shè)計(jì)意圖：變式2、拓展和例2的解決，從復(fù)習(xí)回顧的第1小題起就埋下了伏筆，從三角形的中線到三等分點(diǎn)，再到中線的交點(diǎn)——重心，再到變式和拓展，一以貫之的是解決問(wèn)題的思想和方法，利用向量的加法、減法運(yùn)算和基底思想很快解決問(wèn)題，當(dāng)然也可以利用平面幾何的知識(shí)解決.

需要強(qiáng)調(diào)的是，作為章節(jié)復(fù)習(xí)課，選題必須典型，本節(jié)課的選題都是來(lái)自課本和高考卷，也有適當(dāng)?shù)淖兓?這樣解題的入口寬，跟高速公路一樣四通八達(dá). 所以變式2、拓展毫無(wú)疑問(wèn)也可以建立坐標(biāo)系，代數(shù)化運(yùn)算，另外變式2是拓展的特例，拓展是變式2的一般情況. 在向量問(wèn)題解決方法中特殊化、坐標(biāo)化也是很常見(jiàn)的.

最后要說(shuō)明的是，教者要根據(jù)課堂的節(jié)奏把控教學(xué)進(jìn)度和內(nèi)容，不要圖“高、大、全”，拓展訓(xùn)練來(lái)不及可以在后面再探討. 由于是章節(jié)復(fù)習(xí)的第一課時(shí)，我們?cè)谑崂硗曛R(shí)框架和發(fā)展脈絡(luò)后，典型例題的研究主要選擇求解向量的模長(zhǎng)和數(shù)量積，下一堂課將在本堂課的完成基礎(chǔ)上，解決一些角的問(wèn)題，以進(jìn)一步完善章節(jié)復(fù)習(xí)體系.

活動(dòng)三：課堂小結(jié)

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)師生共同的復(fù)習(xí)回顧，讓學(xué)生進(jìn)一步感受到：向量是代數(shù)的對(duì)象，向量是幾何的對(duì)象，向量是溝通代數(shù)與幾何的一座天然橋梁，是重要的數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的應(yīng)用.教者要梳理課堂教學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，發(fā)掘真實(shí)的、靈動(dòng)的、豐富多彩的高中數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)對(duì)象的心路歷程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待和認(rèn)識(shí)世界的思想真諦.教師要挖掘數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值，讓學(xué)生在掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)技能和思想方法的同時(shí)，學(xué)會(huì)生存、生活和適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的智慧.

南通教科院曾榮教授認(rèn)為，本堂課成功地完成了單元復(fù)習(xí)課的兩項(xiàng)目標(biāo)：知識(shí)梳理結(jié)構(gòu)化和例題應(yīng)用綜合化. 既明晰了核心概念的來(lái)龍去脈、生長(zhǎng)生成，讓學(xué)生通透知識(shí);又以“合理的選擇、適度的變化和充分的活動(dòng)”讓例題教學(xué)變得精致而深刻.更重要的教者能挖掘所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)逐步加深理解，生發(fā)出研究數(shù)學(xué)對(duì)象，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法策略.

對(duì)于本節(jié)課的“活動(dòng)單”設(shè)計(jì)，筆者四易其稿，精益求精. 在隨后的課堂教學(xué)中順利達(dá)成預(yù)期目標(biāo)，設(shè)計(jì)意圖很好的得以實(shí)施. 教學(xué)中筆者還發(fā)現(xiàn)，兩組例題、變式教學(xué)時(shí)類比、比較、循序漸進(jìn)進(jìn)行，效果更佳，更能讓學(xué)生形成研究向量問(wèn)題的方法和路徑.

必須強(qiáng)調(diào)的是，課堂設(shè)計(jì)和教學(xué)要建立在對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)內(nèi)容和教材有深刻理解，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平有較好的把握上，使得知識(shí)內(nèi)容序與學(xué)生的學(xué)情認(rèn)知序結(jié)合形成有效的教學(xué)序;同時(shí)以大概念或大觀念統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)的各要素，形成主體協(xié)同、要素關(guān)聯(lián)、學(xué)力生長(zhǎng)、素養(yǎng)聚焦、系統(tǒng)優(yōu)化的教學(xué)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)層級(jí)化、關(guān)聯(lián)性的課堂教學(xué)系統(tǒng). 這就是筆者所在學(xué)校正在開(kāi)展的“大單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)”模式.

教學(xué)中教者要合理設(shè)問(wèn)、適時(shí)點(diǎn)撥、直達(dá)思維的關(guān)鍵處;讓學(xué)生經(jīng)歷過(guò)程、突破難點(diǎn)、直擊矛盾的沖突處;要重視思維的自然流露，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，關(guān)注思維的過(guò)程與方式，讓數(shù)學(xué)思維“看得見(jiàn)、聽(tīng)得見(jiàn)”;要站在系統(tǒng)的高度，提煉思想，升華觀點(diǎn). 這樣學(xué)生將來(lái)不管從事什么工作，當(dāng)面對(duì)工作、生活中的困難時(shí)，即使忘掉了所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，仍然可以從數(shù)學(xué)的角度，通過(guò)深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想方法迅速抓住關(guān)鍵點(diǎn)，有條理地觀察、分析、論證，隨時(shí)隨地解決問(wèn)題. 筆者認(rèn)為，這才是我們要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才是學(xué)科育人.