龔 昊

(中國商用飛機有限責(zé)任公司上海飛機設(shè)計研究院，上海 201210)

飛得更高、更快、更遠一直是航空領(lǐng)域追求的目標(biāo)。在飛機的氣動外形和動力裝置不進行改進的情況下，通常需要增加飛機的載油量才能實現(xiàn)飛機航程的增加或留空時間的延長。對于民用飛機而言，在改進原機油箱以增加載油量以外，更為便利的方式是在飛機機身貨艙內(nèi)安裝輔助油箱，以存儲更多的燃油[1]。通過輔助燃油系統(tǒng)將輔助油箱中的燃油轉(zhuǎn)輸至飛機的基本油箱中，供發(fā)動機消耗。國外采用這種方式的機型包括B737、B777、A319、ERJ190、世襲1000等。中國在民機加裝輔助油箱方面的研究很少，目前尚無加裝輔助油箱的國產(chǎn)民用飛機交付使用。

Fasanella等針對B737機身下部設(shè)輔助油箱的情況，建立了全尺寸三維有限元模型，并利用非線性瞬態(tài)動力學(xué)軟件進行了墜落撞擊仿真[2]。Gavel等針對帶有輔助油箱的飛機，基于飛機級頂層需求，對燃油轉(zhuǎn)輸系統(tǒng)進行了概念設(shè)計[3]。劉勝君對加裝了輔助油箱的BBJ公務(wù)機和ACJ公務(wù)機的特點進行了介紹[4]。劉德剛等對輔助油箱的設(shè)計、布置和安裝進行了介紹，對采用增壓氣體轉(zhuǎn)輸燃油的輔助燃油系統(tǒng)的設(shè)計特點進行了分析[1]。

在輔助燃油系統(tǒng)設(shè)計中，燃油轉(zhuǎn)輸相關(guān)參數(shù)的確定是方案設(shè)計的核心，憑借工程經(jīng)驗人為給定的方式難于獲得最優(yōu)方案，可以考慮使用優(yōu)化算法對設(shè)計方案進行優(yōu)化。

隨著人們對各種優(yōu)化問題的關(guān)注，目前發(fā)展了諸多各具特點的優(yōu)化算法，如遺傳算法、粒子群算法等。其中，差分進化算法由Storn和Price于1997年正式提出，是一種基于種群的啟發(fā)式進化算法[5]。差分進化算法以其算法結(jié)構(gòu)易執(zhí)行、優(yōu)化效率高、參數(shù)設(shè)置簡單、優(yōu)化結(jié)果穩(wěn)健等優(yōu)點，受到諸多研究者的關(guān)注。Das等綜述了差分進化算法的研究現(xiàn)狀，并從基本概念、算法構(gòu)造、控制參數(shù)、變量范圍、優(yōu)化目標(biāo)等方面對差分進化算法進行了理論分析[6]。丁青鋒等概述了差分進化算法的研究概況以及存在的問題，綜述了差分進化算法在控制參數(shù)、差分策略、種群結(jié)構(gòu)以及與其他最優(yōu)化算法混合等4個方面的改進策略，并討論了各自的優(yōu)缺點[7]。

為了對燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)方案進行優(yōu)化，本文將輔助燃油系統(tǒng)燃油轉(zhuǎn)輸設(shè)計過程抽象成約束優(yōu)化問題，并對差分進化算法進行改進，在此基礎(chǔ)上進行燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)的優(yōu)化。通過本文的研究，完成了對輔助燃油系統(tǒng)燃油轉(zhuǎn)輸優(yōu)化設(shè)計問題的求解，同時也為差分進化算法的應(yīng)用研究提供了新的參考。

1 輔助燃油系統(tǒng)燃油轉(zhuǎn)輸工作原理

圖1為本文所研究的輔助燃油系統(tǒng)進行燃油轉(zhuǎn)輸?shù)氖疽鈭D，輔助油箱采用閉式通氣系統(tǒng)，利用飛機客艙的增壓空氣或發(fā)動機引氣作為壓力源，將輔助油箱中的燃油轉(zhuǎn)輸至原機的基本油箱。燃油轉(zhuǎn)輸過程的本質(zhì)是用同體積的增壓空氣替代從輔助油箱轉(zhuǎn)輸出的燃油，這是當(dāng)前民用飛機輔助油箱采用的主流方式[1]。

圖1 輔助燃油系統(tǒng)燃油轉(zhuǎn)輸示意圖Fig.1 Schematic diagram for fuel transfer of the auxiliary fuel system

理論上，燃油從輔助油箱向基本油箱的轉(zhuǎn)輸可能發(fā)生在整個飛行任務(wù)的任意飛行階段。對于民用飛機而言，飛行時間最長的是巡航階段，也是燃油轉(zhuǎn)輸最主要的階段。因此，為簡化問題，假設(shè)燃油轉(zhuǎn)輸僅在巡航階段進行。

2 燃油轉(zhuǎn)輸優(yōu)化設(shè)計問題

通常，滿足要求的燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)方案不止一個，可以將其作為約束優(yōu)化問題進行求解：

(1)

式(1)中：f(X)為目標(biāo)函數(shù)：X=(x1,x2,…,xn)是優(yōu)化變量；XU和XL分別為優(yōu)化變量的上下限；hi(X)為等式約束；gj(X)為不等式約束。

輔助燃油系統(tǒng)燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)優(yōu)化設(shè)計問題可描述如下。

(2)目標(biāo)函數(shù)f(X)如式(2)所示，求解目標(biāo)為完成燃油轉(zhuǎn)輸?shù)目倳r長最短：

(2)

式(2)中：T0為從巡航開始到燃油轉(zhuǎn)輸開啟所需的時間；Wmain_ini為開始巡航時的基本油箱載油量；Waux為輔助油箱總的載油量。轉(zhuǎn)輸中斷次數(shù)Npause由式(3)計算，“?」”表示向下取整。

(3)

(3)約束條件1是當(dāng)完成燃油從輔助油箱向基本油箱的轉(zhuǎn)輸時，基本油箱的載油量不少于備用油量，如式(4)所示：

(4)

(4)約束條件2是燃油轉(zhuǎn)輸中斷的次數(shù)不大于預(yù)設(shè)值，即0≤Npause≤Nmax，如果要求燃油轉(zhuǎn)輸過程不得出現(xiàn)中斷，則Npause=Nmax=0。

(5)

式(5)中：p′trans和ptrans分別為單、雙發(fā)運行時的客艙壓力；p′env和penv分別為單、雙發(fā)運行時的外界大氣壓，客艙壓力與飛行高度的關(guān)系為已知條件。

當(dāng)單發(fā)運行時，在規(guī)定的時間Tsingle內(nèi)，基本油箱的載油量不得下降至備用油量：

(6)

(7)

3 差分進化算法改進及驗證

差分進化的基本原理是從隨機生成的初始種群開始，通過反復(fù)進行變異、交叉和選擇等操作來模仿生物界的進化過程，不斷使種群中的個體向著適應(yīng)環(huán)境的方向發(fā)展(保留適應(yīng)環(huán)境的個體)，即逐漸逼近問題的最優(yōu)解。文獻[5, 6]對差分進化算法的概念、計算過程等進行了詳盡的闡述，不再贅述。為了達到更好的算法穩(wěn)定性與效率，在基本差分進化算法的基礎(chǔ)上進行了改進。

3.1 改進差分進化算法

使用的改進差分進化算法的計算流程如圖2所示。變異操作采用DE/best/2的差分形式，交叉操作采用二項式交叉，選擇操作采用貪婪算法，迭代計算中采用精英保留策略。迭代過程將持續(xù)進行直到獲得最優(yōu)解或達到最大迭代次數(shù)限制。差分進化算法的基本概念和操作過程詳見文獻[6]，下面僅介紹本文對差分進化算法的改進。

圖2 改進差分進化算法計算流程Fig.2 The modified differential evolution algorithm calculation flow chart

3.1.1 基于自適應(yīng)懲罰函數(shù)的適應(yīng)度計算

為求解式(1)所示的約束優(yōu)化問題，采用懲罰函數(shù)法將適應(yīng)度函數(shù)fitness(X)構(gòu)建為帶有懲罰函數(shù)的非約束優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)fp(X)，如式(8)～式(10)所示。適應(yīng)度函數(shù)最小值對應(yīng)優(yōu)化問題的最優(yōu)解。構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時，將懲罰因子選取為關(guān)于自變量的函數(shù)[8]，以解決懲罰因子的確定問題。此外，為加快收斂速度，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時，還借鑒了“多級懲罰”的思想[9]，即對違反約束大的段給予較大的懲罰而違反約束小的段給予較小的懲罰。

fitness(X)=fp(X)=f(X)+C(X)p(X)

(8)

(9)

(10)

式中：C(X)為多級懲罰因子；p(X) 為懲罰函數(shù)；αi(X)和βj(X)為自適應(yīng)懲罰因子，分別如式(11)和式(12)所示：

(11)

(12)

3.1.2 采用自適應(yīng)縮放因子的變異操作

變異操作中，最重要的參數(shù)是縮放因子F，其取值對于種群的多樣性有很大影響。采用基于種群個體適應(yīng)度的時變計算策略，如式(13)所示[10]。

(13)

式(13)中：控制因子Fmax需預(yù)先給定數(shù)值；f(Xbest)為當(dāng)前代種群中適應(yīng)度最優(yōu)個體的適應(yīng)度，則參數(shù)Δfi和λ分別如式(14)和式(15)所示。

Δfi=|f(Xi)-f(Xbest)|

(14)

(15)

3.1.3 采用自適應(yīng)交叉概率因子的交叉操作

交叉操作中，最重要的參數(shù)是交叉概率因子Cr。采用基于種群個體適應(yīng)度的時變計算策略，如式(16)所示[11]。

(16)

式(16)中：fmin、fmax和favg分別為種群個體的最小、最大和平均適應(yīng)度；CrU和CrL分別為交叉概率因子上下限。

3.1.4 高斯變異

為了防止種群進化階段陷入局部最優(yōu)，補充了高斯變異操作[12]。針對當(dāng)前種群適應(yīng)度最優(yōu)的個體，通過高斯變異產(chǎn)生一個新的最優(yōu)個體，將二者中適應(yīng)度更好的個體作為最終的當(dāng)前代最優(yōu)個體。該操作并非每一次計算都進行，而只在種群相似度達到一定程度之后才進行。

從差分進化算法的角度來看，一組優(yōu)化變量值就代表了種群中的一個個體，即一個燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)候選方案；將燃油轉(zhuǎn)輸計算過程作為優(yōu)化問題的適應(yīng)度函數(shù)，通過對目標(biāo)函數(shù)最佳適應(yīng)度的計算獲得最優(yōu)的燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)方案。

3.2 數(shù)值實驗

為了驗證發(fā)展的改進差分進化算法對求解約束優(yōu)化問題的有效性，使用以下典型測試函數(shù)對算法進行測試。文獻[13]對這些測試函數(shù)進行了圖形化顯示。

(1)測試函數(shù)1：Sphere函數(shù)為

(17)

式(17)中：D為維數(shù)。該函數(shù)理論最優(yōu)值為0，對應(yīng)的最優(yōu)點xi=0。

(2)測試函數(shù)2：Rosenbrock函數(shù)為

xi∈[-2.048,2.048]

(18)

該函數(shù)理論最優(yōu)值為0，對應(yīng)的最優(yōu)點xi=1。

(3)測試函數(shù)3：Rastrigin函數(shù)為

xi∈[-5.12,5.12]

(19)

該函數(shù)理論最優(yōu)值為0，對應(yīng)的最優(yōu)點xi=0。

(4)測試函數(shù)4：Ackley函數(shù)為

xi∈[-32,32]

(20)

該函數(shù)理論最優(yōu)值為0，對應(yīng)的最優(yōu)點xi=0。

數(shù)值實驗中，維數(shù)D取為10，種群大小Np取為優(yōu)化變量個數(shù)的10倍，即Np=100，縮放因子F的上限取為1.0，交叉概率因子Cr的上下限分別取為0.9和0.1，最大進化代數(shù)取為500。為了減小隨機干擾，對每個問題都重復(fù)進行50次實驗。

表1為本文算法對測試函數(shù)的計算情況。結(jié)果表明，本文發(fā)展的改進差分進化算法的求解情況較為理想，可有效求解約束優(yōu)化問題。

表1 測試函數(shù)計算結(jié)果

4 輔助燃油系統(tǒng)燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)優(yōu)化

基于上述改進差分進化算法，進行輔助燃油系統(tǒng)燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)優(yōu)化計算分析。優(yōu)化計算所需限制參數(shù)等計算輸入如表2所示，燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)變化范圍如表3所示。

表2 計算輸入

表3 優(yōu)化參數(shù)變量范圍

優(yōu)化計算過程中，燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)和優(yōu)化問題適應(yīng)度隨進化代數(shù)的變化情況如圖3～圖6所示。可見，在500代進化計算內(nèi)可以求得最優(yōu)解，本文發(fā)展的改進差分進化算法對燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)方案的優(yōu)化求解有效。

圖3 巡航狀態(tài)燃油轉(zhuǎn)輸速率隨進化代數(shù)的變化情況Fig.3 Optimization calculation iteration history of the fuel transfer flowrate of cruise condition

圖4 開啟轉(zhuǎn)輸時的基本油箱載油量隨進化代數(shù)的變化情況Fig.4 Optimization calculation iteration history of the main tank fuel quantity when fuel transfer starts

圖5 中斷轉(zhuǎn)輸時的基本油箱載油量隨進化代數(shù)的變化情況Fig.5 Optimization calculation iteration history of the main tank fuel quantity when fuel transfer pauses

圖6 適應(yīng)度函數(shù)隨進化代數(shù)的變化情況Fig.6 Optimization calculation iteration history of the fitness

優(yōu)化計算得到的燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)方案及其燃油轉(zhuǎn)輸性能如表4所示?？梢钥闯?，優(yōu)化計算結(jié)果可滿足各項限制和優(yōu)化約束條件。

基于表4中優(yōu)化得到的燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)方案，對雙發(fā)運行情況下的燃油轉(zhuǎn)輸過程可解析如下：①飛機經(jīng)過10 min的雙發(fā)運行，基本油箱的載油量從10 000 kg下降到9 700 kg；②此時，開啟從輔助油箱向基本油箱的燃油轉(zhuǎn)輸；③以速率31.9 kg·min-1進行連續(xù)的燃油轉(zhuǎn)輸，轉(zhuǎn)輸過程持續(xù)157 min；④此時，基本油箱載油量上升至10 000 kg，燃油轉(zhuǎn)輸過程結(jié)束。

除了燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)方案優(yōu)化計算結(jié)果以外，表4還列出了基于不同的燃油轉(zhuǎn)輸策略的計算結(jié)果。

對于雙發(fā)運行的情況，各策略與最優(yōu)方案對比如下：①策略一與最優(yōu)方案相似，但由于轉(zhuǎn)輸速率低于最優(yōu)方案，轉(zhuǎn)輸用時較最優(yōu)方案多10 min；②策略二和策略三開啟轉(zhuǎn)輸時的基本油箱載油量與最優(yōu)方案相同，但轉(zhuǎn)輸速率遠高于最優(yōu)方案，使得轉(zhuǎn)輸中斷次數(shù)很多；③策略四、策略五和策略六開啟轉(zhuǎn)輸時的基本油箱載油量低于最優(yōu)方案，轉(zhuǎn)輸速率高于最優(yōu)方案，轉(zhuǎn)輸過程存在一到兩次的中斷，由于轉(zhuǎn)輸開啟前用時和轉(zhuǎn)輸中斷等待用時較長，使得完成燃油轉(zhuǎn)輸所需時間多于最優(yōu)方案；④策略七與最優(yōu)方案相比，轉(zhuǎn)輸開啟前無需等待，但由于燃油轉(zhuǎn)輸速率低于最優(yōu)方案，使得轉(zhuǎn)輸用時較長。

表4 優(yōu)化計算結(jié)果及與給定的燃油轉(zhuǎn)輸策略的對比

對于單發(fā)運行的情況，各策略與最優(yōu)方案對比如下：①策略一與最優(yōu)方案相似，但轉(zhuǎn)輸結(jié)束時基本油箱的載油量低于最優(yōu)方案；②策略二和策略三轉(zhuǎn)輸中斷次數(shù)較多；③策略四、策略五和策略六轉(zhuǎn)輸結(jié)束時的基本油箱載油量低于最優(yōu)方案；④策略七為連續(xù)轉(zhuǎn)輸，轉(zhuǎn)輸結(jié)束時的基本油箱載油量與最優(yōu)方案接近。

通過上述對比可知，燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)優(yōu)化方案可以保證雙發(fā)運行情況下和單發(fā)運行情況下的性能最優(yōu)，體現(xiàn)在雙發(fā)運行情況下完成燃油轉(zhuǎn)輸?shù)目倳r長最短且轉(zhuǎn)輸中斷次數(shù)最少，同時在單發(fā)運行情況下轉(zhuǎn)輸完成時的基本油箱載油量接近滿油。

5 結(jié)論

對差分進化算法進行了改進，發(fā)展了輔助燃油系統(tǒng)燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)優(yōu)化計算方法，在此基礎(chǔ)上對燃油轉(zhuǎn)輸進行了優(yōu)化計算。得出主要結(jié)論如下。

(1)在分析輔助燃油系統(tǒng)燃油轉(zhuǎn)輸工作原理的基礎(chǔ)上，將燃油轉(zhuǎn)輸設(shè)計過程抽象成可求解的約束優(yōu)化問題，為燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)優(yōu)化提供了解決思路。

(2)對差分進化算法進行了改進，通過典型測試函數(shù)的測試，表明了所發(fā)展的改進差分進化算法對約束優(yōu)化問題求解的有效性。

(3)在給定的計算輸入和變量范圍的情況下，使用改進差分進化算法計算得到了燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)最優(yōu)方案，其燃油轉(zhuǎn)輸用時短，轉(zhuǎn)輸中斷次數(shù)少，結(jié)束轉(zhuǎn)輸時基本油箱的載油量高。

(4)與給定的燃油轉(zhuǎn)輸策略的計算結(jié)果對比表明，燃油轉(zhuǎn)輸參數(shù)優(yōu)化方案在雙發(fā)運行和單發(fā)運行情況下的性能都優(yōu)于其他轉(zhuǎn)輸策略。