基于蠕變?nèi)^程的廣義凱爾文體力學(xué)損傷模型改進與驗證

崔峰 馬成衛(wèi)

摘?要：巖石的蠕變在巖石力學(xué)研究中至關(guān)重要，巖石的蠕變表現(xiàn)出明顯的階段性。為了完整準(zhǔn)確地描述巖石蠕變的全過程，在廣義凱爾文模型的基礎(chǔ)上定義了一個作用函數(shù)，串聯(lián)一個非線性粘性原件并引入損傷因子，分別描述穩(wěn)定蠕變和加速蠕變階段，建立了廣義凱爾文體力學(xué)損傷模型。利用Origin軟件對綠片巖和鹽巖的蠕變曲線進行分段擬合，并將實際蠕變曲線和改進后模型計算值進行比較。結(jié)果表明：巖石的損傷會加快巖石在加速蠕變階段的變形，引入損傷因子之后，模型能較好的描述加速蠕變階段的變形;改進后考慮損傷的廣義凱爾文體模型能完整描述蠕變?nèi)^程，新模型的計算值與實驗值擬合程度較高，驗證了模型的合理性。反映出改進后的模型對三軸壓縮實驗和單軸壓縮實驗均適用，并且適用于刻畫高圍壓下的巖石蠕變變形。為巖石蠕變的研究提供了一種新的力學(xué)模型。 關(guān)鍵詞：蠕變;改進廣義凱爾文體;損傷;非線性擬合中圖分類號：TU 45

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-9315（2020）01-0058-06

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2020.0108開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

Improvement and verification of generalized Kelvin damage

model based on the whole creep process

CUI Feng?1，2，3，MA Cheng-wei?1

（1.College of Energy Science and Engineering，Xian University of Science and Technology，Xian 710054，China;

2.Key Laboratory of Western Mine Exploitation and Hazard Prevention，Ministry of Education，

Xian University of Science and Technology，Xian 710054，China;

3.Key Laboratory of Coal Resource Exploration and Comprehensive Utilization，Ministry of Land and Resources，Xian 710021，China）

Abstract：

A vital subject in the study of rock mechanics，the creep of rock

shows distinct phases.In order to describe the whole process precisely，an action function was defined

based on the generalized Kevin model，to show the stabilization creep phase，a nonlinear viscous element was connected in series and a damaged parameter was introduced to describe speedup creep phase;then，the generalized Kevin mechanical damage model was created.The model was verified by fitting the creep curve of greenschist specimens and rock salt specimens for every stage using Origin，and a comparative study was made of the actual creep curve and the calculated value of improved model.The results indicate that the damage will accelerate the creep in speedup creep phase，and the model can describe this stage well with the damaged parameter introduced;the improved generalized Kevin model considering damage can describe the whole creep，and the calculated value of new model fits well with the experimental value，indicating the rationality of new model.The examination shows that the improved model applies to triaxial compression testing and uniaxial compression testing，and it can also describe the rock creep under high confining pressure.Accordingly a new mechanical model for the further study of rock creep is provided.Key words：creep;improved generalized Kelvin damaged model;damage;nonlinear fitting

0?引?言

蠕變是巖石一種重要的力學(xué)性質(zhì)。特別是在深部礦井中，較大的應(yīng)力作用下巖石蠕變速率會有明顯加快，造成巷道頂?shù)装屣@著變形[1]，影響巷道通暢及安全使用。國內(nèi)外學(xué)者對巖石蠕變進行了大量的研究，并取得了豐碩的成果。蠕變模型是研究巖石蠕變的一種重要形式。在改進巖石流變本構(gòu)模型方面，劉峻松等利用巖石蠕變具有階段性的特征，建立了基于分?jǐn)?shù)階微積分的新三元件巖石蠕變損傷模型[2];楊逾等以Burgers模型為基礎(chǔ)，建立了基于勒梅特原理的改進Burgers模型，發(fā)現(xiàn)圍壓會延長蠕變時間增大變形量而孔隙水壓會削弱圍壓的影響，并通過MTS815.02實驗系統(tǒng)驗證了其準(zhǔn)確性[3];張亮亮等將非線性粘性元件串聯(lián)在Poyting-Thomson體上，構(gòu)建了新的力學(xué)模型，并利用origin軟件進行了參數(shù)辨析，模型可以很好的描述加速蠕變階段[4];馬白虎分析泥巖的蠕變曲線，定義了非線性作用函數(shù)，并將其引入西元模型中，建立了改進西元模型[5]。在流變實驗研究方面，張強勇等開展了不同溫度下花崗巖的蠕變實驗，發(fā)現(xiàn)了溫度和蠕變應(yīng)力值與破壞時間之間的反比關(guān)系[6];葉劍紅等對中國南海鈣質(zhì)砂進行三軸排水蠕變實驗，表明鈣質(zhì)砂的蠕變?yōu)樗p型穩(wěn)定蠕變，發(fā)現(xiàn)Mesir蠕變模型能很好的描述鈣質(zhì)砂的蠕變[7]。

當(dāng)前對蠕變的研究主要是以三軸壓縮實驗為主的特定巖石蠕變實驗和建立新的蠕變模型，對巖石在蠕變階段的損傷考慮較少。鑒于此，文中在傳統(tǒng)廣義開爾文體模型的基礎(chǔ)上，引入作用函數(shù)和非線性粘性元件，并考慮損傷的影響，建立了改進廣義開爾文體力學(xué)損傷模型。通過與綠片巖三軸壓縮實驗和鹽巖單軸壓縮實驗結(jié)果的對比，發(fā)現(xiàn)模型的計算值曲線與巖石實驗值曲線能很好的擬合，為巖石蠕變的研究提供了一種新的模型，具有很大的實用價值。

1?改進廣義凱爾文體模型

廣義凱爾文體模型是由一個凱爾文元件和一個彈簧串聯(lián)而成，其力學(xué)模型如圖1所示[8]。

式中?k1，k2為彈性模量，MPa;η為粘性系數(shù)，GP/h?2;σ和ε分別為應(yīng)力和應(yīng)變，σ單位為MPa;

和分別為ε和σ對時間的導(dǎo)數(shù)。

在恒定載荷σ0作用下，由于廣義凱爾文體由彈簧和凱爾文體2部分組成，故其蠕變變形也應(yīng)該由這2部分組成，蠕變方程為

ε（t）=σk1+σk2（1-e?-k2ηt1）

（2）

式中?t1為衰減蠕變時間，h;σk1為彈簧的瞬時變形;

σk2（1-e?-k2ηt1）

為凱爾文體的蠕變方程。

凱爾文體的蠕變方程為

式（3）對時間求導(dǎo)得

式中?ση為一定值，當(dāng)t1持續(xù)增大直到某一時刻t0時f（t）=

σk2將不變，由式（3）、（4）可知，凱爾文體的蠕變是非線性且速率逐漸減小的，可以用來描述衰速蠕變階段。因此廣義凱爾文體可以描述瞬時應(yīng)變和衰減蠕變，但卻無法描述等速蠕變階段和加速蠕變階段，下面對這2個階段分別進行討論。

首先針對等速蠕變階段，定義作用函數(shù)

y（t）=βt2

（5）

（t）=β（6）

式中?β為作用因子為一定值，h?-1，描述蠕變速度;y（t）為應(yīng)變;t2為模型穩(wěn)定蠕變時間，h.

該作用函數(shù)y（t）表現(xiàn)出明顯的線性特征，并且作用因子是一個定值，因此可以描述等速蠕變階段。

其次針對非線性加速蠕變階段，在廣義凱爾文體上串聯(lián)一個非線性粘性原件[9]，其力學(xué)模型（圖2）和本構(gòu)關(guān)系如下：

本構(gòu)關(guān)系為

σ=ηss，（ε≥εs）（8）

式中?ε為總?cè)渥冎?εs為加速蠕變初始值;ηs為非線性粘性系數(shù)，GP·h.

由本構(gòu)關(guān)系可得，只有當(dāng)模型蠕變進入加速階段后，非線性粘性元件才會產(chǎn)生作用，并且

式中?t3為模型進入加速蠕變的時間，h.

據(jù)此將廣義凱爾文體模型和非線性粘性元件串聯(lián)起來組成改進的廣義凱爾文體模型（圖3）。

由于改進后的廣義凱爾文體模型中各組成元件是串聯(lián)關(guān)系，所以其蠕變方程為

將式（10）對時間求導(dǎo)可得到蠕變的速度和加速度表達(dá)式[10-11]，即

由式（11）、（12）可知，在蠕變開始階段，只有瞬時應(yīng)變，且蠕變速度隨著時間的推移逐漸減慢，表現(xiàn)為減速蠕變。當(dāng)達(dá)到一定時間后，速度趨于穩(wěn)定，表現(xiàn)為穩(wěn)定蠕變;當(dāng)蠕變進入加速階段時，速度明顯加快，表現(xiàn)為加速蠕變。上述過程符合巖石的實際蠕變過程，因此本模型可以定性的描述巖石蠕變的全過程。

2?巖石損傷分析

由于巖石中存在大量的細(xì)微裂隙，在載荷作用下，裂隙會逐漸發(fā)育，最終導(dǎo)致巖石的破裂，因此對巖石蠕變過程的研究，損傷不可忽視。

蘇聯(lián)學(xué)者Rabotnov提出了巖石損傷因子[12]的概念，徐衛(wèi)亞等考慮損傷對加速蠕變階段的影響，重新定義了巖石的蠕變損傷因子[13-15]

式中?μ和n均為材料的自身參數(shù)。

結(jié)合蘇聯(lián)學(xué)者Kachanov定義的有效應(yīng)力，得到全應(yīng)變過程中有效應(yīng)力[16-18]

式中?σ為初始應(yīng)力，MPa;為有效應(yīng)力，MPa.

聯(lián)立式（10）、（14）得廣義凱爾文體損傷模型的蠕變方程

3?模型驗證與參數(shù)確定

由于巖石的抗壓強度具有較大差異，且與圍壓大小密切相關(guān)，為了證明改進后模型的適用性，引用文獻(xiàn)[19]中綠片巖三軸壓縮實驗的實驗數(shù)據(jù)以及文獻(xiàn)[20]中鹽巖C1單軸壓縮實驗的實驗數(shù)據(jù)進行驗證。

3.1?綠片巖蠕變實驗的驗證

圖4中實驗值曲線為綠片巖的三軸壓縮全應(yīng)變曲線，圍壓σ3為15 MPa，豎直應(yīng)力σ1為100 MPa.由實驗值曲線知綠片巖在0～0.3 h為衰減蠕變，0.3～1.2 h為等速蠕變，1.2 h之后為加速蠕變。

在同一應(yīng)力水平下，可以根據(jù)ε=σ1k來確定彈性模量k1

[21]

k1=σ1ε0=22 GPa

（16）

0～0.3 h為衰減蠕變階段，將0～0.3 h對應(yīng)的曲線利用origin軟件進行指數(shù)形式的非線性擬合，得到彈性模量k2和粘性系數(shù)η.

ε1（t）=0.017 38（1-exp（-8.560 7t））

（17）

k2=5.754 GPa（18）

η=0.651 GPa·h（19）

0.3～1.2 h為等速蠕變階段，將0.3～1.2 h對應(yīng)的曲線進行線性擬合，得到作用因子β

ε2（t）=0.011 6t

（20）

β=0.116/h?-1（21）

1.2 h之后為加速蠕變階段，將1.2 h之后的曲線進行指數(shù)形式的非線性擬合，得到粘性系數(shù)ηs和材料的自身參數(shù)μ，n.

ηs=0.556/GPa·h2

（22）

μ=260，n=0.7

（23）

綠片巖改進后模型的參數(shù)見表1.將所得參數(shù)帶入式（15）中得綠片巖的蠕變方程為

式中?t1，t2，t3分別為模型的衰減蠕變、穩(wěn)定蠕變和加速蠕變時間段。

在綠片巖實驗值曲線上繪制出改進凱爾文體計算值式（24）曲線和傳統(tǒng)廣義凱爾文體計算值曲線，如圖4所示?？梢妭鹘y(tǒng)廣義凱爾文體模型只能描述瞬時應(yīng)變和衰減蠕變階段;改進后模型可以描述瞬時應(yīng)變和蠕變的全過程，特別是在加速蠕變階段曲線呈現(xiàn)出明顯的非線性，且改進后模型計算值曲線與實驗值曲線擬合度較高。因此改進后模型可以定量的描述綠片巖蠕變的全過程。

3.2?鹽巖蠕變實驗的驗證

圖5中實驗值曲線為鹽巖單軸壓縮實驗的全應(yīng)變曲線，豎直應(yīng)力σ1為14.41 MPa.鹽巖在σ1作用下產(chǎn)生的初始應(yīng)變ε0為2.52%.由實驗值曲線可知鹽巖的蠕變同樣分為3個階段，按照上文計算

綠片鹽參數(shù)的方法可以得到鹽巖對應(yīng)的參數(shù)（表2）。

將所得參數(shù)帶入式（15）中得到鹽巖的蠕變方程為

式中?t1，t2，t3 分別為模型的衰減蠕變、穩(wěn)定蠕變和加速蠕變時間段。

在鹽巖的實驗值曲線上繪制出改進凱爾文體

計算值式（25）曲線和傳統(tǒng)廣義凱爾文體計算值曲線，如圖5所示。傳統(tǒng)廣義凱爾文體模型只能描述瞬時應(yīng)變和衰減蠕變階段;改進后模型可以描述瞬時應(yīng)變和蠕變的全過程，在加速蠕變階段曲線呈現(xiàn)出明顯的非線性，且改進后模型計算值曲線與實驗值曲線擬合度較高。因此改進后模型可以定量的描述鹽巖蠕變的全過程。

從圖4和圖5可以看出，在三軸壓縮載荷作用且豎直應(yīng)力較大的條件下，綠片巖蠕變時間將近1.9 h;在單軸壓縮載荷作用且豎直應(yīng)力較小的條件下，鹽巖蠕變時間將近1 200 h.而兩者的擬合效果均較好，證明改進后模型在三軸壓縮和單軸壓縮條件下均適用。

4?結(jié)?論

1）傳統(tǒng)的廣義凱爾文模型不能完整的描述巖石蠕變，引入作用函數(shù)并串聯(lián)了非線性粘性元件來反應(yīng)穩(wěn)定蠕變階段和加速蠕變階段，改進了廣義凱爾文模型，定性的描述巖石蠕變的全過程。

2）考慮損傷對巖石蠕變的影響，引入蠕變損傷因子與有效應(yīng)力概念，推導(dǎo)得出了考慮蠕變損傷的廣義凱爾文體蠕變方程。

3）改進后的考慮蠕變損傷的廣義凱爾文體蠕變方程能夠較好的實現(xiàn)綠片巖短時三軸壓縮蠕變實驗數(shù)據(jù)和鹽巖長時單軸壓縮蠕變實驗數(shù)據(jù)的擬合，驗證了模型的合理性。反映出改進后的模型對三軸壓縮實驗和單軸壓縮實驗均適用，并且適用于刻畫高圍壓下的巖石蠕變變形。

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